2021-2022学年天津市耀华中学高三（上）调研数学试卷

这是一份2021-2022学年天津市耀华中学高三（上）调研数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年天津市耀华中学高三（上）调研数学试卷
一、选择题：（本题共有9个小题，每小题5分，共45分。每个小题的4个选项中只有一个正确选项。请直接在屏幕上点击对应的选项。）
1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{y||y|＞1，y∈N}，则A∩B＝（　　）
A．∅ B．{﹣3，﹣2，2，3} C．{﹣2，2} D．{2}
2．（5分）荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）已知函数f（x）的图像如图，请根据图像选出符合条件的解析式（　　）

A．
B．
C．
D．
4．（5分）某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．频率分布直方图中a的值为0.004
B．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80
C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在[60，70）内的学生人数为160
5．（5分）已知圆锥的侧面积为8π，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为（　　）
A． B．9π C． D．
6．（5分）若4﹣x＝log4x，4y＝，4﹣z+log4z＝0，则实数x，y，z的大小关系为（　　）
A．x＜y＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x
7．（5分）过抛物线C：y2＝6x的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E：﹣y2＝1（a＞0）所截得线段长度为2，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知f（x）＝2sin2（ωx+）﹣1（ω＞0），给出下列结论：
①若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min＝π，则ω＝1；
②存在ω∈（0，2），使得f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
③若f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为[]；
④若f（x）在[]上单调递增，则ω的取值范围为（0，]．
其中，所有正确结论的编号是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
9．（5分）已知f（x）＝，若g（x）＝|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（　　）
A．[，） B．[，] C．（0，） D．（0，）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请直接在屏幕上作答）
10．（5分）已知复数z＝﹣4+3i，则|z2+4z|＝　 　．
11．（5分）开式中的常数项为﹣160，则a＝　 　．
12．（5分）已知圆心为（1，m）（m＜0）的圆与x轴相切，且与直线x﹣2y＝0相交于A，B两点，若|AB|＝4，则实数m＝　 　．
13．（5分）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为 　 　．
14．（5分）已知实数x，y满足x2+y2＝1，则的最小值为　 　．
15．（5分）如图梯形ABCD，AB∥CD且AB＝5，AD＝2DC＝4，E在线段BC上，•＝0，则•的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。请将答案写在答题纸相应位置并拍照上传。）
16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B为锐角且满足bcosA+acosB＝bsinC．
（1）求角B的大小；
（2）若a＝2，b＝，求△ABC的面积．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝2，PA＝4，E为棱BC上的点，且BE＝BC．
（1）若F为棱PD的中点，求证：EF∥平面PAB；
（2）（ⅰ）求证DE⊥平面PAC；
（ⅱ）设Q为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．

18．（15分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），其离心率为e＝．
（1）若a＝2，点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
（2）是否存在过椭圆C的右焦点F的直线l，使得其与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，且满足坐标原点O关于点M的对称点在椭圆C上．若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由．
19．（15分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}的各项均为整数，它们的前n项和分别为Sn，Tn，且b1＝2a1＝2，b2S3＝54，a2+T2＝11．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求Mn＝a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn；
（3）是否存在正整数m，使得恰好是数列{an}或{bn}中的项？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．
20．（16分）设函数．
（1）若F（x）在区间（0，1]上存在极值，求实数b的取值范围；
（2）①设b＝e，求F（x）的最小值；
②定义：对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k、m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y＝kx+m为函数f（x）与g（x）的“隔离直线”．设b＝e，试探究f（x）与g（x）是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．

2021-2022学年天津市耀华中学高三（上）调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共有9个小题，每小题5分，共45分。每个小题的4个选项中只有一个正确选项。请直接在屏幕上点击对应的选项。）
1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}，B＝{y||y|＞1，y∈N}，则A∩B＝（　　）
A．∅ B．{﹣3，﹣2，2，3} C．{﹣2，2} D．{2}
【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜3，x∈Z}＝{x|﹣3＜x＜3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
B＝{y||y|＞1，y∈N}＝{y|y＜﹣1或y＞1，y∈N}，
∴A∩B＝{2}．
故选：D．
2．（5分）荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充要条件的定义即可判断．
【解答】解：荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，
故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．
故选：B．
3．（5分）已知函数f（x）的图像如图，请根据图像选出符合条件的解析式（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】由图像可得函数f（x）为奇函数．且f（2）＞0，f（4）＜0，再逐个选项判断即可求得结论．
【解答】解：由图像特点可知函数f（x）为奇函数．且f（2）＞0，f（4）＜0，
对于A，因为，所以＝＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，f（2）＝＞0，f（4）＝＜0，符合题意，
对于B，，＝＝﹣f（x），f（x）为奇函数，
f（2）＝，因为cos2＜0，所以f（2）＜0，不符合题意；
对于C，，＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，不符合题意；
对于D，，所以＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，不符合题意．
故选：A．
4．（5分）某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．频率分布直方图中a的值为0.004
B．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80
C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在[60，70）内的学生人数为160
【分析】对于A，由频率分布直方图的性质列方程能求出a；对于B，求出[50，80）的频率为0.6，由此能估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80；对于C，[70，80）对应的小矩形最高，由此能估计这20名学生数学考试成绩的众数；对于D，求出总体在[60，70）的频率，由此能估计总体中成绩落在[60，70）内的学生人数．
【解答】解：对于A，由频率分布直方图的性质得：
（2a+3a+7a+6a+2a）×10＝1，解得a＝0.005，故A错误；
对于B，[50，80）的频率为：10（2a+3a+7a）＝10×12×0.005＝0.6，
∴估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B正确；
对于C，估计这20名学生数学考试成绩的众数为：＝75，故C错误；
对于D，估计总体中成绩落在[60，70）内的学生人数为：
3×0.005×10×1000＝150，故D错误．
故选：B．
5．（5分）已知圆锥的侧面积为8π，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为（　　）
A． B．9π C． D．
【分析】根据圆锥的侧面积和侧面展开图是半圆，求出底面圆的半径和母线长与高，再求圆锥外接球的半径和表面积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
则侧面积为πrl＝8π，...①
底面圆的周长为πl＝2πr，...②
由①②解得r＝2，l＝4，
所以h＝＝＝2．
设圆锥外接球的半径为R，画出轴截面图形，如图所示：

由勾股定理得，
解得，
所以外接球的表面积为S＝．
故选：D．
6．（5分）若4﹣x＝log4x，4y＝，4﹣z+log4z＝0，则实数x，y，z的大小关系为（　　）
A．x＜y＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x
【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，得到x，y，z的范围即可得到答案．
【解答】解：∵4﹣x＝log4x，∴x＞0，∴0＜4﹣x＜1，即0＜log4x＜1，∴1＜x＜4，
∵4y＝，∴y＞0，∴4y＞1，即y＞1，∴0＜y＜，
∵4﹣z+log4z＝0，∴z＞0，∴0＜4﹣z＜1，即0＜﹣log4z＜1，∴＜z＜1，
∴y＜z＜x，
故选：D．
7．（5分）过抛物线C：y2＝6x的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E：﹣y2＝1（a＞0）所截得线段长度为2，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，然后求解弦长，求解a，然后求解离心率即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝6x的焦点（，0），
过抛物线C：y2＝6x的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E：﹣y2＝1（a＞0）所截得线段长度为2，
可得＝，解得a＝，c＝，
所以e＝＝＝．
故选：D．
8．（5分）已知f（x）＝2sin2（ωx+）﹣1（ω＞0），给出下列结论：
①若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min＝π，则ω＝1；
②存在ω∈（0，2），使得f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
③若f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为[]；
④若f（x）在[]上单调递增，则ω的取值范围为（0，]．
其中，所有正确结论的编号是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【分析】把已知函数解析式变形，求得函数的最小正周期为．
由已知条件可得函数的最小正周期，求得ω值判断①；求出图象变换后的函数解析式，由对称性求得ω值判断②；求出函数的零点，再由已知列关于ω的不等式，求出ω范围判断③；求出函数的增区间，由题意列关于ω的不等式组，求得ω范围判断④．
【解答】解：∵f（x）＝2sin2（ωx+）﹣1＝﹣cos（2ωx+）＝sin（），
∴f（x）的最小正周期为．
对于①，由f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min＝π，知最小正周期为T＝2π，
∴2ω＝，，故①错误；
对于②，图象变换后所得函数为y＝sin（2ωx+），
若其图象关于y轴对称，则，k∈Z，解得ω＝1+3k，k∈Z，
当k＝0时，ω＝1，
故存在ω∈（0，2），使得f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
故②正确；
对于③，由，k∈Z，得x＝，k∈Z，
若f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，则≤2π＜，
解得ω∈[），故③错误；
对于④，由，k∈Z，
得，k∈Z，
取k＝0，可得，
若f（x）在[]上单调递增，则，解得0＜ω≤，
故④正确．
故选：D．
9．（5分）已知f（x）＝，若g（x）＝|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（　　）
A．[，） B．[，] C．（0，） D．（0，）
【分析】求出|f（x）|的解析式，作出y＝|f（x）|与y＝a（x+1）的函数图象，根据交点个数判断a的范围．
【解答】解：令g（x）＝0得|f（x）|＝ax+a＝a（x+1），
|f（x）|＝，
作出y＝|f（x）|与y＝a（x+1）的函数图象，则两函数图象有3个交点，

若直线y＝a（x+1）经过点（2，ln3），则a＝，
若直线y＝a（x+1）与y＝ln（x+1）相切，设切点为（x0，y0），
则，解得x0＝e﹣1，y0＝1，a＝．
∴≤a＜，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。请直接在屏幕上作答）
10．（5分）已知复数z＝﹣4+3i，则|z2+4z|＝　15　．
【分析】先对已知复数进行化简，然后结合模长公式可求．
【解答】解：因为z＝﹣4+3i，所以z2＝（﹣4+3i）2＝7﹣24i，
则|z2+4z|＝|7﹣24i﹣16+12i|＝|﹣9﹣12i|＝＝15．
故答案为：15．
11．（5分）开式中的常数项为﹣160，则a＝　2　．
【分析】写出展开式的通项，然后根据常数项为﹣160可求得a值．
【解答】解：的通项公式为，当6﹣2r＝0时，r＝3，此时展开式中的常数项为，则a＝2．
故答案为：2．
12．（5分）已知圆心为（1，m）（m＜0）的圆与x轴相切，且与直线x﹣2y＝0相交于A，B两点，若|AB|＝4，则实数m＝　﹣7　．
【分析】利用圆心到直线的距离与半径半弦长的关系，转化求解即可．
【解答】解：圆心为（1，m）的圆与x轴相切，且与直线x﹣2y＝0相交于A，B两点，|AB|＝4，
可得：m2＝4+（）2，解得m＝3或m＝﹣7，
∵m＜0，∴m＝﹣7．
故答案为：﹣7．
13．（5分）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为 　1　．
【分析】抽到自己准备的书的学生数为X，X的可能取值为0，1，2，4，分别计算出对应的概率，即可得出结果．
【解答】解：记抽到自己准备的书的学生数为X，则X可能取值为0，1，2，4，
则P（X＝0）＝＝＝，
P（X＝1）＝＝＝，
P（X＝2）＝＝＝，
P（X＝4）＝＝，
∴E（X）＝0×+1×+2×+4×＝1，
故答案为：1．
14．（5分）已知实数x，y满足x2+y2＝1，则的最小值为　2　．
【分析】首先进行换元转化，令（x﹣y）2＝m，（x+y）2＝n，则有m+n＝2，然后利用“1”的代换结合基本不等式求解即可．
【解答】解：令（x﹣y）2＝m，（x+y）2＝n，则有m+n＝2x2+2y2＝2，
所以＝，
当且仅当，即m＝n时取等号，
故的最小值为2．
故答案为：2．
15．（5分）如图梯形ABCD，AB∥CD且AB＝5，AD＝2DC＝4，E在线段BC上，•＝0，则•的最小值为 　　．

【分析】设＜，＞＝θ，由DC∥AB，可得＜，＞＝θ，根据•＝0，可得θ＝．以AB所在直线为x轴，过点D作DO⊥AB，DO所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系．
设＝λ，可得＝+λ，可得E点坐标，利用数量积运算性质及其二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：设＜，＞＝θ，∵DC∥AB，则＜，＞＝θ，
∵•＝0，
∴（+）•（﹣）＝0，
∴42﹣4×5×cosθ+4×2cosθ﹣2×5＝0，化为cosθ＝，
∴θ＝．
以AB所在直线为x轴，过点D作DO⊥AB，DO所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系．
则A（﹣2，0），B（3，0），C（2，2），D（0，2），
设＝λ，可得＝+λ＝（3﹣λ，2λ），
＝（5﹣λ，2λ），＝（3﹣λ，2（λ﹣1）），
∴•＝（5﹣λ）（3﹣λ）+2λ•2（λ﹣1））＝13λ2﹣20λ+15，
又0≤λ≤1，可得λ＝时，•取得最小值为．
故答案为：．

三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。请将答案写在答题纸相应位置并拍照上传。）
16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B为锐角且满足bcosA+acosB＝bsinC．
（1）求角B的大小；
（2）若a＝2，b＝，求△ABC的面积．
【分析】（1）余弦定理得：+a＝bsinC，sinB＝，即可求得B；
（2）由正弦定理可得sinA＝．求得sinC，即可求得△ABC的面积．
【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且满足足bcosA+acosB＝bsinC．
由余弦定理得：+a＝bsinC，即c＝，
∴sinC＝，
∴sinB＝，B为锐角，∴B＝．
（2）由正弦定理可得：，即，∴sinA＝．
∵a＜b，∴A＜B，∴cosA＝，
∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝＝．
△ABC的面积S＝＝＝1+．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝2，PA＝4，E为棱BC上的点，且BE＝BC．
（1）若F为棱PD的中点，求证：EF∥平面PAB；
（2）（ⅰ）求证DE⊥平面PAC；
（ⅱ）设Q为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．

【分析】（1）取PA的中点G，连接GF，GB，由平行四边形的判定和性质，以及线面平行的判定定理，即可得证；
（2）（ⅰ）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．由向量法，结合向量垂直的性质，以及线面垂直的判定定理可得证明；
（ⅱ）由线面垂直可得可作为平面PAC的法向量，求得的坐标，由向量的夹角公式，结合已知条件，解方程可得所求值．
【解答】解：（1）取PA的中点G，连接GF，GB，FG＝1，BG＝1，
FG∥AD，AD∥BC，所以FG∥BE，
所以四边形BEFG为平行四边形，
所以EF∥BG，又EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，
所以EF∥平面PAB；
（2）（ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为AB⊥AD，则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，0），P（0，0，4），E（2，1，0），
所以＝（2，﹣1，0），＝（2，4，0），＝（0，0，4），
因为•＝2×2﹣1×4+0＝0，•＝0，所以DE⊥AC，DE⊥AP，
由AP∩AC＝A，AP⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以DE⊥平面PAC．
（ⅱ）由（ⅰ）可知DE⊥平面PAC，
＝（2，﹣1，0）可作为平面PAC的法向量，
设＝λ（0＜λ＜1），即＝λ＝（﹣2λ，﹣4λ，4λ），
所以Q（2﹣2λ，4﹣4λ，4λ），即有＝（2λ，4λ﹣3，﹣4λ），
因为直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，
所以|cos＜，＞|＝||＝＝．
即＝3，
解得λ＝，即＝．

18．（15分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），其离心率为e＝．
（1）若a＝2，点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
（2）是否存在过椭圆C的右焦点F的直线l，使得其与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，且满足坐标原点O关于点M的对称点在椭圆C上．若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由椭圆的离心率公式，结合a，b，c的关系，求得椭圆方程，由向量垂直的条件，结合直线和圆的位置关系的判断，计算可得结论；
（2）设过F的直线l的方程为x＝ty+c或x＝0，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合点满足椭圆方程，解方程可得结论．
【解答】解：（1）由题意可得e＝＝，a＝2，所以c＝，b2＝a2﹣c2＝4﹣2＝2，
则椭圆的方程为+＝1．
设A（x0，y0），B（t，2），其中x0≠0，因为OA⊥OB，
因为•＝0，即tx0+2y0＝0，所以t＝﹣，
①当x0＝t时，y0＝﹣，而A在椭圆上，
则+＝1，即+＝1，解得t＝±，
故此时直线AB的方程为x＝±；
圆x2+y2＝2的圆心（0，0）到AB的距离为，此时直线AB与圆x2+y2＝2相切；
②当x0≠t时，直线AB的方程为y﹣2＝（x﹣t），
即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0＝0，圆心（0，0）到直线AB的距离d＝，
又+＝1，t＝﹣，故d＝＝＝，
此时直线AB与圆x2+y2＝2相切．
综上可得，直线AB与圆x2+y2＝2相切．
（2）由题意可得e＝＝，a2＝b2+c2，
故b＝c＝a，椭圆C的方程为+＝1，右焦点F（c，0），
设过F的直线l的方程为x＝ty+c或x＝0，
当l为x＝0时，AB的中点M即为原点O，显然不满足题意；
当直线l的方程为x＝ty+c时，由可得（2+t2）y2+2tcy﹣c2＝0，
则yA+yB＝﹣，故yM＝＝﹣，
由M在直线l上，可得xM＝tyM+c＝﹣+c＝，
M（，﹣），则点O关于M的对称点O'的坐标为（，﹣），
又O'在椭圆上，可得（）2+2（﹣）2＝2c2，
即8+4t2＝（2+t2）2，即t4＝4，解得t＝±，
此时直线l的斜率为k＝＝±，
所以存在满足题意的直线l，斜率为±．
19．（15分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}的各项均为整数，它们的前n项和分别为Sn，Tn，且b1＝2a1＝2，b2S3＝54，a2+T2＝11．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求Mn＝a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn；
（3）是否存在正整数m，使得恰好是数列{an}或{bn}中的项？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d和等比数列{bn}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；
（2）由数列的错位相减法法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；
（3）假设存在正整数m，使得恰好是数列{an}或{bn}中的项，可设＝L，L∈N*，化简整理，结合整数的性质可得L＝2或3，分别讨论L的值，解方程可得所求结论．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d和等比数列{bn}的公比为q，
由b1＝2a1＝2，b2S3＝54，a2+T2＝11，可得，解得或（舍去），
则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；bn＝2•3n﹣1；
（2）Mn＝a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn＝1•2+3•6+…+（2n﹣1）•2•3n﹣1，
3Mn＝1•6+3•18+…+（2n﹣1）•2•3n，
两式相减可得﹣2Mn＝2+2（6+18+…+2•3n﹣1）﹣（2n﹣1）•2•3n＝2+4•﹣（2n﹣1）•2•3n，
化简可得Mn＝2（n﹣1）•3n+2；
（3）由（1）可得Sn＝n2，Tn＝3n﹣1，
假设存在正整数m，使得恰好是数列{an}或{bn}中的项，所以＝，
可设＝L，L∈N*，
所以（L﹣1）（m2﹣1）＝（3﹣L）3m，因为m2﹣1≥0，3m＞0，所以1＜L≤3，由L∈N*，可得L＝2或3，
当L＝2时，m2﹣1＝3m，即＝1，可令f（m）＝，f（m+1）﹣f（m）＝﹣＝﹣，
当m＝1时，f（1）＜f（2），当m≥2时，f（m+1）＜f（m），可得f（1）＜f（2）＞f（3）＞f（4）＞…，
由f（1）＝0，f（2）＝，可得＝1无整数解．
当L＝3时，有m2﹣1＝0，即存在m＝1使得＝3，是数列{an}中的第二项，
故存在正整数m＝1，使得恰好是数列{an}中的项．
20．（16分）设函数．
（1）若F（x）在区间（0，1]上存在极值，求实数b的取值范围；
（2）①设b＝e，求F（x）的最小值；
②定义：对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k、m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y＝kx+m为函数f（x）与g（x）的“隔离直线”．设b＝e，试探究f（x）与g（x）是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出函数F（x）的导数，讨论函数的单调性，从而得到函数的极值情况，从而得到参数的范围．
（2）函数f（x）与g（x）的图象在处有公共点，假设f（x）与g（x）存在“隔离直线”，即；由在x∈R上恒成立，得到k的值，再证明 恒成立即可．
【解答】解：（1），则 （x＞0）
①当b≤0时，F′（x）＞0，F（x）在区间（0，1]上递增，不存在极值；
②当时，F′（x）≤0，F（x）在（0，1]区间上递减，不存在极值；
③当0＜b＜1时，F（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，则在处取得极小值；
所以实数b的取值范围（0，1）；
（2））①b＝e时，F（x）＝；则；
当时，F′（x）＜0，F（x） 单调递减，
当时，F′（x）＞0，F（x） 单调递增；
所以当时，F（x）取得最小值F（ ）＝0
②由①可知函数f（x）与g（x）的图象在处有公共点；
假设f（x）与g（x）存在“隔离直线”，即；
由在x∈R上恒成立；
则在上恒成立；
即＝4＝；
即
下面证明 恒成立；
设G（x）＝，则；
所以当时，G′（x）＞0，当 时，G′（x）＜0
因此x＝时，G（x）取得最大值0，则 （x＞0）恒成立．
故f（x）与g（x）存在“隔离直线”；