初中数学人教版八年级上册14.3 因式分解综合与测试学案

这是一份初中数学人教版八年级上册14.3 因式分解综合与测试学案，共6页。
知识点一：因式分解概念：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.
因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。
因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形
知识点二：寻找公因式
1.寻找公因式的方法：
知识点三：因式分解的方法（重点）
（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：
1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：
3.提公因式的步骤：
确定公因式
（2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）

注意事项：因式分解一定要彻底
提取公因式法
注： = 1 \* rman i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
= 2 \* rman ii 公因式的构成：①系数 ②字母 ③指数

2.运用公式法
ⅰ）平方差公式：
注意：①条件：两个二次幂的差的形式；
②平方差公式中的.可以表示一个数.一个单项式或一个多项式；
③在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清.分别表示什么.
ⅱ）完全平方公式：
注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；
②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；
③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；
④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成公式原型，弄清.分别表示的量.
补充：常见的两个二项式幂的变号规律：
①； ②．（为正整数）
二.典型例题及针对练习
考点1 因式分解的概念
例1在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？
⑴ ； ⑵；
⑶ ； ⑷.
注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..
考点2 提取公因式法
例2 ⑴； ⑵
注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.
[补例练习]1.⑴； ⑵
考点3.运用公式法
例3 把下列式子分解因式：
⑴； ⑵.
注：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式.注意多项式有公因式时，首先考虑提取公因式，有时还需提出一个数字系数.
例4把下列式子分解因式：
⑴； ⑵
注：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是：有三项，并且这三项是一个完全平方式，有时需对所给的多项式作一些变形，使其符合完全平方公式.
[补例练习]2.⑴； ⑵；
⑶； ⑷.
注：整体代换思想：比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止.
练一练：模块1：考察因式分解的概念
（2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
B.
C. D.
（2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
B.
C. D.
（2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）
B.
C. D.
4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
（2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
B.
C. D.
（2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
B.
C. D.
模块2：考察公因式
（2017春抚宁县期末）多项式的公因式是（ ）
A. B. C. D.
2.（2017春东平县期中）把多项式分解因式，应提的公因式是（ ）
A. B. C. D.
3.（2017秋凉州区末）多项式与的公因式是（ ）
A. C. B. D.
4.（2017春邵阳县期中）多项式的公因式是（ ）
A. B. C. D.
5.（2016春深圳校级期中）多项式各项的公因式是（ ）
A. B. C. D.
6.下列各组代数式中没有公因式的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
7.观察下列各组式子：①和；②和；③和；④和。其中有公因式的是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
模块3：利用提公因式法分解因式
①因式分解的第一种类型：直接提取公因式
1.分解因式：
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
一.把下列各式分解因式。
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7.
8. 9. 10.
11. 12.
②因式分解的第二种类型：变形后提取公因式
分解因式：
（1） （2）
③因式分解的第三种类型：分组后提取公因式
分解因式：
（1） （2）
模块4：提公因式法的综合应用
类型1：利用提公因式法进行简便计算
1.利用简便方法计算：
（1） （2）
整式乘法
因式分解
， ，
，
确定公因式的系数
当多项式中各项系数是整数时，公因式的系数是多项式中各项系数的最大公因数；
当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数。
2.确定相同字母
公因式的字母是各项都含有的字母
3.看次数
相同字母的指数取最低次数
4.看整体
如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体不要拆开。
5.看符号
若多项式的首项是，则公因式的符号一般为负。