高一数学 期末复习试卷（四）- 2020-2021学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

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高一数学 期末复习试卷（四）（人教A版）一、单项选择题1．下列命题中的真命题是（    ）A．，B．命题“”的否定C．“直线与直线垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于-1”D．“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件【答案】D【解析】对于选项A，当时，不成立，故A错误；对于选项B，命题“，”的否定是“”，当不成立，故B错误；对于选项C，当一直线斜率为0，另一直线斜率不存在时，“它们的斜率之积一定等于-1”不成立，故C错误；对于选项D，由方程表示双曲线等价于，即或，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故D正确．故选:D.2．若，且，则下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，且知：，∴，，，∴，而，即，综上，有.故选：C3．在R上定义运算：a⊕b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为（    ）A．{m|－2<m<2} B．{m|－1<m<2}C．{m|－3<m<2} D．{m|1<m<2}【答案】C【解析】依题意得(m－x)⊕(m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)<4成立，所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m<x2－x＋4成立，即当1≤x≤2时，m2＋m<(x2－x＋4)max.因为1≤x≤2，所以当x＝2时，x2－x＋4取最大值6，所以m2＋m<6，解得－3<m<2.故选：C．4．若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵不等式x+ m2+3m有解，∴(x+)min＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+＝（x+）（）＝＝4，当且仅当，即x＝2，y＝8时取“＝”，∴（x+）min＝4，故m2+3m＞4，即(m-1)(m+4)＞0，解得m＜﹣4或m＞1，∴实数m的取值范围是(﹣∞，﹣4)∪(1，+∞)．故选：C．5．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知：当时，不等式恒成立.当时，显然成立，故符合题意；当时，要想当时，不等式恒成立，只需满足且成立即可，解得：，综上所述：实数a的取值范围是.故选：D6．用表示a，b两个数中的最小值.已知，设，则R的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，当时，，时，，时，，∴，当时，，当时，，∴时，，∴，又当，，即，∴的最大值是，的最大值是．故选：C7．已知函数 ，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，函数，画出函数的图象，如图所示，设，则，即，可得，当时，递减，且与轴交于点，所以，且，所以的取值范围为.故选：A.8．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，令，，，则：（  ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以，又因为是上的增函数，所以，由于函数在区间上是增函数，则,即.故答案为A.二、多项选择题9.下列选项中描述正确的是（    ）A．若，则必有 B．若与同时成立，则C．若，则 D．若，，则【答案】ABD【详解】对于A项，若，则必有，由不等式的性质可得，所以A项正确；对于B项，由可得，因为，所以，所以，所以B项正确；对于C项，取，，满足，但，此时，故C项错误；对于D项，因为，所以，两边同乘-1，得，又，故由不等式的性质可知，两边同乘-1，得，所以D项正确.故选：ABD.10．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（    ）A． B．C． D．【答案】BC【详解】解：由知：为定义域上的奇函数，由时，知：为定义域上的增函数对于A选项，当时，为减函数，A错误；对于B选项，，为奇函数，根据幂函数性质可知，在定义域上单调递增，B正确；对于C选项，为奇函数；为增函数为减函数为增函数，C正确；对于D选项，当时，为减函数，D错误.故选：BC11．已知定义域为R的奇函数.满足，下列叙述正确的是（    ）A．存在实数K，使关于x的方程有7个不相等的实数根B．当时，但有C．若当时，的最小值为1，则D．若关于x的方程和的所有实数很之和为零，则E.对任意实数k，方程：都有解【答案】AC【详解】因为函数是奇函数，.故可得在R上的解析式为：绘制该函数的图象如所示：对A：如下图所示直线与该函数有7个交点，故A正确；对B：当时，函数不是减函数，故B错误；对C：如下图直线，与函数图交于，故当的最小值为1时有，故C正确；对D：时，函数的零点有、、；若使得其与的所有零点之和为0，则或，如图直线、，故D错误；对E：，即，即与的交点问题，直线恒过定点，如图，与无交点，故E错误.故选：AC.12．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则（    ）A．的图象的对称轴方程为B．的图象的对称中心坐标为C．的单调递增区间为D．的单调递减区间为【答案】AC【详解】的图象上所有点向左平移个单位长度，得到，再向上平移4个单位长度后得到，A. 令，解得，函数的对称轴是，故A正确；B.令，解得：，所以函数的对称中心，故B不正确；C.令，解得：，所以函数的单调递增区间是，故C正确；D.令，解得：，所以函数单调递减区间是，，故D不正确.故选：AC 三、填空题13．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则∁R(M∩N)＝________.【答案】{x|x<－2或x≥1}【解析】由题意，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则MN＝{x|－2≤x<1},所以∁R(M∩N)＝{x|x<－2或x≥1}.14．已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为_____________.【答案】【解析】当时，可得或.①当时，可得，合乎题意；②当时，可得，解得，不合乎题意；当时，由题意可得，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.15．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，恒有成立，当时，，则______.【答案】【解析】由题意，函数对任意，恒有成立，所以函数是以4为周期的周期函数，所以，又由函数是定义在的奇函数，且时，，，因为，令，可得，解得，所以，故答案为：.16．已知函数，，则________．【答案】【解析】因为，，且，则.故答案为-2 四、解答题17．设，且，证明：【答案】证明见解析【解析】因为abc＝1，所以＋＋＝＝＋＋，所以a＋b＋c＝≥＋＋.所以.18．已知函数.（1）若，求的定义域；（2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)当且时，由得，即函数的定义域是.(2)当即时，令 要使在上是减函数，则函数在上为减函数，即，并且且，解得；当即时 ，令 要使在上是减函数，则函数在为增函数，即并且，解得综上可知，所求实数的取值范围是.19．（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；（2）已知，求函数的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由题意知定点A的坐标为，∴解得.∴.∴由得，.∴.∴.∴.∴不等式的解集为.（2）由得令，则，.∴当，即，时，，当，即，时，.20．已知函数，其图象与轴相邻的两个交点的距离为.（1）求函数的解析式；（2）若将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调区间.【答案】（1）（2）单调增区间为，；单调减区间为.【解析】解：（1）由已知函数的周期，， ∴.（2）将的图象向左平移个长度单位得到的图象∴，∵函数的图象经过点∴，即∴，∴，∵，∴当，取最小值，此时最小值为此时，.令，则当或，即当或时，函数单调递增当，即时，函数单调递减.∴在上的单调增区间为，；单调减区间为.21．已知函数．（1）当时，解关于的不等式；（2）若的值域为，，关于的不等式的解集为，求实数的值；（3）设，函数的最大值为1，且当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）当，即时，原不等式的解集为，，，当时，原不等式的解集为，，，当时，原不等式的解集为，，；（2）；（3）[32,74].【详解】（1）当时，由得，即，当，即时，原不等式的解集为，，，当时，原不等式的解集为，，，当时，原不等式的解集为，，．（2）由的值域为，，得，因为关于的不等式的解集为，所以，是方程的两个实根，即的两根之差为4，所以，则，得．（3），则，则，，时，恒成立，又，因为的最大值为1，所以在，上的最大值为1，由图象开口向上，得，即，则，且，此时由，，时，恒成立，即在，，上恒成立， 在，，上恒成立，当，，时，，即由重要不等式可得，当且仅当时取等号.所以 当时，恒成立.当时，,所以由重要不等式可得，当且仅当时取等号.所以 要满足，，时，恒成立，得综上可得，，此时，．22．已知二次函数和函数.（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；（2）若方程有两个不相等的实根则：①试判断函数在区间上是否具有单调性，并说明理由；②若方程的两实根为，求使成立的的取值范围.【答案】（1）为奇函数；（2）①是，理由见解析；②.【详解】解：（1）因为为偶函数，，，又二次函数的，定义域为，，所以为奇函数； （2）①由得方程有不等实根， 及得，即或，即二次函数的对称轴，故在是单调函数；②是方程的根，，，同理；，要使，只需即，，或即，无实数解， 故的取值范围为.