2020-2021学年安徽省合肥市六校高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年安徽省合肥市六校高一（下）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年安徽省合肥市六校高一（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题只有1个选项符合要求）
1．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部是（　　）
A． B．i C．i D．
2．（5分）以下说法正确的有（　　）个
①三角形的直观图是三角形
②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形
④菱形的直观图是菱形
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（5分）已知向量，，若，则m＝（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
4．（5分）某学校共有老、中、青职工200人，其中有老年职工60人，中年职工人数与青年职工人数相等．现采用分层抽样的方法抽取部分职工进行调查，已知抽取的老年职工有12人，则抽取的青年职工应有（　　）
A．12人 B．14人 C．16人 D．20人
5．（5分）一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是（　　）
A．至多有一次为正面 B．两次均为正面
C．只有一次为正面 D．两次均为反面
6．（5分）已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊥α，n⊥α，则n⊥m
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
7．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）在三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若∠A＝120°，a＝2，b＝，则B＝（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）体积为1的正方体的内切球的体积是（　　）
A． B． C． D．π
10．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．+
11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若＜cosA，则△ABC为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
12．（5分）如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为（　　）

A．700m B．640m C．600m D．560m
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上）
13．（5分）在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则事件“取出的球是白球”为 　 　事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）．
14．（5分）已知向量，为单位向量，若与的夹角为，则|﹣|＝　 　．
15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的　 　（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．
16．（5分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M为AB的中点，，且2ccosB＝2a﹣b，则S△ABC＝　 　
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤。）
17．（10分）设向量，不共线．若＝2+p，＝+，＝﹣2，若A，B，D三点共线，求实数p的值．
18．（12分）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m）i的点分别满足下列条件？
（1）实数；
（2）虚数；
（3）位于第四象限．
19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）﹣sinB（a﹣b）＝0．
（1）求C；
（2）若S△ABC＝2，c＝2，求△ABC的周长．
20．（12分）2020年的疫情让人刻骨铭心，2021年某地的疫情又出现了反弹，为切实维护广大人民群众生命安全和身体健康，扎实开展疫情防控工作，当地应对新冠肺炎疫情工作领导小组研究决定，除保障防疫工作、医疗服务、城市运行、值班执勤工作外，对全域车辆和行人采取严格的管控措施，某社区要进行全员核酸检测，由于工作量巨大，招募了100名志愿者，记录了这些志愿者的年龄，统计结果如表：
年龄
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65]
志愿者人数
8
30
a
18
b
志愿者的年龄的频率分布直方图如图所示：

（1）求a，b，并利用所给的频率分布直方图估计所有志愿者的平均年龄（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）若已从年龄在[25，35），[35，45）的志愿者中利用分层抽样选取了7人，再从这7人中选出2人，求这2人在同一年龄组的概率．
21．（12分）已知圆锥的底面半径为1，高为，轴截面为平面PAB，如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，求最短绳长．

22．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PB＝PD，E为PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．


2020-2021学年安徽省合肥市六校高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题只有1个选项符合要求）
1．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部是（　　）
A． B．i C．i D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用虚部的概念得答案．
【解答】解：∵＝＝+i，
∴复数（i为虚数单位）的虚部是．
故选：D．
2．（5分）以下说法正确的有（　　）个
①三角形的直观图是三角形
②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形
④菱形的直观图是菱形
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，对题目中的命题判断真假即可．
【解答】解：对于①，由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形，①正确；
对于②，根据平行性不变知，平行四边形的直观图是平行四边形，②正确；
对于③，由平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的知，
正方形的直观图不是正方形，③错误；
对于④，因为∠x'O'y'＝45°或135°，所得直观图的对角线不垂直，所以菱形的直观图不是菱形，④错误．
所以正确的命题序号是①②，共2个．
故选：B．
3．（5分）已知向量，，若，则m＝（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．
【解答】解：∵；
∴；
∴m＝3．
故选：C．
4．（5分）某学校共有老、中、青职工200人，其中有老年职工60人，中年职工人数与青年职工人数相等．现采用分层抽样的方法抽取部分职工进行调查，已知抽取的老年职工有12人，则抽取的青年职工应有（　　）
A．12人 B．14人 C．16人 D．20人
【分析】利用分层抽样的性质求解．
【解答】解：由题意知：
抽取的青年职工应有：＝14．
故选：B．
5．（5分）一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是（　　）
A．至多有一次为正面 B．两次均为正面
C．只有一次为正面 D．两次均为反面
【分析】利用互斥事件的定义：即在任何一次试验中不会同时发生的事件，即可判断出．
【解答】解：对于A，至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；
对于B，两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；
对于C，只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；
对于D，两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互斥事件；
故选：D．
6．（5分）已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊥α，n⊥α，则n⊥m
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
【分析】在A中，n∥α或n⊂α；在B中，由线面垂直的性质得n∥m；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m与β相交、平行或m⊂β．
【解答】解：由m，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，知：
在A中，若 m∥α，m∥n，则 n∥α或n⊂α，故A错误；
在B中，若 m⊥α，n⊥α，则 由线面垂直的性质得n∥m，故B错误；
在C中，若 m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
在D中，若α⊥β，m⊂α，则 m与β相交、平行或m⊂β，故D错误．
故选：C．
7．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是3×3＝9种结果，
满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，
由于共有三个小组，则有3种结果，
根据古典概型概率公式得到P＝，
故选：A．
8．（5分）在三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若∠A＝120°，a＝2，b＝，则B＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据条件，利用正弦定理进行求解即可．注意角B为锐角．
【解答】解：∵∠A＝120°，a＝2，b＝，
∴由正弦定理可得：

sinB＝．
∵∠A＝120°
∴B＝30°，
即B＝．
故选：D．
9．（5分）体积为1的正方体的内切球的体积是（　　）
A． B． C． D．π
【分析】由已知求出正方体的棱长，可得正方体内切球的半径，代入球的体积公式得答案．
【解答】解：设正方体的棱长为a，则a3＝1，可得a＝1，
其内切球的半径为，则正方体内切球的体积为V＝×＝．
故选：A．
10．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．+
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
＝﹣＝﹣
＝﹣×（+）
＝﹣，
故选：A．
11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若＜cosA，则△ABC为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
【分析】由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA，利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0，从而有sinAcosB＜0，结合三角形的性质可求．
【解答】解：∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，
∴sinA＞0．
∵＜cosA，
由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA，
∴sin（A+B）＜sinBcosA，
∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA，
∴sinAcosB＜0，又sinA＞0，
∴cosB＜0，即B为钝角．
故选：C．
12．（5分）如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为（　　）

A．700m B．640m C．600m D．560m
【分析】首先在Rt△AMD中，算出AM的值，然后在△MAC中，利用正弦定理算出AC的值，最后在Rt△ABC中，利用三角函数的定义即可算出山的高度BC．
【解答】解：根据题意，可得Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝14200，
∴AM＝＝400．
∵△MAC中，∠AMC＝45°+15°＝60°，
∠MAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴∠MCA＝180°﹣∠AMC﹣∠MAC＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
由正弦定理，得＝＝400，
在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400×＝600m．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上）
13．（5分）在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，则事件“取出的球是白球”为 　随机　事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）．
【分析】根据题意，由随机事件的定义即可判断．
【解答】解：根据题意，在装有4个红球和2个白球的盒子中任意取一球，
事件“取出的球是白球”可能发生，也可能不发生，
则该事件为随机事件．
故答案为：随机．
14．（5分）已知向量，为单位向量，若与的夹角为，则|﹣|＝　1　．
【分析】本题只要算出两个向量减法运算后模的平方的值，就能算出结果．
【解答】解：由题意，可知：
|﹣|2＝（）2＝2+2﹣2•＝2﹣2••cos＝2﹣2•1•1•＝1．
∴|﹣|＝1．
故答案为：1．
15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的　①②③⑤　（填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．
【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项．
【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；
④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形；
故答案为：①②③⑤
16．（5分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M为AB的中点，，且2ccosB＝2a﹣b，则S△ABC＝　　
【分析】法1：由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cosC＝，可得C＝60°，在平行四边形ACBD，可求∠CAD＝120°，，由余弦定理可得a，利用三角形面积公式即可得解；法2：解得C＝60°，利用平面向量数量积的运算可求a，进而根据三角形面积公式即可得解．
【解答】解：法1：2ccosB＝2a﹣b
⇒2sinCcosB＝2sinA﹣sinB
⇒2sinCcosB＝2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinB
⇒cosC＝，
所以C＝60°．
如图补成平行四边形ACBD，
则∠CAD＝120°，，
在△ADC中，由余弦定理得：，
所以：，
法2：同上C＝60°，，
所以：12＝4+a2+2a，可得：a＝2，
所以：．
故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤。）
17．（10分）设向量，不共线．若＝2+p，＝+，＝﹣2，若A，B，D三点共线，求实数p的值．
【分析】根据条件可得出与共线，并得出，然后可设，然后根据平面向量基本定理即可求出p的值．
【解答】解：∵A，B，D三点共线，
∴与共线，
又，，
∴设，
∴，解得p＝﹣1．
18．（12分）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m）i的点分别满足下列条件？
（1）实数；
（2）虚数；
（3）位于第四象限．
【分析】（1）由虚部m2﹣5m＝0，解得m．
（2）由虚部m2﹣5m≠0，求出m值．
（3）由复数位于第四象限，列出不等式组，解得m的范围．
【解答】解：（1）若z为实数，则m2﹣5m＝0，∴m＝0或m＝5，
（2）若z为虚数，则m2﹣5m≠0，∴m≠0且m≠5，
（3）若复数z对应的点位于第四象限，则，∴0＜m＜3．
19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）﹣sinB（a﹣b）＝0．
（1）求C；
（2）若S△ABC＝2，c＝2，求△ABC的周长．
【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理及余弦定理的应用求出C的值．
（2）由已知利用三角形的面积公式代入可求ab的值，然后由余弦定理即可求解．
【解答】解：（1）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a﹣c）（sinA+sinC）+（b﹣a）sinB＝0．
利用正弦定理得：（a﹣c）（a+c）+（b﹣a）b＝0，
整理得：a2﹣c2+b2﹣ab＝0，即cosC＝＝，
由于0＜C＜π，
所以：C＝．
（2）S△ABC＝absinC＝absin＝ab＝2，
所以解得ab＝8，
cosC＝＝＝＝，
解得a+b＝2，
所以△ABC周长为2+2．
20．（12分）2020年的疫情让人刻骨铭心，2021年某地的疫情又出现了反弹，为切实维护广大人民群众生命安全和身体健康，扎实开展疫情防控工作，当地应对新冠肺炎疫情工作领导小组研究决定，除保障防疫工作、医疗服务、城市运行、值班执勤工作外，对全域车辆和行人采取严格的管控措施，某社区要进行全员核酸检测，由于工作量巨大，招募了100名志愿者，记录了这些志愿者的年龄，统计结果如表：
年龄
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65]
志愿者人数
8
30
a
18
b
志愿者的年龄的频率分布直方图如图所示：

（1）求a，b，并利用所给的频率分布直方图估计所有志愿者的平均年龄（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）若已从年龄在[25，35），[35，45）的志愿者中利用分层抽样选取了7人，再从这7人中选出2人，求这2人在同一年龄组的概率．
【分析】（1）由频率分布直方程和频数分布列列方程组，求出a，b，再求出所有志愿者的平均年龄．
（2）从年龄在[25，35）的志愿者中抽取3人，年龄在[35，45）的志愿者中抽取4人，再从这7人中选出2人，基本事件总数n＝，这2人在同一年龄组包含的基本事件个数m＝，由此能求出这2人在同一年龄组的概率．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得a＝40，b＝4．
估计所有志愿者的平均年龄为：
20×0.08+30×0.3+40×0.4+50×0.18+60×0.04＝38．
（2）从年龄在[25，35），[35，45）的志愿者中利用分层抽样选取了7人，
则从年龄在[25，35）的志愿者中抽取7×＝3人，
年龄在[35，45）的志愿者中抽取7×＝4人，
再从这7人中选出2人，基本事件总数n＝＝21，
这2人在同一年龄组包含的基本事件个数m＝＝9，
∴这2人在同一年龄组的概率P＝＝＝．
21．（12分）已知圆锥的底面半径为1，高为，轴截面为平面PAB，如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，求最短绳长．

【分析】求得圆锥的母线长PA，圆锥的侧面展开图的圆心角，利用从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为圆锥展开图中线段AA1的长度．
【解答】解：因为圆锥的底面半径为1，高为2，所以圆锥的母线长PA＝＝3，
设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为α，则2π×1＝α×3，，
则从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为圆锥展开图中线段AA1的长度，
AA1＝2AP•sin60°＝3．

22．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PB＝PD，E为PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE．

【分析】（1）设AC、BD交于点O，连结OE，由OE∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．
（2）连结PO，推导出AC⊥BD，BD⊥PO，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面BDE．
【解答】证明：（1）设AC、BD交于点O，连结OE
∵四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，∴O是AC中点，
∵E为PA的中点，∴OE∥PC，
∵OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）连结PO，
∵四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PB＝PD，E为PA的中点，
∴AC⊥BD，BD⊥PO，
∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDE．