第4章 第4节　三角恒等变换-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案

这是一份第4章 第4节　三角恒等变换-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案，共18页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
第四节　三角恒等变换

一、教材概念·结论·性质重现
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝.

两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反．

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α.
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan 2α＝.

二倍角是相对的，例如，是的二倍角，3α是的二倍角．
3．常用公式
(1)降幂扩角公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
4．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (√)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (√)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． (×)
(4)当α是第一象限角时，sin＝． (×)
(5)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立． (√)
2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A．－　　B．　　C．－　　D．
D　解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.故选D．
3．cos2－sin2＝________.
　解析：根据二倍角公式有cos2－sin2＝cos ＝.
4．化简：＝________.
4sin α　解析：原式＝＝＝4sin α.
5．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________.
　解析：因为tan α＝，tan(α＋β)＝，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.


考点1　公式的简单应用——基础性

1．(2020·山东九校联考)已知点A在圆x2＋y2＝4上，且∠xOA＝π，则点A的横坐标为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
A　解析：设点A(x0，y0)，因为点A在圆上，所以x＋y＝4.因为∠xOA＝π，cos＝cos＝cos·cos－sinsin＝.
又因为cos ∠xOA＝，即cos ＝，所以x0＝.故选A．
2．(2020·沈阳三模)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”，在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝(　　)
A．4　　B．＋1　　C．2　　D．－1
C　解析：由题意，2sin 18°＝m＝，所以m2＝4sin218°，
则
＝
＝＝＝2.
3.－＝(　　)
A．4　　B．2　　C．－2　　D．－4
D　解析：－＝－＝＝＝＝－4.
4．(2020·全国卷Ⅱ)若sin x＝－，则cos 2x＝________.
　解析：因为sin x＝－，所以cos 2x＝1－2sin2x＝.

应用三角恒等变换公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．

考点2　三角函数的化简求值问题——综合性

考向1　给值求值问题
(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
A　解析：由3cos 2α－8cos α＝5，得6cos2α－8cos α－8＝0，即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α＝＝.故选A．
(2)(2020·山东师范大学附中高三质评)若sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝(　　)
A．－　　B．　　C．－　　D．
C　解析：因为sin θ＝cos (2π－θ)＝cos θ，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝＝－.故选C．
(3)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为________．
－　解析：cos 2α＝sin＝sin
＝2sincos.
代入原式，得6sin·cos＝sin.
因为α∈，所以cos＝，所以sin 2α＝cos ＝2cos2 －1＝－.

给值求值问题的求解思路
(1)化简所求式子．
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
考向2　给值求角问题
已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0