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初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程学案设计
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这是一份初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程学案设计，文件包含153分式方程练习学生版docx、153分式方程练习教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共29页， 欢迎下载使用。
A．x=1B．x=﹣1C．x=3D．x=﹣3
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：=1，
去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：
（x+1）（x﹣2）+x=x（x﹣2），
x2﹣x﹣2+x=x2﹣2x，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
2．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A．=B．=
C．=D．=
【分析】直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
【解答】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：
=．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
3．解分式方程﹣3=时，去分母可得（ ）
A．1﹣3（x﹣2）=4B．1﹣3（x﹣2）=﹣4C．﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4D．1﹣3（2﹣x）=4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：去分母得：1﹣3（x﹣2）=﹣4，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．方程=1的解是（ ）
A．x=1B．x=3C．x=4D．无解
【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．
【解答】解：化为整式方程为：3﹣x﹣1=x﹣4，
解得：x=3，
经检验x=3是原方程的解，
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根．
5．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A．40×1.25x﹣40x=800B．﹣=40
C．﹣=40D．﹣=40
【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．
【解答】解：小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，
∵小进比小俊少用了40秒，
方程是﹣=40，
故选：C．
【点评】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
6．关于x的方程=无解，则k的值为（ ）
A．0或B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，分整式方程无解和整式方程有解而分式方程无解两种情况讨论计算，分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值，同时要考虑一元一次方程解的情况．
【解答】解：去分母得：x+3=2kx，
∴（2k﹣1）x=3，
当k=时，（2k﹣1）x=3无解，即原方程无解；
由分式方程无解，得到2x（x+3）=0，
解得：x=0或x=﹣3，
把x=0代入整式方程得：3=0，无解；
把x=﹣3代入整式方程得：﹣6k=0，解得：k=0，
综上所述，k的值为0或．
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解的情况，明确分式方程无解时，分母为0．
7．关于x的方程的解为正数，且关于y的不等式组有解，则符合题意的整数m有（ ）个．
A．4B．5C．6D．7
【分析】先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求，求出相应的m的值即可解答本题．
【解答】解：∵关于x的方程的解为正数，
∴2﹣（x+m）=2（x﹣2），
解得：x=，
则6﹣m＞0，
故m＜6，
∵关于y的不等式组有解，
∴m+2≤y≤3m+4，
且m+2≤3m+4，
解得：m≥﹣1，
故m的取值范围是：﹣1≤m＜6，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴≠2，
m≠0，
则符合题意的整数m有：﹣1，1，2，3，4，5，共6个．
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．解分式方程﹣1=，去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，解得x=1，则下列结论：①x=1是原分式方程的解；②x=1不是原分式方程的解；③x=1是方程x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3的解；④原分式方程无解．其中，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据解分式方程的步骤及分式方程的解与增根的概念逐一判断可得．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，解得x=1，
①当x=1时，最简公分母（x﹣1）（x+2）=0，则x=1不是原分式方程的解，此结论错误；
②x=1不是原分式方程的解，此结论正确；
③x=1是方程x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3的解，此结论正确；
④原分式方程无解，此结论正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤及分式方程的解与增根的概念．
9．某市计划修建50千米的地铁，开工后每月的进度比原计划提高了10%，结果提前2个月完成了任务，设原计划每月修建地铁x千米，由题意可列方程为（ ）
A．﹣=2B．﹣﹣=2
C．﹣=2D．+﹣=2
【分析】关键描述语为：“提前2个月完成了任务”；等量关系为：原计划用的月数﹣实际用的月数=提前月数．
【解答】解：设原计划每月修建地铁x千米，则原计划用的月数为：，实际用的月数为：．
所列方程为：﹣=2．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
10．如果关于x的不等式组的解集为x＞﹣2，且关于x的分式方程+=3有正整数解，则所有符合条件的整数a的和是（ ）
A．﹣9B．﹣8C．﹣7D．0
【分析】根据不等式组的解集确定出a的范围，再由分式方程有正整数解确定出满足题意a的值，求出之和即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
由已知解集为x＞﹣2，得到2a﹣4≤﹣2，
解得：a≤1，
分式方程去分母得：a+x﹣2=3x﹣9，
解得：x=，
由分式方程有正整数解，得到＞0，且≠3，
∴a=1，﹣3，﹣5，
则所有满足条件的整数a的和是﹣7，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．方程=的解是 x=2 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+6=4x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故答案为：x=2
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 4 元．
【分析】设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为x元/支，根据单价=总价÷数量结合第二次购进数量比第一次少了30支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为x元/支，
根据题意得：﹣=30，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．
答：该商店第一次购进铅笔的单价为4元/支．
故答案为：4．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
13．若代数式与+1的值相等，则x= 4
【分析】根据题意列出分式方程解答即可．
【解答】解：由题意可得：，
化为整式方程为：3=﹣2+x+x﹣3
解得：x=4，
经检验x=4是原方程的解，
故答案为：4
【点评】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根．
14．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ﹣= ．
【分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．
【解答】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
﹣=．
故答案为：﹣=．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键．
15．已知关于x的分式方程﹣2=有一个正数解，则k的取值范围为 k＜6且k≠3 ．
【分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
【解答】解；﹣2=，
方程两边都乘以（x﹣3），得
x=2（x﹣3）+k，
解得x=6﹣k≠3，
关于x的方程程﹣2=有一个正数解，
∴x=6﹣k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为：k＜6且k≠3．
【点评】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．
16．若=+++++，则a的值是 8 ．
【分析】由于（1﹣x）（1+x）满足平方差公式的结构特征，因此运用平方差公式先将方程右边的两个分式+通分，所得结果再与第三个分式通分，依此类推，直到方程的右边成为一个分式，然后去分母，得到关于a的方程，求出解即可．
【解答】解：∵+++++
=++++
=，
∴=，
两边同乘1﹣x32，得8a=64，
解得a=8．
故答案为8．
【点评】本题主要考查了分式的加法运算及分式方程的解法．将方程的右边分步通分，使之最后变成为一个分式，是解题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：．
【分析】本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x﹣2x=3（x+1），
解得：x=﹣，
经检验x=﹣是方程的解，
∴原方程的解为x=﹣．
【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
18．某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
【分析】设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，
根据题意得：﹣=3，
解得：x=50，
经检验，x=50是分式方程的解．
答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．解分式方程：﹣1=．
【分析】首先找出最简公分母，进而去分母解方程即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得：
（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16
解得：x=﹣2，
检验：当x=﹣2时，（x+2）（x﹣2）=0，
∴x=﹣2是原方程的增根，原方程无解．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键．
20．某商店用1050元购进第一批某种文具盒，很快卖完．又用1440元购进第二批该种文具盒，但第二批每只文具盒的进价是第一批进价的1.2倍，数量比第一批多了10只．求第一批每只文具盒的进价是多少元？
【分析】设第一批每只文具盒的进价是x元，则第二批每只文具盒的进价是1.2x元．根据数量=总价÷单价结合第二批比第一批多10只，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设第一批每只文具盒的进价是x元，则第二批每只文具盒的进价是1.2x元．
根据题意得：﹣=10，
解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解．
答：第一批每只文具盒的进价是15元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如果施工总费用不超过10万元，那么乙工程队至少需施工多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为400m2区域的绿化时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙工程队需施工y天，则甲工程队需施工（18﹣0.5y）天，根据总费用=甲队每天所需费用×甲队工作时间+乙队每天所需费用×乙队工作时间结合施工总费用不超过10万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，
根据题意得：﹣=4，
解得：x=50，
经检验，x=50是原分式方程的解，
∴2x=100．
答：乙工程队每天能完成绿化的面积为50m2，甲工程队每天能完成绿化的面积为100m2．
（2）设乙工程队需施工y天，则甲工程队需施工（18﹣0.5y）天，
根据题意得：0.6（18﹣0.5y）+0.25y≤10，
解得：y≥16．
答：乙工程队至少需施工16天．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．某商场用11000元购进一批拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元再次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但每个机器人的进价贵了10元，求该商家两次共购进多少个机器人．
【分析】设该商家第一次购进机器人x个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答．
【解答】解：设该商家第一次购进机器人x个，
依题意得：，
解得x=100．
经检验x=100是所列方程的解，且符合题意．
100+2×100=300，
答：该商家两次共购进300个机器人．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．若关于x的方程的解不小于2，求a的取值范围．
【分析】根据解分式方程，可得关于a的表达式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：两边都乘（x﹣4），得
x﹣3（x﹣4）=a，
解得x=≠4，
由关于x的方程的解不小于2，得
≥2，
解得a≤8，
a的取值范围是a≤8且a≠4．
【点评】本题考查了分式方程的解，利用方程的解不小于2得出不等式是解题关键．
24．某书店老板去批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价20元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书批发价比第一次提高了25%，他用1800元所购该书数量比第一次多20本，又按定价售出全部图书．
（1）求该书原来每本的批发价；
（2）该老板这两次售书一共赚了多少钱？
【分析】（1）设该书原来每本的批发价为x元，由题意得等量关系：第二次购书数量﹣第一次购书数量=20，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）利用第一次的利润+第二次利润=总利润进行计算．
【解答】解：（1）设该书原来每本的批发价为x元，由题意得：
﹣=20，
解得：x=12，
经检验：x=12是原分式方程的解，
答：该书原来每本的批发价为12元；
（2）100×（20﹣12）+120（20﹣15）=1400（元），
答：该老板这两次售书一共赚了1400元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
25．由于某商品的进价降低了，商家决定对该商品分两次下调销售价格，现有两种方案：
方案1：第1次降价的百分率为a，第2次降价的百分率b；
方案2：第1次和第2次降价的百分率均为．
（1）当a≠b时，哪种方案降价幅度最多？
（2）当a=b时，另a=b=x，已知第1次和第2次降价后商品销售价 格分别为A、B；
①填空：原销售价格可分别表示为 、 ．
②已知B=，求两次降价的百分率．
【分析】（1）直接根据题意表示出两种商品的价格，再利用两式的差得出大小关系；
（2）①利用A销售价格÷（1﹣下降百分率）=原价，B销售价格÷（1﹣下降百分率）2=原价进而得出答案；
②根据原价不变得出等式，进而解分式方程得出答案．
【解答】解：设该商品原来的销售价格为m．
（1）方案1：两次降价后的价格为m（1﹣a）（1﹣b）；
方案2：两次降价后的价格为m（1﹣）2．
因为m（1﹣a）（1﹣b）﹣m（1﹣）2=﹣（a﹣b）2＜，所以方案1降价幅度最多．
（2）①第1次降价后商品销售价格为：A=原价（1﹣x），则原价格为：，
第2次降价后商品销售价格为：B=原价（1﹣x）2，则原价格为：．
②由题意可得：=，
由B=A，
解得x1=0.2，x2=1（不合题意舍去），
经检验，x=0.2是原方程的根．
故两次降价的百分率均为20%．
故答案为：，．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，根据题意正确表示出原价是解题关键．
课堂测试
1．分式方程的解是（ ）
A．x=1B．x=2C．x=0D．无解．
【分析】观察可得最简公分母为（x﹣2）（x﹣1），方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：分式方程，
两边分别乘以（x﹣2）（x﹣1），
可得：x﹣2=2（x﹣1），
移项合并，解得：x=0，
经检验x=0是原分式方程的解．
故选：C．
【点评】本题主要考查解分式方程解答本题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意分式方程要验根．
二．填空题（共1小题）
2．若分式方程=2的一个解是x=1，则a= 0 ．
【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．
【解答】解：把x=1代入原方程得，，去分母得2=2+2a，解得，a=0．
【点评】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．由已知解代入原方程列出新的方程，然后解答．
三．解答题（共3小题）
3．解方程：+=．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：7（x﹣3）+2=2（x+3），
整理得：5x=25，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故原方程的解为x=5．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
4．解方程：
【分析】由于3x﹣6=3（x﹣2），所以本题的最简公分母是3（x﹣2），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘以3x（x﹣2），
得：3（5x﹣4）﹣（4x+10）=﹣3（x﹣2），
15x﹣4x+3x=6+12+10，
∴x=2，
检验：当x=2时，3（x﹣2）=0，
∴x=2是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
5．为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数x人，那么x应满足怎样的方程？
【分析】要求的未知量是人数，有捐款总额，一定是根据人均捐款额来列等量关系的．关键描述语是：两次人均捐款额相等．等量关系为：第一次人均捐款额=第二次两次人均捐款额，也就是：第一次的捐款总额÷第一次的捐款人数=第二次的捐款总额÷第二次的捐款人数．
【解答】解：设第一次捐款人数x人，第二次捐款人数（x+20）人，
由第一次人均捐款额=第二次两次人均捐款额，
故可得：．
【点评】题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．根据关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
A．x=1B．x=﹣1C．x=3D．x=﹣3
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：=1，
去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：
（x+1）（x﹣2）+x=x（x﹣2），
x2﹣x﹣2+x=x2﹣2x，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
2．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A．=B．=
C．=D．=
【分析】直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
【解答】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：
=．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
3．解分式方程﹣3=时，去分母可得（ ）
A．1﹣3（x﹣2）=4B．1﹣3（x﹣2）=﹣4C．﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4D．1﹣3（2﹣x）=4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：去分母得：1﹣3（x﹣2）=﹣4，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．方程=1的解是（ ）
A．x=1B．x=3C．x=4D．无解
【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．
【解答】解：化为整式方程为：3﹣x﹣1=x﹣4，
解得：x=3，
经检验x=3是原方程的解，
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根．
5．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A．40×1.25x﹣40x=800B．﹣=40
C．﹣=40D．﹣=40
【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．
【解答】解：小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，
∵小进比小俊少用了40秒，
方程是﹣=40，
故选：C．
【点评】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
6．关于x的方程=无解，则k的值为（ ）
A．0或B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，分整式方程无解和整式方程有解而分式方程无解两种情况讨论计算，分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值，同时要考虑一元一次方程解的情况．
【解答】解：去分母得：x+3=2kx，
∴（2k﹣1）x=3，
当k=时，（2k﹣1）x=3无解，即原方程无解；
由分式方程无解，得到2x（x+3）=0，
解得：x=0或x=﹣3，
把x=0代入整式方程得：3=0，无解；
把x=﹣3代入整式方程得：﹣6k=0，解得：k=0，
综上所述，k的值为0或．
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解的情况，明确分式方程无解时，分母为0．
7．关于x的方程的解为正数，且关于y的不等式组有解，则符合题意的整数m有（ ）个．
A．4B．5C．6D．7
【分析】先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求，求出相应的m的值即可解答本题．
【解答】解：∵关于x的方程的解为正数，
∴2﹣（x+m）=2（x﹣2），
解得：x=，
则6﹣m＞0，
故m＜6，
∵关于y的不等式组有解，
∴m+2≤y≤3m+4，
且m+2≤3m+4，
解得：m≥﹣1，
故m的取值范围是：﹣1≤m＜6，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴≠2，
m≠0，
则符合题意的整数m有：﹣1，1，2，3，4，5，共6个．
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．解分式方程﹣1=，去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，解得x=1，则下列结论：①x=1是原分式方程的解；②x=1不是原分式方程的解；③x=1是方程x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3的解；④原分式方程无解．其中，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据解分式方程的步骤及分式方程的解与增根的概念逐一判断可得．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，解得x=1，
①当x=1时，最简公分母（x﹣1）（x+2）=0，则x=1不是原分式方程的解，此结论错误；
②x=1不是原分式方程的解，此结论正确；
③x=1是方程x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3的解，此结论正确；
④原分式方程无解，此结论正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤及分式方程的解与增根的概念．
9．某市计划修建50千米的地铁，开工后每月的进度比原计划提高了10%，结果提前2个月完成了任务，设原计划每月修建地铁x千米，由题意可列方程为（ ）
A．﹣=2B．﹣﹣=2
C．﹣=2D．+﹣=2
【分析】关键描述语为：“提前2个月完成了任务”；等量关系为：原计划用的月数﹣实际用的月数=提前月数．
【解答】解：设原计划每月修建地铁x千米，则原计划用的月数为：，实际用的月数为：．
所列方程为：﹣=2．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
10．如果关于x的不等式组的解集为x＞﹣2，且关于x的分式方程+=3有正整数解，则所有符合条件的整数a的和是（ ）
A．﹣9B．﹣8C．﹣7D．0
【分析】根据不等式组的解集确定出a的范围，再由分式方程有正整数解确定出满足题意a的值，求出之和即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
由已知解集为x＞﹣2，得到2a﹣4≤﹣2，
解得：a≤1，
分式方程去分母得：a+x﹣2=3x﹣9，
解得：x=，
由分式方程有正整数解，得到＞0，且≠3，
∴a=1，﹣3，﹣5，
则所有满足条件的整数a的和是﹣7，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．方程=的解是 x=2 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+6=4x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故答案为：x=2
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 4 元．
【分析】设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为x元/支，根据单价=总价÷数量结合第二次购进数量比第一次少了30支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为x元/支，
根据题意得：﹣=30，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．
答：该商店第一次购进铅笔的单价为4元/支．
故答案为：4．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
13．若代数式与+1的值相等，则x= 4
【分析】根据题意列出分式方程解答即可．
【解答】解：由题意可得：，
化为整式方程为：3=﹣2+x+x﹣3
解得：x=4，
经检验x=4是原方程的解，
故答案为：4
【点评】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根．
14．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ﹣= ．
【分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．
【解答】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
﹣=．
故答案为：﹣=．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键．
15．已知关于x的分式方程﹣2=有一个正数解，则k的取值范围为 k＜6且k≠3 ．
【分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
【解答】解；﹣2=，
方程两边都乘以（x﹣3），得
x=2（x﹣3）+k，
解得x=6﹣k≠3，
关于x的方程程﹣2=有一个正数解，
∴x=6﹣k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为：k＜6且k≠3．
【点评】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．
16．若=+++++，则a的值是 8 ．
【分析】由于（1﹣x）（1+x）满足平方差公式的结构特征，因此运用平方差公式先将方程右边的两个分式+通分，所得结果再与第三个分式通分，依此类推，直到方程的右边成为一个分式，然后去分母，得到关于a的方程，求出解即可．
【解答】解：∵+++++
=++++
=，
∴=，
两边同乘1﹣x32，得8a=64，
解得a=8．
故答案为8．
【点评】本题主要考查了分式的加法运算及分式方程的解法．将方程的右边分步通分，使之最后变成为一个分式，是解题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：．
【分析】本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x﹣2x=3（x+1），
解得：x=﹣，
经检验x=﹣是方程的解，
∴原方程的解为x=﹣．
【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
18．某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
【分析】设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，
根据题意得：﹣=3，
解得：x=50，
经检验，x=50是分式方程的解．
答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．解分式方程：﹣1=．
【分析】首先找出最简公分母，进而去分母解方程即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得：
（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16
解得：x=﹣2，
检验：当x=﹣2时，（x+2）（x﹣2）=0，
∴x=﹣2是原方程的增根，原方程无解．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键．
20．某商店用1050元购进第一批某种文具盒，很快卖完．又用1440元购进第二批该种文具盒，但第二批每只文具盒的进价是第一批进价的1.2倍，数量比第一批多了10只．求第一批每只文具盒的进价是多少元？
【分析】设第一批每只文具盒的进价是x元，则第二批每只文具盒的进价是1.2x元．根据数量=总价÷单价结合第二批比第一批多10只，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设第一批每只文具盒的进价是x元，则第二批每只文具盒的进价是1.2x元．
根据题意得：﹣=10，
解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解．
答：第一批每只文具盒的进价是15元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如果施工总费用不超过10万元，那么乙工程队至少需施工多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为400m2区域的绿化时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙工程队需施工y天，则甲工程队需施工（18﹣0.5y）天，根据总费用=甲队每天所需费用×甲队工作时间+乙队每天所需费用×乙队工作时间结合施工总费用不超过10万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，
根据题意得：﹣=4，
解得：x=50，
经检验，x=50是原分式方程的解，
∴2x=100．
答：乙工程队每天能完成绿化的面积为50m2，甲工程队每天能完成绿化的面积为100m2．
（2）设乙工程队需施工y天，则甲工程队需施工（18﹣0.5y）天，
根据题意得：0.6（18﹣0.5y）+0.25y≤10，
解得：y≥16．
答：乙工程队至少需施工16天．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．某商场用11000元购进一批拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元再次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但每个机器人的进价贵了10元，求该商家两次共购进多少个机器人．
【分析】设该商家第一次购进机器人x个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答．
【解答】解：设该商家第一次购进机器人x个，
依题意得：，
解得x=100．
经检验x=100是所列方程的解，且符合题意．
100+2×100=300，
答：该商家两次共购进300个机器人．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．若关于x的方程的解不小于2，求a的取值范围．
【分析】根据解分式方程，可得关于a的表达式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：两边都乘（x﹣4），得
x﹣3（x﹣4）=a，
解得x=≠4，
由关于x的方程的解不小于2，得
≥2，
解得a≤8，
a的取值范围是a≤8且a≠4．
【点评】本题考查了分式方程的解，利用方程的解不小于2得出不等式是解题关键．
24．某书店老板去批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价20元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书批发价比第一次提高了25%，他用1800元所购该书数量比第一次多20本，又按定价售出全部图书．
（1）求该书原来每本的批发价；
（2）该老板这两次售书一共赚了多少钱？
【分析】（1）设该书原来每本的批发价为x元，由题意得等量关系：第二次购书数量﹣第一次购书数量=20，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）利用第一次的利润+第二次利润=总利润进行计算．
【解答】解：（1）设该书原来每本的批发价为x元，由题意得：
﹣=20，
解得：x=12，
经检验：x=12是原分式方程的解，
答：该书原来每本的批发价为12元；
（2）100×（20﹣12）+120（20﹣15）=1400（元），
答：该老板这两次售书一共赚了1400元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
25．由于某商品的进价降低了，商家决定对该商品分两次下调销售价格，现有两种方案：
方案1：第1次降价的百分率为a，第2次降价的百分率b；
方案2：第1次和第2次降价的百分率均为．
（1）当a≠b时，哪种方案降价幅度最多？
（2）当a=b时，另a=b=x，已知第1次和第2次降价后商品销售价 格分别为A、B；
①填空：原销售价格可分别表示为 、 ．
②已知B=，求两次降价的百分率．
【分析】（1）直接根据题意表示出两种商品的价格，再利用两式的差得出大小关系；
（2）①利用A销售价格÷（1﹣下降百分率）=原价，B销售价格÷（1﹣下降百分率）2=原价进而得出答案；
②根据原价不变得出等式，进而解分式方程得出答案．
【解答】解：设该商品原来的销售价格为m．
（1）方案1：两次降价后的价格为m（1﹣a）（1﹣b）；
方案2：两次降价后的价格为m（1﹣）2．
因为m（1﹣a）（1﹣b）﹣m（1﹣）2=﹣（a﹣b）2＜，所以方案1降价幅度最多．
（2）①第1次降价后商品销售价格为：A=原价（1﹣x），则原价格为：，
第2次降价后商品销售价格为：B=原价（1﹣x）2，则原价格为：．
②由题意可得：=，
由B=A，
解得x1=0.2，x2=1（不合题意舍去），
经检验，x=0.2是原方程的根．
故两次降价的百分率均为20%．
故答案为：，．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，根据题意正确表示出原价是解题关键．
课堂测试
1．分式方程的解是（ ）
A．x=1B．x=2C．x=0D．无解．
【分析】观察可得最简公分母为（x﹣2）（x﹣1），方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：分式方程，
两边分别乘以（x﹣2）（x﹣1），
可得：x﹣2=2（x﹣1），
移项合并，解得：x=0，
经检验x=0是原分式方程的解．
故选：C．
【点评】本题主要考查解分式方程解答本题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意分式方程要验根．
二．填空题（共1小题）
2．若分式方程=2的一个解是x=1，则a= 0 ．
【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．
【解答】解：把x=1代入原方程得，，去分母得2=2+2a，解得，a=0．
【点评】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．由已知解代入原方程列出新的方程，然后解答．
三．解答题（共3小题）
3．解方程：+=．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：7（x﹣3）+2=2（x+3），
整理得：5x=25，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故原方程的解为x=5．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
4．解方程：
【分析】由于3x﹣6=3（x﹣2），所以本题的最简公分母是3（x﹣2），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘以3x（x﹣2），
得：3（5x﹣4）﹣（4x+10）=﹣3（x﹣2），
15x﹣4x+3x=6+12+10，
∴x=2，
检验：当x=2时，3（x﹣2）=0，
∴x=2是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
5．为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数x人，那么x应满足怎样的方程？
【分析】要求的未知量是人数，有捐款总额，一定是根据人均捐款额来列等量关系的．关键描述语是：两次人均捐款额相等．等量关系为：第一次人均捐款额=第二次两次人均捐款额，也就是：第一次的捐款总额÷第一次的捐款人数=第二次的捐款总额÷第二次的捐款人数．
【解答】解：设第一次捐款人数x人，第二次捐款人数（x+20）人，
由第一次人均捐款额=第二次两次人均捐款额，
故可得：．
【点评】题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．根据关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
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