北师大版 (2019)必修 第二册1.1 复数的概念课时练习

课后素养落实(三十三)　复数的概念

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)

A．　　 B．2

C．0     D．1

D　[由复数相等的充要条件知，∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.]

2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是(　　)

A．|a|＝|b|     B．a＜0且a＝－b

C．a＞0且a≠b  D．a≤0

D　[复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.]

3．下列命题中，正确命题的个数是(　　)

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；

③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.

A．0     B．1

C．2     D．3

A　[①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错；②③错，故选A.]

4．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)

A．a＝－1     B．a≠－1且a≠2

C．a≠－1     D．a≠2

C　[若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.]

5．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1，3}，M∩N＝{1，3}，则实数m的值为(　　)

A．4     B．－1

C．4或－1  D．1或6

B　[由题意知∴m＝－1.]

二、填空题

6．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．

1或－3　[由条件知a2－3＋2a＝0，解得a＝1或a＝－3.]

7．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________．

－2　[由即m＝－2.]

8．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．

0或1　[z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，所以m2－m＝0，所以m＝0或1.]

三、解答题

9．分别求满足下列条件的实数x，y的值．

(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；

(2)＋(x2－2x－3)i＝0.

[解]　(1)∵x，y∈R，∴由复数相等的定义得解得

(2)∵x∈R，∴由复数相等的定义得

即∴x＝3.

10．已知m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i).

(1)写出复数z的代数形式；

(2)当m为何值时，z＝0？当m为何值时，z是纯虚数？

[解]　(1)复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)

＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，

即复数z的代数形式为z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.

(2)若z＝0，则

解得m＝2.

若z为纯虚数，则

解得

即m＝－.

11．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)

A．3＋i  B．3－i

C．－3－i  D．－3＋i

B　[由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即解得∴z＝3－i，故应选B.]

12．若复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos  θ＋isin θ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于(　　)

A．kπ(k∈Z)  B．2kπ＋(k∈Z)

C．2kπ±(k∈Z)  D．2kπ＋(k∈Z)

D　[由复数相等的定义可知，∴cos θ＝，sin θ＝.

∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.]

13．设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是__________．

3　[依题意有

解得m＝3.]

14．已知log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，且n∈N*，则m＋n＝________．

1或2　[由题意得

由②，得m＝0或m＝3.

当m＝0时，由log(m＋n)≥－1，得0<n≤2，∴n＝1或n＝2.

当m＝3时，由log(m＋n)≥－1，得0<n＋3≤2，∴－3<n≤－1，即n无自然数解．

∴m，n的值分别为m＝0，n＝1或m＝0，n＝2.

故m＋n的值为1或2.]

15．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R).

(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；

(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．

[解]　(1)∵z1为纯虚数，则解得m＝－2.

(2)由z1＝z2，得

∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sin θ－1)2＋2.

∵－1≤sin θ≤1，

∴当sin θ＝1时，λmin＝2，

当sin θ＝－1时，λmax＝6，

∴实数λ的取值范围是[2，6].