还剩17页未读，
继续阅读
2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（b卷）
展开
这是一份2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（b卷），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（B卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数z的共轭复数为，z＝1+i，则z（+1）＝（ ）
A．3+i B．3﹣i C．1+3i D．1﹣3i
2．（5分）设向量＝（2，1），＝（λ，1），若（+2）⊥，则实数λ的值等于（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
3．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB＝BC＝CC′且∠ABC＝90°．则异面直线AC与BC′所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（5分）我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况．则应从青年员工中抽取的人数为（ ）
A．8人 B．10人 C．12人 D．18人
5．（5分）已知样本数据x1，x2，…，x100的方差为4，若由y1＝2x1+3，y2＝2x2+3，…，y100＝2x100+3得到另一组样本数据y1，y2，…，y100，则样本数据y1，y2，…，y100的方差为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
6．（5分）为了让学生了解更多的“一带一路”倡议的信息，某中学举行了一次“丝绸之路知识竞赛”，全校学生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示，若60%的学生不能参加复赛，则可以参加复赛的成绩约为（ ）
A．72 B．73 C．74 D．75
7．（5分）已知||＝4，||＝2，当与的夹角为时，在上的投影向量为（ ）
A．2 B． C．2 D．
8．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三点，⊙O1为△ABC的外接圆，若AB＝BC＝AC＝OO1＝，则球O的表面积为（ ）
A．16π B．12π C．9π D．8π
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（5分）已知圆柱的底面直径为2，其侧面展开图为一个正方形，则（ ）
A．圆柱的母线长为4π B．圆柱的侧面积为4π2
C．圆柱的体积为2π2 D．圆柱的表面积为6π2
10．（5分）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（ ）
A．（+2）•（﹣2）＝||2﹣4||2 B．（•）＝（•）
C．（•）﹣（•）与垂直 D．||﹣||＜|﹣|
11．（5分）一个质地均匀的正四面体，四个面分别标有数字1、2、3、4，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间Ω＝{1，2，3，4}，设事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件G＝{2，4}，则（ ）
A．E与F不是互斥事件 B．F与G是对立事件
C．E与F是独立事件 D．F与G是独立事件
12．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为平面ABCD内的一点且满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
A．当λ＝1时，△PA1D1的面积为定值
B．当μ＝1时，△APC1的周长为定值
C．当λ＝μ＝时，AP⊥C1D
D．当λ＝μ＝时，A1P与平面AA1D1D所成角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设向量，不共线，向量λ﹣与+3平行，则实数λ＝ ．
14．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝，sinB＝，C＝，则b＝ ．
15．（5分）如图，线段OA是圆锥底面圆心O与圆锥一条母线中点A的连线，设线段OA绕圆锥的轴旋转一周所得曲面将圆锥分成两部分的体积分别为V1，V2（V1＜V2），则＝ ．
16．（5分）2021年新高考全国Ⅰ卷数学试题中，多选题题型得分规定如下：在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．假设某考生有一题不会做，他随机选择了B选项，由命题要求知，四个选项不能全部符合题目要求．则该考生本题得2分的概率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或盐酸步骤.
17．（10分）已知关于x的方程x2﹣（4+i）x+4+ai＝0（i为虚数单位，a∈R）有实数根b．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若复数（a﹣1+bi）（m+i）在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
18．（12分）在△ABC中，∠CAB＝，AC＝3，AB＝4，D为BC的中点，l为线段BC的中垂线，E为l上异于D的任意一点．
（Ⅰ）求•的值；
（Ⅱ）判断•的值是否为常数，若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，PA＝AD＝CD＝2AB，M为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BM⊥平面PCD．
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinC﹣ccosA﹣c＝0．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．
21．（12分）甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立100周年”知识竞赛．现有A、B两类问题，竞赛规则如下：①竞赛开始时，甲、乙两同学各自先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．②若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于3个，则“星队”可进入下一轮．
已知甲同学能答对A类中问题的概率为，能答对B类中问题的概率为．
乙同学能答对A类中问题的概率为，答对B类中问题的概率为．
（Ⅰ）设“甲同学答对0个，1个，2个问题”别记为事件A0，A1，A2，求事件A0，A1，A2的概率；
（Ⅱ）求“星队”能进入下一轮的概率．
22．（12分）如图，在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，BC＝DC，AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，点O是BD的中点．
（Ⅰ）从A，B，C，D，E，G这6个不同的点中任取3个不同的点，求取出的3个点能构成三角形的概率；
（Ⅱ）若AO＝2CO，求二面角E﹣FG﹣B的正切值；
（Ⅲ）若AC＝a，BD＝b，求四边形EFGH面积的最大值．
2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数z的共轭复数为，z＝1+i，则z（+1）＝（ ）
A．3+i B．3﹣i C．1+3i D．1﹣3i
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．
【解答】解：∵z＝1+i，
∴，
∴z（+1）＝（1+i）（1﹣i+1）＝（1+i）（2﹣i）＝3+i．
故选：A．
2．（5分）设向量＝（2，1），＝（λ，1），若（+2）⊥，则实数λ的值等于（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由（+2）⊥，能求出实数λ的值．
【解答】解：∵向量＝（2，1），＝（λ，1），
∴＝（2+2λ，3），
∵（+2）⊥，
∴（+2）•＝2（2+2λ）+3＝0，
解得实数λ＝﹣．
故选：B．
3．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB＝BC＝CC′且∠ABC＝90°．则异面直线AC与BC′所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB'为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与BC'所成角的余弦值．
【解答】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝BC＝CC'＝2，则A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），B'（0，0，2），C'（0，2，2），
故＝（﹣2，2，0），＝（0，2，2），
设异面直线AC与BC'所成角为θ，
则cosθ＝＝＝．
∴异面直线AC与BC'所成角为60°．
故选：C．
4．（5分）我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况．则应从青年员工中抽取的人数为（ ）
A．8人 B．10人 C．12人 D．18人
【分析】设从青年员工中抽取的人数为a，根据抽样比例相等列方程求解即可．
【解答】解：设从青年员工中抽取的人数为a人，根据抽样比例相等列方程为
＝，
解方程得a＝12．
故选：C．
5．（5分）已知样本数据x1，x2，…，x100的方差为4，若由y1＝2x1+3，y2＝2x2+3，…，y100＝2x100+3得到另一组样本数据y1，y2，…，y100，则样本数据y1，y2，…，y100的方差为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【分析】设样本数据x1，x2，......，x100的平均数为m，表示出样本数据x1，x2，......，x100的方差关系式，然后求出y1，y2，....，y100的平均数以及方差即可．
【解答】解：设样本数据x1，x2，......，x100的平均数为m，
所以x1+x2+.....+x100＝100m，
样本数据x1，x2，......，x100的方差为s2＝）2]＝4，
则y1，y2，....，y100的平均数为n＝＝，
y1，y2，....，y100的方差为S＝[（y＝]
＝2]＝4×4＝16，
故选：B．
6．（5分）为了让学生了解更多的“一带一路”倡议的信息，某中学举行了一次“丝绸之路知识竞赛”，全校学生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示，若60%的学生不能参加复赛，则可以参加复赛的成绩约为（ ）
A．72 B．73 C．74 D．75
【分析】求出[40，70）和[70，80）的频率，利用60%的学生不能参加复赛，能求出可以参加复赛的成绩．
【解答】解：∵[40，70）的频率为（0.010+0.015+0.020）×10＝0.45，
[70，80）的频率为0.030×10＝0.3，
∵60%的学生不能参加复赛，
∴可以参加复赛的成绩约为70+＝75．
故选：D．
7．（5分）已知||＝4，||＝2，当与的夹角为时，在上的投影向量为（ ）
A．2 B． C．2 D．
【分析】由投影向量的计算公式即可求解．
【解答】解：因为||＝4，||＝2，与的夹角为，
所以在上的投影向量为||cos•＝4ו＝．
故选：B．
8．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三点，⊙O1为△ABC的外接圆，若AB＝BC＝AC＝OO1＝，则球O的表面积为（ ）
A．16π B．12π C．9π D．8π
【分析】设△ABC的外接圆半径为r，由OO1⊥平面ABC知OO1⊥O1A，利用勾股定理求出OA即为球O的半径．
【解答】解：由正弦定理得△ABC的外接圆半径r满足，解得r＝1．
设球的半径为R，则由OO1⊥平面ABC，得，
所以球的表面积为4πR2＝16π．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（5分）已知圆柱的底面直径为2，其侧面展开图为一个正方形，则（ ）
A．圆柱的母线长为4π B．圆柱的侧面积为4π2
C．圆柱的体积为2π2 D．圆柱的表面积为6π2
【分析】由题意先求出圆柱的底面半径，圆柱的高，然后由侧面积公式、体积公式以及表面积公式依次判断四个选项即可；
【解答】解：因为圆柱的底面直径为2，其侧面展开图为一个正方形，
所以圆柱的底面半径为1，底面周长为2π，
圆柱的母线长为2π，故选项A错误；
圆柱的侧面积为2π×2π＝4π2，故选项B正确；
圆柱的体积为V＝Sh＝π•12•2π＝2π2，故选项C正确；
圆柱的表面积为S＝2×π•12+4π2＝6π2，故选项D正确．
故选：BC．
10．（5分）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（ ）
A．（+2）•（﹣2）＝||2﹣4||2 B．（•）＝（•）
C．（•）﹣（•）与垂直 D．||﹣||＜|﹣|
【分析】利用向量的运算律判断选项A；利用数乘的定义判断选项B；利用向量垂直的充要条件判断选项C；利用向量的运算法则得到的模的性质判断选项D．
【解答】解：对于A，由向量的运算律可得（+2）•（﹣2）＝||2﹣4||2，故A正确；
对于B，因为（•）是与共线的，而（•）是与共线的，而与不共线，故B错误；
对于C，因为[（•）﹣（•）]•＝（•）（•）﹣（•）（•）＝0，故（•）﹣（•）与垂直，故C正确；
对于D，利用向量模的性质有||﹣||＜|﹣|，故D正确．
故选：ACD．
11．（5分）一个质地均匀的正四面体，四个面分别标有数字1、2、3、4，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间Ω＝{1，2，3，4}，设事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件G＝{2，4}，则（ ）
A．E与F不是互斥事件 B．F与G是对立事件
C．E与F是独立事件 D．F与G是独立事件
【分析】根据题意，分析事件E、F、G的含义，依次分析选项可得答案，
【解答】解：根据题意，事件E＝{1，2}，即正四面体与地面接触的面上的数字为1或2，
事件F＝{1，3}，即正四面体与地面接触的面上的数字为1或3，
事件G＝{2，4}，即正四面体与地面接触的面上的数字为2或4，
依次分析选项：
对于A，当正四面体与地面接触的面上的数字为1时，事件E、F都发生，则E与F不是互斥事件，A正确；
对于B，F与G一定有且只能有1个发生，是对立事件，B正确；
对于C，E与F不是独立事件，C错误；
对于D，F与G不是独立事件，D错误；
故选：AB．
12．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为平面ABCD内的一点且满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
A．当λ＝1时，△PA1D1的面积为定值
B．当μ＝1时，△APC1的周长为定值
C．当λ＝μ＝时，AP⊥C1D
D．当λ＝μ＝时，A1P与平面AA1D1D所成角的余弦值为
【分析】对A：当λ＝1时，＝μ，点P到A1D1的距离为BC到A1D1的距离d，进而得到面积为定值；
对B：当μ＝1时，＝λ，找到一个符合条件的点P，通过计算得到AP＝，PC1＝，则周长不为位定值；
对C：当λ＝μ＝时，P为BD与AC的交点，根据线面关系即可进行判断；
对D：当λ＝μ＝时，P为BD与AC的交点，作PM⊥AD，可计算出A1M，A1P，进而可求得cos∠MA1P＝．
【解答】解：对A：当λ＝1时，＝+μ，即＝﹣＝μ，如图中P（1），
连接A1B，CD1，正方体中BC∥A1D1，
所以点P到A1D1的距离为BC到A1D1的距离d，d为定值，
△PA1D1的面积为A1D1•d，为定值，故A正确；
对B：当μ＝1时，＝λ+，即＝＝λ，
如图中P（2），因为AB＝1，故||＝λ，由勾股定理可得AP＝，PC1＝，
则△APC1的周长＝AP+PC1+AC1＝++不是定值，故B错误；
对C：当λ＝μ＝时，＝（），此时P为BD与AC的交点，如图中P（3），
此时AP⊥平面BB1D1D，而C1D与面BB1D1D有一个交点，所以AP一定不垂直C1D，故C错误；
对D：当λ＝μ＝时，由C分析可知P为BD与AC的交点，作PM⊥AD，
则MP⊥平面AA1D1D，所以∠A1MP＝90°，A1M＝＝，A1P＝＝，
所以cos∠MA1P＝＝，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设向量，不共线，向量λ﹣与+3平行，则实数λ＝ ﹣ ．
【分析】利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：∵向量λ﹣与+3平行，
∴存在实数k，使得λ﹣＝k（+3）＝k+3k，
∵向量，不共线，
∴λ＝k，﹣1＝3k，
解得λ＝﹣，
故答案为：﹣．
14．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝，sinB＝，C＝，则b＝ 1 ．
【分析】由sinB＝，可得B＝或B＝，结合a＝，C＝及正弦定理可求b
【解答】解：∵sinB＝，
∴B＝或B＝
当B＝时，a＝，C＝，A＝，
由正弦定理可得，
则b＝1
当B＝时，C＝，与三角形的内角和为π矛盾
故答案为：1
15．（5分）如图，线段OA是圆锥底面圆心O与圆锥一条母线中点A的连线，设线段OA绕圆锥的轴旋转一周所得曲面将圆锥分成两部分的体积分别为V1，V2（V1＜V2），则＝ ．
【分析】设大圆锥的体积为V，底面圆O的半径为r，高为h，由圆锥的体积公式求出V1与V的关系，求出V2与V的关系，即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，线段OA是圆锥底面圆心O与圆锥一条母线中点A的连线，
设大圆锥的体积为V，底面圆O的半径为r，高为h，
则V1＝，
V2＝V﹣V1＝，
所以＝＝．
故答案为：．
16．（5分）2021年新高考全国Ⅰ卷数学试题中，多选题题型得分规定如下：在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．假设某考生有一题不会做，他随机选择了B选项，由命题要求知，四个选项不能全部符合题目要求．则该考生本题得2分的概率为 ．
【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型计算公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，多选题所有作答结果有AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共10种，
若随机选择B选项，得2分，则作答结果有AB，BC，BD，ABC，ABD，BCD共6种，
故考生本题得2分的概率P＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或盐酸步骤.
17．（10分）已知关于x的方程x2﹣（4+i）x+4+ai＝0（i为虚数单位，a∈R）有实数根b．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若复数（a﹣1+bi）（m+i）在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由b是方程的实根得到b2﹣4b+4+（a﹣b）i＝0，再利用实部和虚部为0得到方程组，求解即可a，b．
（Ⅱ）先利用复数的乘除运算化简复数，再由复数在复平面内对应的点在第二象限，列出不等式组即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵x2﹣（4+i）x+4+ai＝0（i为虚数单位，a∈R）有实数根b，
∴b2﹣（4+i）b+4+ai＝0，∴b2﹣4b+4+（a﹣b）i＝0，
∴，∴a＝b＝2，
（Ⅱ）（a﹣1+bi）（m+i）＝（1+2i）（m+i）＝m﹣2+（2m+1）i，
∵复数在复平面内对应的点在第二象限，
∴，∴﹣＜m＜2，
即实数m的取值范围为（﹣，2）．
18．（12分）在△ABC中，∠CAB＝，AC＝3，AB＝4，D为BC的中点，l为线段BC的中垂线，E为l上异于D的任意一点．
（Ⅰ）求•的值；
（Ⅱ）判断•的值是否为常数，若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由＝（+），＝﹣，再利用数量积的运算即可求出•的值．
（Ⅱ）由向量的加法运算与向量的乘法分配律可求得•＝（）•的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵D为BC的中点，
∴＝（+），＝﹣，
∴•＝（+）（﹣）＝（﹣）＝﹣．
（Ⅱ）•的值为一个常数，
∵l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，
∴⊥＝0，∴•＝（）•＝•+•＝•＝﹣．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，PA＝AD＝CD＝2AB，M为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BM⊥平面PCD．
【分析】（Ⅰ）取PD中点N，连接MN，AN，推导出四边形ABMN是平行四边形，从而可得BM∥AN，利用线面平行的判定定理即可得证；
（Ⅱ）推导出AN⊥CD，AN⊥PD，由线面垂直的判定定理可得AN⊥平面PDC，由BM∥AN，即可得证．
【解答】证明：（Ⅰ）取PD中点N，连接MN，AN，
∵M为PC的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD，
又AB∥CD，且CD＝2AB，
∴MN∥AB且MN＝AB，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM∥AN，
∵BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵∠ADC＝90°，即CD⊥AD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AN⊂平面PAD，∴AN⊥CD，
∵PA＝AD，PD中点为N，∴AN⊥PD，
又∵PD∩CD＝D，∴AN⊥平面PDC，
∵BM∥AN，∴BM⊥平面PDC．
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinC﹣ccosA﹣c＝0．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（A﹣）＝，可求范围A﹣∈（﹣，），进而可得A的值．
（Ⅱ）由已知利用三角形的面积公式可得bc＝4，由余弦定理可得b+c＝4，联立即可求解b，c的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为asinC﹣ccosA﹣c＝0，
所以由正弦定理可得sinAsinC﹣sinCcosA＝sinC，
因为sinC≠0，
所以sinA﹣cosA＝1，可得2sin（A﹣）＝1，可得sin（A﹣）＝，
因为A∈（0，π），A﹣∈（﹣，），
所以A﹣＝，可得A＝．
（Ⅱ）因为A＝，a＝2，△ABC的面积为＝bcsinA＝bc，
所以bc＝4，①
又由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣12，可得b+c＝4，②
所以由①②解得b＝c＝2．
21．（12分）甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立100周年”知识竞赛．现有A、B两类问题，竞赛规则如下：①竞赛开始时，甲、乙两同学各自先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．②若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于3个，则“星队”可进入下一轮．
已知甲同学能答对A类中问题的概率为，能答对B类中问题的概率为．
乙同学能答对A类中问题的概率为，答对B类中问题的概率为．
（Ⅰ）设“甲同学答对0个，1个，2个问题”别记为事件A0，A1，A2，求事件A0，A1，A2的概率；
（Ⅱ）求“星队”能进入下一轮的概率．
【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解．
【解答】解：（I）∵甲同学能答对A类中问题的概率为，能答对B类中问题的概率为，
∴P（A0）＝，P（A1）＝，P（A2）＝．
（II）设“乙同学答对1个，2个问题”别记为事件B1，B2，
∵乙同学能答对A类中问题的概率为，答对B类中问题的概率为．
∴P（B1）＝，P（B2）＝，
设事件C表示“星队能进入下一轮”，
P（C）＝P（A1B2）+P（A2B1）+P（A2B2）＝P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）+P（A2B2）
＝，
故“星队”能进入下一轮的概率为．
22．（12分）如图，在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，BC＝DC，AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，点O是BD的中点．
（Ⅰ）从A，B，C，D，E，G这6个不同的点中任取3个不同的点，求取出的3个点能构成三角形的概率；
（Ⅱ）若AO＝2CO，求二面角E﹣FG﹣B的正切值；
（Ⅲ）若AC＝a，BD＝b，求四边形EFGH面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）直接由古典概型概率公式求解；
（Ⅱ）找出二面角E﹣FG﹣B的平面角，再由已知求解直角三角形得答案；
（Ⅲ）证明四边形EFGH为矩形，由平行线截线段成比例可得1＝，即可求得四边形EFGH面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由图可知，A、B、E三点共线，C、G、D三点共线.
则从A，B，C，D，E，G这6个不同的点中任取3个不同的点，
取出的3个点能构成三角形的概率为；
（Ⅱ）∵AB＝AD，BC＝DC，点O是BD的中点，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，而AO∩CO＝O，
∴BD⊥平面AOC，可得BD⊥AC，
∵AC∥平面EFGH，设平面AOC∩平面EFGH＝MN，
可得AC∥MN，∴MN⊥BD，
∵BD∥平面EFGH，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面EFGH＝FG，
∴BD∥FG，则MN⊥FG，OC⊥FG，即∠MNO为二面角E﹣FG﹣B的平面角，
又AC∥MN，则∠MNO＝∠ACO，
∵平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，AO⊥BD，
∴△AOC为Rt△，
∵AO＝2CO，∴tan，即二面角E﹣FG﹣B的正切值为2；
（Ⅲ）∵AC∥平面EFGH，AC⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝EF，∴AC∥EF，
同理可知AC∥HG，则EF∥HG；
∵BD∥平面EFGH，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面EFGH＝FG，∴BD∥FG，
同理BD∥EH，则EH∥FG，可得四边形EFGH为平行四边形，
由（Ⅱ）知AC⊥BD，∴EF⊥FG，得四边形EFGH为矩形．
∵AC＝a，∴，
∴BD＝b，∴，可得＝，
即EF•FG≤，当且仅当EF•b＝FG•a时等号成立．
∴四边形EFGH面积的最大值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/13 21:21:35；用户：卿老师；邮箱：qjytjy01@xyh.com；学号：41045408
2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（B卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数z的共轭复数为，z＝1+i，则z（+1）＝（ ）
A．3+i B．3﹣i C．1+3i D．1﹣3i
2．（5分）设向量＝（2，1），＝（λ，1），若（+2）⊥，则实数λ的值等于（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
3．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB＝BC＝CC′且∠ABC＝90°．则异面直线AC与BC′所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（5分）我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况．则应从青年员工中抽取的人数为（ ）
A．8人 B．10人 C．12人 D．18人
5．（5分）已知样本数据x1，x2，…，x100的方差为4，若由y1＝2x1+3，y2＝2x2+3，…，y100＝2x100+3得到另一组样本数据y1，y2，…，y100，则样本数据y1，y2，…，y100的方差为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
6．（5分）为了让学生了解更多的“一带一路”倡议的信息，某中学举行了一次“丝绸之路知识竞赛”，全校学生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示，若60%的学生不能参加复赛，则可以参加复赛的成绩约为（ ）
A．72 B．73 C．74 D．75
7．（5分）已知||＝4，||＝2，当与的夹角为时，在上的投影向量为（ ）
A．2 B． C．2 D．
8．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三点，⊙O1为△ABC的外接圆，若AB＝BC＝AC＝OO1＝，则球O的表面积为（ ）
A．16π B．12π C．9π D．8π
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（5分）已知圆柱的底面直径为2，其侧面展开图为一个正方形，则（ ）
A．圆柱的母线长为4π B．圆柱的侧面积为4π2
C．圆柱的体积为2π2 D．圆柱的表面积为6π2
10．（5分）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（ ）
A．（+2）•（﹣2）＝||2﹣4||2 B．（•）＝（•）
C．（•）﹣（•）与垂直 D．||﹣||＜|﹣|
11．（5分）一个质地均匀的正四面体，四个面分别标有数字1、2、3、4，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间Ω＝{1，2，3，4}，设事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件G＝{2，4}，则（ ）
A．E与F不是互斥事件 B．F与G是对立事件
C．E与F是独立事件 D．F与G是独立事件
12．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为平面ABCD内的一点且满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
A．当λ＝1时，△PA1D1的面积为定值
B．当μ＝1时，△APC1的周长为定值
C．当λ＝μ＝时，AP⊥C1D
D．当λ＝μ＝时，A1P与平面AA1D1D所成角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设向量，不共线，向量λ﹣与+3平行，则实数λ＝ ．
14．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝，sinB＝，C＝，则b＝ ．
15．（5分）如图，线段OA是圆锥底面圆心O与圆锥一条母线中点A的连线，设线段OA绕圆锥的轴旋转一周所得曲面将圆锥分成两部分的体积分别为V1，V2（V1＜V2），则＝ ．
16．（5分）2021年新高考全国Ⅰ卷数学试题中，多选题题型得分规定如下：在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．假设某考生有一题不会做，他随机选择了B选项，由命题要求知，四个选项不能全部符合题目要求．则该考生本题得2分的概率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或盐酸步骤.
17．（10分）已知关于x的方程x2﹣（4+i）x+4+ai＝0（i为虚数单位，a∈R）有实数根b．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若复数（a﹣1+bi）（m+i）在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
18．（12分）在△ABC中，∠CAB＝，AC＝3，AB＝4，D为BC的中点，l为线段BC的中垂线，E为l上异于D的任意一点．
（Ⅰ）求•的值；
（Ⅱ）判断•的值是否为常数，若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，PA＝AD＝CD＝2AB，M为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BM⊥平面PCD．
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinC﹣ccosA﹣c＝0．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．
21．（12分）甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立100周年”知识竞赛．现有A、B两类问题，竞赛规则如下：①竞赛开始时，甲、乙两同学各自先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．②若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于3个，则“星队”可进入下一轮．
已知甲同学能答对A类中问题的概率为，能答对B类中问题的概率为．
乙同学能答对A类中问题的概率为，答对B类中问题的概率为．
（Ⅰ）设“甲同学答对0个，1个，2个问题”别记为事件A0，A1，A2，求事件A0，A1，A2的概率；
（Ⅱ）求“星队”能进入下一轮的概率．
22．（12分）如图，在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，BC＝DC，AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，点O是BD的中点．
（Ⅰ）从A，B，C，D，E，G这6个不同的点中任取3个不同的点，求取出的3个点能构成三角形的概率；
（Ⅱ）若AO＝2CO，求二面角E﹣FG﹣B的正切值；
（Ⅲ）若AC＝a，BD＝b，求四边形EFGH面积的最大值．
2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数z的共轭复数为，z＝1+i，则z（+1）＝（ ）
A．3+i B．3﹣i C．1+3i D．1﹣3i
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．
【解答】解：∵z＝1+i，
∴，
∴z（+1）＝（1+i）（1﹣i+1）＝（1+i）（2﹣i）＝3+i．
故选：A．
2．（5分）设向量＝（2，1），＝（λ，1），若（+2）⊥，则实数λ的值等于（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由（+2）⊥，能求出实数λ的值．
【解答】解：∵向量＝（2，1），＝（λ，1），
∴＝（2+2λ，3），
∵（+2）⊥，
∴（+2）•＝2（2+2λ）+3＝0，
解得实数λ＝﹣．
故选：B．
3．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AB＝BC＝CC′且∠ABC＝90°．则异面直线AC与BC′所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB'为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与BC'所成角的余弦值．
【解答】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝BC＝CC'＝2，则A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），B'（0，0，2），C'（0，2，2），
故＝（﹣2，2，0），＝（0，2，2），
设异面直线AC与BC'所成角为θ，
则cosθ＝＝＝．
∴异面直线AC与BC'所成角为60°．
故选：C．
4．（5分）我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况．则应从青年员工中抽取的人数为（ ）
A．8人 B．10人 C．12人 D．18人
【分析】设从青年员工中抽取的人数为a，根据抽样比例相等列方程求解即可．
【解答】解：设从青年员工中抽取的人数为a人，根据抽样比例相等列方程为
＝，
解方程得a＝12．
故选：C．
5．（5分）已知样本数据x1，x2，…，x100的方差为4，若由y1＝2x1+3，y2＝2x2+3，…，y100＝2x100+3得到另一组样本数据y1，y2，…，y100，则样本数据y1，y2，…，y100的方差为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【分析】设样本数据x1，x2，......，x100的平均数为m，表示出样本数据x1，x2，......，x100的方差关系式，然后求出y1，y2，....，y100的平均数以及方差即可．
【解答】解：设样本数据x1，x2，......，x100的平均数为m，
所以x1+x2+.....+x100＝100m，
样本数据x1，x2，......，x100的方差为s2＝）2]＝4，
则y1，y2，....，y100的平均数为n＝＝，
y1，y2，....，y100的方差为S＝[（y＝]
＝2]＝4×4＝16，
故选：B．
6．（5分）为了让学生了解更多的“一带一路”倡议的信息，某中学举行了一次“丝绸之路知识竞赛”，全校学生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示，若60%的学生不能参加复赛，则可以参加复赛的成绩约为（ ）
A．72 B．73 C．74 D．75
【分析】求出[40，70）和[70，80）的频率，利用60%的学生不能参加复赛，能求出可以参加复赛的成绩．
【解答】解：∵[40，70）的频率为（0.010+0.015+0.020）×10＝0.45，
[70，80）的频率为0.030×10＝0.3，
∵60%的学生不能参加复赛，
∴可以参加复赛的成绩约为70+＝75．
故选：D．
7．（5分）已知||＝4，||＝2，当与的夹角为时，在上的投影向量为（ ）
A．2 B． C．2 D．
【分析】由投影向量的计算公式即可求解．
【解答】解：因为||＝4，||＝2，与的夹角为，
所以在上的投影向量为||cos•＝4ו＝．
故选：B．
8．（5分）已知A，B，C为球O的球面上的三点，⊙O1为△ABC的外接圆，若AB＝BC＝AC＝OO1＝，则球O的表面积为（ ）
A．16π B．12π C．9π D．8π
【分析】设△ABC的外接圆半径为r，由OO1⊥平面ABC知OO1⊥O1A，利用勾股定理求出OA即为球O的半径．
【解答】解：由正弦定理得△ABC的外接圆半径r满足，解得r＝1．
设球的半径为R，则由OO1⊥平面ABC，得，
所以球的表面积为4πR2＝16π．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（5分）已知圆柱的底面直径为2，其侧面展开图为一个正方形，则（ ）
A．圆柱的母线长为4π B．圆柱的侧面积为4π2
C．圆柱的体积为2π2 D．圆柱的表面积为6π2
【分析】由题意先求出圆柱的底面半径，圆柱的高，然后由侧面积公式、体积公式以及表面积公式依次判断四个选项即可；
【解答】解：因为圆柱的底面直径为2，其侧面展开图为一个正方形，
所以圆柱的底面半径为1，底面周长为2π，
圆柱的母线长为2π，故选项A错误；
圆柱的侧面积为2π×2π＝4π2，故选项B正确；
圆柱的体积为V＝Sh＝π•12•2π＝2π2，故选项C正确；
圆柱的表面积为S＝2×π•12+4π2＝6π2，故选项D正确．
故选：BC．
10．（5分）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（ ）
A．（+2）•（﹣2）＝||2﹣4||2 B．（•）＝（•）
C．（•）﹣（•）与垂直 D．||﹣||＜|﹣|
【分析】利用向量的运算律判断选项A；利用数乘的定义判断选项B；利用向量垂直的充要条件判断选项C；利用向量的运算法则得到的模的性质判断选项D．
【解答】解：对于A，由向量的运算律可得（+2）•（﹣2）＝||2﹣4||2，故A正确；
对于B，因为（•）是与共线的，而（•）是与共线的，而与不共线，故B错误；
对于C，因为[（•）﹣（•）]•＝（•）（•）﹣（•）（•）＝0，故（•）﹣（•）与垂直，故C正确；
对于D，利用向量模的性质有||﹣||＜|﹣|，故D正确．
故选：ACD．
11．（5分）一个质地均匀的正四面体，四个面分别标有数字1、2、3、4，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的面上的数字得到样本空间Ω＝{1，2，3，4}，设事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件G＝{2，4}，则（ ）
A．E与F不是互斥事件 B．F与G是对立事件
C．E与F是独立事件 D．F与G是独立事件
【分析】根据题意，分析事件E、F、G的含义，依次分析选项可得答案，
【解答】解：根据题意，事件E＝{1，2}，即正四面体与地面接触的面上的数字为1或2，
事件F＝{1，3}，即正四面体与地面接触的面上的数字为1或3，
事件G＝{2，4}，即正四面体与地面接触的面上的数字为2或4，
依次分析选项：
对于A，当正四面体与地面接触的面上的数字为1时，事件E、F都发生，则E与F不是互斥事件，A正确；
对于B，F与G一定有且只能有1个发生，是对立事件，B正确；
对于C，E与F不是独立事件，C错误；
对于D，F与G不是独立事件，D错误；
故选：AB．
12．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为平面ABCD内的一点且满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
A．当λ＝1时，△PA1D1的面积为定值
B．当μ＝1时，△APC1的周长为定值
C．当λ＝μ＝时，AP⊥C1D
D．当λ＝μ＝时，A1P与平面AA1D1D所成角的余弦值为
【分析】对A：当λ＝1时，＝μ，点P到A1D1的距离为BC到A1D1的距离d，进而得到面积为定值；
对B：当μ＝1时，＝λ，找到一个符合条件的点P，通过计算得到AP＝，PC1＝，则周长不为位定值；
对C：当λ＝μ＝时，P为BD与AC的交点，根据线面关系即可进行判断；
对D：当λ＝μ＝时，P为BD与AC的交点，作PM⊥AD，可计算出A1M，A1P，进而可求得cos∠MA1P＝．
【解答】解：对A：当λ＝1时，＝+μ，即＝﹣＝μ，如图中P（1），
连接A1B，CD1，正方体中BC∥A1D1，
所以点P到A1D1的距离为BC到A1D1的距离d，d为定值，
△PA1D1的面积为A1D1•d，为定值，故A正确；
对B：当μ＝1时，＝λ+，即＝＝λ，
如图中P（2），因为AB＝1，故||＝λ，由勾股定理可得AP＝，PC1＝，
则△APC1的周长＝AP+PC1+AC1＝++不是定值，故B错误；
对C：当λ＝μ＝时，＝（），此时P为BD与AC的交点，如图中P（3），
此时AP⊥平面BB1D1D，而C1D与面BB1D1D有一个交点，所以AP一定不垂直C1D，故C错误；
对D：当λ＝μ＝时，由C分析可知P为BD与AC的交点，作PM⊥AD，
则MP⊥平面AA1D1D，所以∠A1MP＝90°，A1M＝＝，A1P＝＝，
所以cos∠MA1P＝＝，故D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设向量，不共线，向量λ﹣与+3平行，则实数λ＝ ﹣ ．
【分析】利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．
【解答】解：∵向量λ﹣与+3平行，
∴存在实数k，使得λ﹣＝k（+3）＝k+3k，
∵向量，不共线，
∴λ＝k，﹣1＝3k，
解得λ＝﹣，
故答案为：﹣．
14．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝，sinB＝，C＝，则b＝ 1 ．
【分析】由sinB＝，可得B＝或B＝，结合a＝，C＝及正弦定理可求b
【解答】解：∵sinB＝，
∴B＝或B＝
当B＝时，a＝，C＝，A＝，
由正弦定理可得，
则b＝1
当B＝时，C＝，与三角形的内角和为π矛盾
故答案为：1
15．（5分）如图，线段OA是圆锥底面圆心O与圆锥一条母线中点A的连线，设线段OA绕圆锥的轴旋转一周所得曲面将圆锥分成两部分的体积分别为V1，V2（V1＜V2），则＝ ．
【分析】设大圆锥的体积为V，底面圆O的半径为r，高为h，由圆锥的体积公式求出V1与V的关系，求出V2与V的关系，即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，线段OA是圆锥底面圆心O与圆锥一条母线中点A的连线，
设大圆锥的体积为V，底面圆O的半径为r，高为h，
则V1＝，
V2＝V﹣V1＝，
所以＝＝．
故答案为：．
16．（5分）2021年新高考全国Ⅰ卷数学试题中，多选题题型得分规定如下：在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．假设某考生有一题不会做，他随机选择了B选项，由命题要求知，四个选项不能全部符合题目要求．则该考生本题得2分的概率为 ．
【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型计算公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，多选题所有作答结果有AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共10种，
若随机选择B选项，得2分，则作答结果有AB，BC，BD，ABC，ABD，BCD共6种，
故考生本题得2分的概率P＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或盐酸步骤.
17．（10分）已知关于x的方程x2﹣（4+i）x+4+ai＝0（i为虚数单位，a∈R）有实数根b．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若复数（a﹣1+bi）（m+i）在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由b是方程的实根得到b2﹣4b+4+（a﹣b）i＝0，再利用实部和虚部为0得到方程组，求解即可a，b．
（Ⅱ）先利用复数的乘除运算化简复数，再由复数在复平面内对应的点在第二象限，列出不等式组即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵x2﹣（4+i）x+4+ai＝0（i为虚数单位，a∈R）有实数根b，
∴b2﹣（4+i）b+4+ai＝0，∴b2﹣4b+4+（a﹣b）i＝0，
∴，∴a＝b＝2，
（Ⅱ）（a﹣1+bi）（m+i）＝（1+2i）（m+i）＝m﹣2+（2m+1）i，
∵复数在复平面内对应的点在第二象限，
∴，∴﹣＜m＜2，
即实数m的取值范围为（﹣，2）．
18．（12分）在△ABC中，∠CAB＝，AC＝3，AB＝4，D为BC的中点，l为线段BC的中垂线，E为l上异于D的任意一点．
（Ⅰ）求•的值；
（Ⅱ）判断•的值是否为常数，若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由＝（+），＝﹣，再利用数量积的运算即可求出•的值．
（Ⅱ）由向量的加法运算与向量的乘法分配律可求得•＝（）•的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵D为BC的中点，
∴＝（+），＝﹣，
∴•＝（+）（﹣）＝（﹣）＝﹣．
（Ⅱ）•的值为一个常数，
∵l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，
∴⊥＝0，∴•＝（）•＝•+•＝•＝﹣．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，PA＝AD＝CD＝2AB，M为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BM⊥平面PCD．
【分析】（Ⅰ）取PD中点N，连接MN，AN，推导出四边形ABMN是平行四边形，从而可得BM∥AN，利用线面平行的判定定理即可得证；
（Ⅱ）推导出AN⊥CD，AN⊥PD，由线面垂直的判定定理可得AN⊥平面PDC，由BM∥AN，即可得证．
【解答】证明：（Ⅰ）取PD中点N，连接MN，AN，
∵M为PC的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD，
又AB∥CD，且CD＝2AB，
∴MN∥AB且MN＝AB，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴BM∥AN，
∵BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵∠ADC＝90°，即CD⊥AD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AN⊂平面PAD，∴AN⊥CD，
∵PA＝AD，PD中点为N，∴AN⊥PD，
又∵PD∩CD＝D，∴AN⊥平面PDC，
∵BM∥AN，∴BM⊥平面PDC．
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinC﹣ccosA﹣c＝0．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（A﹣）＝，可求范围A﹣∈（﹣，），进而可得A的值．
（Ⅱ）由已知利用三角形的面积公式可得bc＝4，由余弦定理可得b+c＝4，联立即可求解b，c的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为asinC﹣ccosA﹣c＝0，
所以由正弦定理可得sinAsinC﹣sinCcosA＝sinC，
因为sinC≠0，
所以sinA﹣cosA＝1，可得2sin（A﹣）＝1，可得sin（A﹣）＝，
因为A∈（0，π），A﹣∈（﹣，），
所以A﹣＝，可得A＝．
（Ⅱ）因为A＝，a＝2，△ABC的面积为＝bcsinA＝bc，
所以bc＝4，①
又由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得4＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣12，可得b+c＝4，②
所以由①②解得b＝c＝2．
21．（12分）甲、乙两同学组成“星队”参加“庆祝中国共产党成立100周年”知识竞赛．现有A、B两类问题，竞赛规则如下：①竞赛开始时，甲、乙两同学各自先从A类问题中随机抽取一个问题进行回答，答错的同学本轮竞赛结束；答对的同学再从B类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束．②若在本轮竞赛中甲、乙两同学合计答对问题的个数不少于3个，则“星队”可进入下一轮．
已知甲同学能答对A类中问题的概率为，能答对B类中问题的概率为．
乙同学能答对A类中问题的概率为，答对B类中问题的概率为．
（Ⅰ）设“甲同学答对0个，1个，2个问题”别记为事件A0，A1，A2，求事件A0，A1，A2的概率；
（Ⅱ）求“星队”能进入下一轮的概率．
【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解．
【解答】解：（I）∵甲同学能答对A类中问题的概率为，能答对B类中问题的概率为，
∴P（A0）＝，P（A1）＝，P（A2）＝．
（II）设“乙同学答对1个，2个问题”别记为事件B1，B2，
∵乙同学能答对A类中问题的概率为，答对B类中问题的概率为．
∴P（B1）＝，P（B2）＝，
设事件C表示“星队能进入下一轮”，
P（C）＝P（A1B2）+P（A2B1）+P（A2B2）＝P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）+P（A2B2）
＝，
故“星队”能进入下一轮的概率为．
22．（12分）如图，在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，BC＝DC，AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，点O是BD的中点．
（Ⅰ）从A，B，C，D，E，G这6个不同的点中任取3个不同的点，求取出的3个点能构成三角形的概率；
（Ⅱ）若AO＝2CO，求二面角E﹣FG﹣B的正切值；
（Ⅲ）若AC＝a，BD＝b，求四边形EFGH面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）直接由古典概型概率公式求解；
（Ⅱ）找出二面角E﹣FG﹣B的平面角，再由已知求解直角三角形得答案；
（Ⅲ）证明四边形EFGH为矩形，由平行线截线段成比例可得1＝，即可求得四边形EFGH面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由图可知，A、B、E三点共线，C、G、D三点共线.
则从A，B，C，D，E，G这6个不同的点中任取3个不同的点，
取出的3个点能构成三角形的概率为；
（Ⅱ）∵AB＝AD，BC＝DC，点O是BD的中点，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，而AO∩CO＝O，
∴BD⊥平面AOC，可得BD⊥AC，
∵AC∥平面EFGH，设平面AOC∩平面EFGH＝MN，
可得AC∥MN，∴MN⊥BD，
∵BD∥平面EFGH，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面EFGH＝FG，
∴BD∥FG，则MN⊥FG，OC⊥FG，即∠MNO为二面角E﹣FG﹣B的平面角，
又AC∥MN，则∠MNO＝∠ACO，
∵平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，AO⊥BD，
∴△AOC为Rt△，
∵AO＝2CO，∴tan，即二面角E﹣FG﹣B的正切值为2；
（Ⅲ）∵AC∥平面EFGH，AC⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝EF，∴AC∥EF，
同理可知AC∥HG，则EF∥HG；
∵BD∥平面EFGH，BD⊂平面BCD，平面BCD∩平面EFGH＝FG，∴BD∥FG，
同理BD∥EH，则EH∥FG，可得四边形EFGH为平行四边形，
由（Ⅱ）知AC⊥BD，∴EF⊥FG，得四边形EFGH为矩形．
∵AC＝a，∴，
∴BD＝b，∴，可得＝，
即EF•FG≤，当且仅当EF•b＝FG•a时等号成立．
∴四边形EFGH面积的最大值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/13 21:21:35；用户：卿老师；邮箱：qjytjy01@xyh.com；学号：41045408
相关试卷
2020-2021学年山东省日照市高一（下）期末数学试卷： 这是一份2020-2021学年山东省日照市高一（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（a卷）： 这是一份2020-2021学年山东省济宁市高一（下）期末数学试卷（a卷），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省菏泽市高一（下）期末数学试卷（b卷）： 这是一份2020-2021学年山东省菏泽市高一（下）期末数学试卷（b卷），共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
