2021年全国高考数学预测试卷（文科）

这是一份2021年全国高考数学预测试卷（文科），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年全国高考数学预测试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设全集U＝{x∈Z||x|≤2}，A＝{x|x+1≤0}，B＝{﹣2，0，2}，则（∁UA）∪B＝（　　）
A．{1} B．{0，2} C．{﹣2，0，1，2} D．（﹣1，2]∪{﹣2}
2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（　　）
A．﹣6 B． C． D．2
3．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
4．（5分）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（x0，）到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于（　　）
A． B．1 C． D．2
6．（5分）在数列{an}中，an+1﹣an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an+an+1}的前10项和为（　　）
A．100 B．110 C．120 D．130
7．（5分）已知P为一圆锥的顶点，AB为底面圆的直径，PA⊥PB，点M在底面圆周上，若M为的中点，则异面直线AM与PB所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指．中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得．如图，这是一个把k进制数a（共有N位）化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为5，1203，4，则输出的b＝（　　）

A．178 B．386 C．890 D．14 303
9．（5分）函数f（x）＝cosx•sin（1﹣）的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（5分）若双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x2+（y﹣a）2＝所截得的弦长为2a，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）已知函数f（x）＝3e|x|，若存在实数t∈[﹣1，+∞），使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m＞1，都有f（x+t）≤3ex，则m的最大值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．2 D．0
12．（5分）若a1＝1，对任意的n∈N*，都有an＞0，且nan+12﹣（2n﹣1）an+1an﹣2an2＝0．设M（x）表示整数x的个位数，则M（a2021）为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线f（x）＝x++b在点（a，f（a））处的切线经过坐标原点，则ab＝　 　．
14．（5分）已知α∈（0，），sin（α+）+sinα＝，则sin（2α+）＝　 　．
15．（5分）平行四边形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足：＝3，＝2，则＝　 　．
16．（5分）石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技的发展，机器雕刻产品越来越多．某石雕厂计划利用一个圆柱形的石材（如图1）雕刻制作一件工艺品（如图2），该作品的上方是一个球体，下方是一个正四棱柱，经测量，圆柱形石材的底面半径r＝3米，高h＝10米，制作要求如下：首先需将石材切割为体积相等的两部分（分别称为圆柱A和圆柱B），要求切面与原石材的上、下底面平行（不考虑损耗），然后将圆柱A切割打磨为一个球体，将圆柱B切割打磨为一个长方体，则加工打磨后所得工艺品的体积的最大值为 　 　立方米．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinAcosC+csinAcosA﹣bcosA＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为4，且2b＝a+c，求△ABC的周长．
18．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝2AD，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（Ⅰ）求证：AD⊥BM；
（Ⅱ）若E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥E﹣ADM的体积与四棱锥D﹣ABCM的体积之
比为1：3？
19．（12分）某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销量y（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响．对近6年宣传费xi和年销量yi（i＝1，2，3，4，5，6）的数据做了初步统计，得到如下数据：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年宣传费x（万元）
38
48
58
68
78
88
年销售量y（吨）
16.8
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5
经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式y＝a•xb（a，b＞0）即lny＝blnx+lna，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：




75.3
24.6
18.3
101.4
（Ⅰ）从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率．
（Ⅱ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（Ⅲ）若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本＝固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为R（x）＝﹣x+（40+20e）+500（万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），则2019年该公司应该投入多少宣传费才能使利润最大？（其中e＝2.71828…）
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝β•u+α中的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝，
20．（12分）已知函数f（x）＝lnx+kx+2．
（1）讨论y＝f（x）﹣2的零点个数；
（2）若函数g（x）＝﹣x+2，当k＝﹣1且0＜a≤时，求证：g（x）＞f（x）．
21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，点A，B，N分别为椭圆的左右顶点和上顶点，且•＝﹣1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过原点O直线l与椭圆C交于不同的，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．椭圆C上是否存在一点M，使得以OP，OQ为邻边的平行四边形OPMQ的面积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（）＝b．
（1）求曲线C1的极坐标方程；
（2）若曲线C1上存在两个点到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+2|+|ax﹣3|．
（1）当a＝3时，求不等式f（x）＜6的解集；
（2）若，不等式f（x）≤x2+x+3恒成立，求实数a的取值范围．

2021年全国高考数学预测试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设全集U＝{x∈Z||x|≤2}，A＝{x|x+1≤0}，B＝{﹣2，0，2}，则（∁UA）∪B＝（　　）
A．{1} B．{0，2} C．{﹣2，0，1，2} D．（﹣1，2]∪{﹣2}
【分析】由列举法表示U，求解不等式可得A，再由补集与补集运算得答案．
【解答】解：U＝{x∈Z||x|≤2}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
A＝{x|x+1≤0}＝{x|x≤﹣1}，则∁UA＝{0，1，2}，
又B＝{﹣2，0，2}，∴（∁UA）∪B＝{0，1，2}∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，
故选：C．
2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（　　）
A．﹣6 B． C． D．2
【分析】先将复数化简，确定其实部和虚部，利用实部和虚部互为相反数，可求b的值．
【解答】解：由题意，＝＝
∵复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数
∴
∴b＝，
故选：C．
3．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可．
【解答】解：根据题意，大圆的直径为y＝3sinx的周期，且T＝＝12，
面积为S＝π•＝36π，
一个小圆的面积为S′＝π•12＝π，
在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：
P＝＝＝．
故选：B．
4．（5分）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1，
loga3＜logb3，或根据对数函数的性质求解即可，
再利用充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：a、b都是不等于1的正数，
∵3a＞3b＞3，
∴a＞b＞1，
∵loga3＜logb3，
∴，
即＜0，
或
求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1
根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分条不必要件，
故选：B．
5．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（x0，）到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于（　　）
A． B．1 C． D．2
【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x0＝x0+，得出x0求得p，可得答案．
【解答】解：由题意，3x0＝x0+，∴x0＝，
∴＝2，
∵p＞0，
∴p＝2，
故选：D．
6．（5分）在数列{an}中，an+1﹣an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an+an+1}的前10项和为（　　）
A．100 B．110 C．120 D．130
【分析】由数列{an}中，an+1﹣an＝2，可得此数列是等差数列，公差为2．数列{an+an+1}的前10项和＝a1+a2+a2+a3+…+a10+a10+a11＝2S10+10d，即可得出．
【解答】解：∵数列{an}中，an+1﹣an＝2，
∴此数列是等差数列，公差为2．
数列{an+an+1}的前10项和为：a1+a2+a2+a3+…+a10+a10+a11＝2（a1+a2+…+a10）+a11﹣a1＝2S10+10×2＝120，
故选：C．
7．（5分）已知P为一圆锥的顶点，AB为底面圆的直径，PA⊥PB，点M在底面圆周上，若M为的中点，则异面直线AM与PB所成角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB＝1．由PA⊥PB，可得OP＝OB＝OA，OP⊥底面AMB．利用向量夹角公式即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB＝1．
∵PA⊥PB，∴OP＝OB＝OA，OP⊥底面AMB．
则O（0，0，0），B（0，1，0），M（1，0，0），P（0，0，1），A（0，﹣1，0），
∴＝（1，1，0），＝（0，1，﹣1），
∴cos＜，＞＝＝，
∴＜，＞＝，
∴异面直线AM与PB所成角的大小为．
故选：C．

8．（5分）五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指．中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得．如图，这是一个把k进制数a（共有N位）化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为5，1203，4，则输出的b＝（　　）

A．178 B．386 C．890 D．14 303
【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出b＝3•50+0•51+2•52+1•53＝178的值，从而得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出：b＝3•50+0•51+2•52+1•53＝178．
故选：A．
9．（5分）函数f（x）＝cosx•sin（1﹣）的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先判断函数的奇偶性，可知函数f（x）的图象关于原点对称，排除AB选项；再由f（1）＞0，排除选项D，进而得出正确选项．
【解答】解：，则，故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除AB；
又，可排除D．
故选：C．
10．（5分）若双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x2+（y﹣a）2＝所截得的弦长为2a，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，进而可得圆心到渐近线的距离d，根据题意可得d2+（）2＝r2，解得e，即可得出答案．
【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
圆x2+（y﹣a）2＝，圆心（0，a），半径r2＝，
所以圆心（0，a）到bx+ay＝0的距离d＝＝，
所以d2+（）2＝r2，
即+3a2＝，
所以3a2c2＝a4+c4，
所以3•＝1+（）4，
即e4﹣3e2+1＝0，
令t＝e2，则t2﹣3t+1＝0，
解得t＝或，
因为e＞1，则t＞1，
则t＝，
又t＝＝＝，
所以e＝，
故选：D．
11．（5分）已知函数f（x）＝3e|x|，若存在实数t∈[﹣1，+∞），使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m＞1，都有f（x+t）≤3ex，则m的最大值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．2 D．0
【分析】将原命题转化为存在实数t∈[﹣1，+∞），使得不等式t≤1+lnx﹣x对任意 x∈[1，m]恒成立，即（1+lnx+x）min＞﹣1，构造函数 h（x）＝1+lnx﹣x，x∈[1，m]，结合h（x）min⩾﹣1即可得到答案．
【解答】解：因为当 t∈[﹣1，+∞） 且 x∈[1，m]时，x+t⩾0，
所以 f（x+t）⩽3ex⇔ex+t⩽ex⇔x+t⩽1+lnx．
所以原命题等价转化为：存在实数 t∈[﹣1，+∞），使得不等式 t⩽1+lnx﹣x对任意 x∈[1，m]恒成立．
令 h（x）＝1+lnx﹣x，x∈[1，m]，
因为 ，所以函数h（x）在（1，m） 上为减函数，
所以h（x）min＝h（m）＝1+lnm﹣m．
所以要使得对任意 x∈[1，m]，t 值恒存在，只需 1+lnm﹣m⩾﹣1．
因为 ，，
且函数 h（x） 在[1，+∞） 上为减函数，
所以满足条件的最大整数 m 的值为 3．
故选：A．
12．（5分）若a1＝1，对任意的n∈N*，都有an＞0，且nan+12﹣（2n﹣1）an+1an﹣2an2＝0．设M（x）表示整数x的个位数，则M（a2021）为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】利用递推公式，求出{an}的通项公式，进而分析M（an）的变化规律，从而得到M（a2021）的值．
【解答】解：因为nan+12﹣（2n﹣1）an+1an﹣2an2＝0，
所以（nan+1+an）（an+1﹣2an）＝0
又an＞0，
则an+1﹣2an＝0，所以，
又a1＝1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
则，
所以a2＝2，a3＝4，a4＝8，a5＝16，a6＝32，a7＝64，a8＝128，••••，
所以M（a2）＝2，M（a3）＝4，M（a4）＝8，M（a5）＝6，M（a6）＝2，M（a7）＝4，M（a8）＝8，•••，
故当n≥2时，M（an）依次构成以4为周期的数列，
所以M（a2021）＝M（a5）＝6．
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）曲线f（x）＝x++b在点（a，f（a））处的切线经过坐标原点，则ab＝　﹣2　．
【分析】求导，再根据导数的几何意义，可得切线方程为y﹣（a++b）＝（1﹣）（x﹣a），代入原点（0，0），即可得解．
【解答】解：∵f（x）＝x++b，∴f'（x）＝1﹣，
∴函数f（x）在点（a，f（a））处的切线的斜率为f'（a）＝1﹣，
切线方程为y﹣（a++b）＝（1﹣）（x﹣a），
把（0，0）代入，有﹣（a++b）＝（1﹣）•（﹣a），
化简得ab＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．（5分）已知α∈（0，），sin（α+）+sinα＝，则sin（2α+）＝　　．
【分析】利用和差角公式化简条件，根据α的范围求出α的大小，再代入求值．
【解答】解：因为＝，
所以，又，所以．
所以＝．
故答案为：．
15．（5分）平行四边形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足：＝3，＝2，则＝　9　．
【分析】用，表示出，，在进行计算．
【解答】解：∵＝3，＝2，
∴，，＝＝．
∴＝＝，＝＝﹣．
∴＝（）•（﹣）＝﹣＝36﹣＝9．
故答案为：9．

16．（5分）石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技的发展，机器雕刻产品越来越多．某石雕厂计划利用一个圆柱形的石材（如图1）雕刻制作一件工艺品（如图2），该作品的上方是一个球体，下方是一个正四棱柱，经测量，圆柱形石材的底面半径r＝3米，高h＝10米，制作要求如下：首先需将石材切割为体积相等的两部分（分别称为圆柱A和圆柱B），要求切面与原石材的上、下底面平行（不考虑损耗），然后将圆柱A切割打磨为一个球体，将圆柱B切割打磨为一个长方体，则加工打磨后所得工艺品的体积的最大值为 　+90　立方米．

【分析】要使工艺品的体积最大，则需上方的球与下方正四棱柱的体积同时取得最大值，分别求出球的体积的最大值与正四棱柱体积的最大值，作和得答案．
【解答】解：圆柱A和圆柱B的体积相等，
∴它们的高一样，可设为h′＝h＝5米，
要使工艺品的体积最大，则需上方的球与下方正四棱柱的体积同时取得最大值，
最大球体半径为R，则，即R，球体体积；
∵正四棱柱的底面正方形内接于半径为r＝3的圆，
∴正方形的对角线长为2r＝6，边长为3，
正四棱柱体积V2＝（3）2•h′＝18×5＝90，
∴手工作品的体积为V＝V1+V2＝+90立方米．
故答案为：+90．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinAcosC+csinAcosA﹣bcosA＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为4，且2b＝a+c，求△ABC的周长．
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc的值，利用余弦定理可求b，c的值，结合A＝，可求△ABC为等边三角形，即可求解△ABC的周长．
【解答】解：（1）因为asinAcosC+csinAcosA﹣bcosA＝0，
所以由正弦定理可得sinAsinAcosC+sinCsinAcosA＝sinBcosA，可得sinA（sinAcosC+sinCcosA）＝sinBcosA，
可得sinAsinB＝sinBcosA，
因为sinB＞0，
所以sinA＝cosA，可得tanA＝，
因为A∈（0，π），
所以A＝．
（2）因为△ABC的面积为4＝bcsinA＝bc，
所以bc＝16，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣bc＝b2+c2﹣16，
又2b＝a+c，可得a＝2b﹣c，代入上式可得，（2b﹣c）2＝b2+c2﹣16，化简可得3b2＝4bc﹣16＝48，解得b＝4，所以c＝4，
因为A＝，
所以△ABC为等边三角形，可得△ABC的周长为12．
18．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝2AD，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（Ⅰ）求证：AD⊥BM；
（Ⅱ）若E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥E﹣ADM的体积与四棱锥D﹣ABCM的体积之
比为1：3？
【分析】（Ⅰ）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM；
（Ⅱ）E为BD的中点，此时，计算体积可得结论．
【解答】证明：（Ⅰ）长方形ABCD中，AB＝2AD，M为DC的中点，
∴AM＝BM，
∴BM⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD⊂平面ADM
∴AD⊥BM；
解：（Ⅱ）E为BD的中点，此时，
∴VE﹣ADM＝＝VD﹣ABCM．
19．（12分）某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销量y（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响．对近6年宣传费xi和年销量yi（i＝1，2，3，4，5，6）的数据做了初步统计，得到如下数据：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年宣传费x（万元）
38
48
58
68
78
88
年销售量y（吨）
16.8
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5
经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式y＝a•xb（a，b＞0）即lny＝blnx+lna，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：




75.3
24.6
18.3
101.4
（Ⅰ）从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率．
（Ⅱ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（Ⅲ）若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本＝固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为R（x）＝﹣x+（40+20e）+500（万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），则2019年该公司应该投入多少宣传费才能使利润最大？（其中e＝2.71828…）
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝β•u+α中的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝，
【分析】（Ⅰ）记事件A表示“至多有一年年销量低于20吨”，由表中数据可知6年的数据中有2013年和2014年的年销量低于20吨，记这两年为c，d，其余四年为e，f，g，h，利用枚举法列出从6年中任取2年的事件数，求出事件A包括的事件数，利用古典概型概率计算公式得答案；
（Ⅱ）对y＝a•xb（a＞0，b＞0）两边取对数得lny＝lna+blnx，令ui＝lnxi，vi＝lnyi，得v＝lna+b•u，分别求出b与a的值，则回归方程可求；
（Ⅲ）设该公司的年利润为f（x），得到利润关于x的函数关系，利用配方法求最值．
【解答】解：（Ⅰ）记事件A表示“至多有一年年销量低于20吨”，
由表中数据可知6年的数据中有2013年和2014年的年销量低于20吨，
记这两年为c，d，其余四年为e，f，g，h，
则从6年中任取2年共有（c，d），（c，e），（c，f），（c，g），（c，h），（d，e），（d，f），（d，g），（d，h），（e，f），（e，g），（e，h），（f，g），（f，h），（g，h）15种不同取法，
事件A包括（c，e），（c，f），（c，g），（c，h），（d，e），（d，f），（d，g），（d，h），（e，f），（e，g），（e，h），（f，g），（f，h），（g，h）共14种取法，
故；……………………（3分）
（Ⅱ）对y＝a•xb（a＞0，b＞0）两边取对数得lny＝lna+blnx，
令ui＝lnxi，vi＝lnyi，得v＝lna+b•u，
由题中数据得：，，……………………（4分）
∴，，
∴，
由，得a＝e，
故所求回归方程为；…………………………………（8分）
（Ⅲ）设该公司的年利润为f（x），
∵利润＝销售收入﹣总成本，∴由题意可知，
∴当即x＝100时，利润f（x）取得最大值500（万元），
故2019年该公司投入100万元的宣传费才能获得最大利润．…………………………………………（12分）
20．（12分）已知函数f（x）＝lnx+kx+2．
（1）讨论y＝f（x）﹣2的零点个数；
（2）若函数g（x）＝﹣x+2，当k＝﹣1且0＜a≤时，求证：g（x）＞f（x）．
【分析】（1）求导，分k≥0及k＜0讨论即可得出单调性情况；
（2）问题转化为证明ex＞axlnx，分0＜x≤1及x＞1两种情况讨论即可得证．
【解答】（1）解：y＝f（x）﹣2＝lnx+kx，定义域为（0，+∞），y′＝+k＝，
当k≥0时，y′＞0，故函数y＝f（x）﹣2在（0，+∞）单调递增，
x→0时，y→﹣∞，x→+∞，y→+∞，
此时y＝f（x）﹣2有一个零点；
当k＜0时，令y′＝0，解得x＝﹣＞0，
故函数y＝f（x）﹣2在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，
所以y＝f（x）﹣2在x＝﹣处取得极大值也是最大值为ln（﹣）﹣1，
当ln（﹣）﹣1＜0，即k＜﹣时，y＝f（x）﹣2没有零点；
当ln（﹣）﹣1＝0，即k＝﹣时，y＝f（x）﹣2有一个零点；
当ln（﹣）﹣1＞0，即﹣＜k＜0时，y＝f（x）﹣2没有零点；
（2）证明：根据已知条件，f（x）＝lnx﹣x+2，要证g（x）＞f（x），即证ex＞axlnx，
①当0＜x≤1时，ex＞1，axlnx≤0，显然成立；
②当x＞1时，xlnx＞0，结合已知0＜a≤可得，0＜axlnx≤
于是问题转化为ex＞，即证 ﹣lnx＞0，
令h（x）＝﹣lnx＞0，x＞1，则h'（x）＝，
令φ（x）＝2ex﹣2（x﹣1）﹣x，则φ′（x）＝2xex﹣2﹣1且在（0，+∞）单调递增，
∵φ′（1）＝＜0，φ′（2）＝3＞0，
∴存在x0∈（1，2），使得φ'（x0）＝0，即2＝1，
∴φ（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，
又φ（1）＝﹣1＜0，φ（2）＝0，
故当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）≥h（2）＝1﹣ln2＞0，故h（x）＞0，即得证．
21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，点A，B，N分别为椭圆的左右顶点和上顶点，且•＝﹣1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过原点O直线l与椭圆C交于不同的，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．椭圆C上是否存在一点M，使得以OP，OQ为邻边的平行四边形OPMQ的面积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用向量的坐标表示可得a²﹣b²＝1，结合离心率可求出a²，b²，进而得到椭圆方程；
（2）设直线l为y＝kx+b（b≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x1+x2，y1+y2），由题设k²＝，S▱OPMQ＝2S△OPQ，，联立直线与椭圆的方程，应用韦达定理求得x1+x2，x1x2，可求得y1+y2，y1y2，进而求得k²，b²，即可确定OPMQ的面积是否为定值．
【解答】解：（1）由题意，A（﹣a，0），B（a，0），N（0，b），
又•＝（a，b）（﹣a，b）＝b²﹣a²＝﹣1，即a²﹣b²＝1，
因为a²﹣b²＝c²，所以c＝1
离心率e＝＝，解得a＝，所以a²＝2，则b²＝1，
故椭圆C的方程为：＝1；
（2）设直线l为y＝kx+b（b≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x1+x2，y1+y2），
由条件可知k²＝且S▱OPMQ＝2S△OPQ，，
联立直线与椭圆方程得（2k²+1）x²+4kbx+2b²﹣2＝0，
则，
所以|PQ|＝|x1﹣x2|＝，
而O到l的距离d＝，
所以S▱OPMQ＝d•|PQ|＝，
而y1y2＝k²x1x2+kb（x1+x2）+b²＝，
所以k²＝，解得k²＝，
所以（x1+x2）²＝＝2b²，
（y1+y2）²＝[k（x1+x2）+2b]²＝k²（x1+x2）²+4kb（x1+x2）+4b²＝b²，
所以b²＝，此时符合题意，
所以S▱OPMQ＝为定值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（）＝b．
（1）求曲线C1的极坐标方程；
（2）若曲线C1上存在两个点到曲线C2的距离为1，求b的取值范围．
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝4，根据，转换为极坐标方程为ρ2+2ρ（sinθ﹣cosθ）﹣2＝0；
（2）曲线C2的极坐标方程为ρcos（）＝b，根据，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣b＝0．
当圆心到直线的距离d＝1或3时，
利用点到直线的距离d＝或，解得或；
故b的范围为：．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+2|+|ax﹣3|．
（1）当a＝3时，求不等式f（x）＜6的解集；
（2）若，不等式f（x）≤x2+x+3恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出a＝3时不等式f（x）＜6的解集；
（2）当时不等式化为|ax﹣3|≤x2+1，去掉绝对值，利用分离参数法求得a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）＝|x+2|+3|x﹣1|，
不等式f（x）＜6可化为|x+2|+3|x﹣1|＜6．
①当x＜﹣2时，不等式可化为﹣x﹣2+3﹣3x＜6，
即﹣4x＜5，解得x＞﹣，此时不等式无解；
②当﹣2≤x≤1时，不等式可化为x+2+3﹣3x＜6，
即﹣2x＜1，解得x＞﹣，此时为；
③当x＞1时，不等式可化为x+2+3x﹣3＜6，
即4x＜7，解得x＜，此时为；
综上可得，；
所以不等式f（x）＜6的解集为．
（2）当时，不等式f（x）≤x2+x+3，
即x+2+|ax﹣3|≤x2+x+3，整理得|ax﹣3|≤x2+1，
即﹣x2﹣1≤ax﹣3≤x2+1，即﹣x2+2≤ax≤x2+4；
因为，所以分离参数可得．
显然函数在上单调递减，
所以；
而函数，
当且仅当，即x＝2时取等号；
所以实数a的取值范围是．