人教版八年级上册13.1 轴对称综合与测试学案设计

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通过具体实例认识轴对称；
2、探索它的基本性质；
3、理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。
二、教学重难点
理解轴对称和轴对称图形的概念；
掌握轴对称图形的性质并正确运用。
知识点一：轴对称图形（重点）
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
【例题】 誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
【变式1】 下列图形中一定是轴对称图形的是（ ）
D．矩形
A．直角三角形
B．四边形
四边形
C．平行四边形

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式2】 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：该图形的对称轴是直线l3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义
知识点二：轴对称（重点）
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
【例题】 如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．含30°角的直角三角形
【分析】三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可作出判断．
【解答】解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，
根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定方法，是需要熟记的内容．
【变式1】 将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（ ）
B．C．D．
【分析】认真观察图形，首先找出对称轴，根据轴对称图形的定义可知只有C是符合要求的．
【解答】解：观察选项可得：只有C是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴，仔细观察图形是正确解答本题的关键．
【变式2】 如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为 ．
【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠2=60°，根据∠1、∠2对称，则能求出∠1的度数．
【解答】解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，
∠2+∠3=90°，
∵∠3=30°，
∴∠2=60°，
∴∠1=60°．
故答案为：60°．
【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想．
知识点三：轴对称与轴对称图形的区别与联系（难点）
轴对称与轴对称图形的区别与联系如下：
【例题】 下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同请指出这个图形，并简述你的理由．
答：图形是 ；理由是 ．
【分析】从几何图形的性质考虑，那么应从几何变换的角度考虑．
【解答】解：（1）②；（2）四个图形中，只有图②不是轴对称图形．
【点评】轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合．
【变式1】 图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？
【分析】根据轴对称、轴对称图形的概念以及对称轴的概念进行解答即可．
【解答】解：图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称，
整个图形是轴对称图形，
它共有2条对称轴．
【点评】本题考查的是轴对称和轴对称图形的概念，掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
知识点四：线段的垂直平分线的概念及其有关性质（重难点）
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【例题】 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，下列结论中正确的有（ ）
（1）△ABC≌△A′B′C′
（2）∠BAC=∠B′A′C′
（3）直线L垂直平分CC′
（4）直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据轴对称的性质求解．
【解答】解：（1）正确；
（2）正确；
（3）正确；
（4）“直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上”，应是一定在直线L上的．
故选：B．
【点评】轴对称的性质：①成轴对称的两个图形是全等形；②对称轴是对应点连线的垂直平分线；③对应线段或者平行，或者重合，或者相交．如果相交，那么交点一定在对称轴上．
【变式1】 下列说法中错误的是（ ）
A．两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴
B．关于某直线对称的两个图形全等
C．面积相等的两个四边形对称
D．轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折后能完全重合
【分析】认真阅读各选项提供的已知条件，根据轴对称图形的定义与性质进行逐一验证，答案可得．
【解答】解：A、B、D都正确；
C、面积相等的两个四边形不一定全等，故不一定轴对称，错误．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质；如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．找着每个选项正误的具体原因是正确解答本题的关键．
【变式2】 如图，点P在∠MON的内部，点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，连接AB，交OM于点C，交ON于点D，连接PC，PD．若∠MON=50°，则∠CPD=（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
【分析】连接OA、OB、OP，设PA与OM交于点E，PB与ON交于点F．根据轴对称的性质、等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠OAB=∠OBA=（180°﹣∠AOB）=40°．设∠COP=α，∠DOP=β，则α+β=50°．再求出∠CPA=∠CAP=∠OAP﹣∠OAB=50°﹣α．∠DPB=50°﹣β．根据四边形内角和定理求出∠EPF=130°，
那么∠CPD=∠EPF﹣（∠CPA+∠DPB）=80°．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OP，设PA与OM交于点E，PB与ON交于点F．
∵点P关于OM，ON的对称点分别为A，B，
∴OA=OP=OB，CA=CP，DP=DB，∠AOC=∠COP，∠POD=∠DOB，
∴∠AOB=∠AOC+∠COP+∠POD+∠DOB=2∠COD=100°，
∴∠OAB=∠OBA=（180°﹣∠AOB）=40°．
设∠COP=α，∠DOP=β，则α+β=50°．
∵OA=OP，∠AOP=2α，
∴∠OPA=∠OAP=（180°﹣2α）=90°﹣α，
∵∠OAB=40°，
∴∠CPA=∠CAP=∠OAP﹣∠OAB=50°﹣α．
同理，∠DPB=50°﹣β．
∵∠EPF=360°﹣∠EOF﹣∠OEP﹣∠OFP=360°﹣50°﹣90°﹣90°=130°，
∴∠CPD=∠EPF﹣（∠CPA+∠DPB）=130°﹣（50°﹣α+50°﹣β）=30°+（α+β）=80°．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，等边对等角的性质，三角形、四边形内角和定理．熟记各性质并确定出相等的角是解题的关键．
知识点五：对称轴的画法（重点）
【例题】 判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
则（1）（3）（5）（6）（9）不是轴对称图形；
（2）（4）有1条对称轴；（7）有4条对称轴；（8）有1条对称轴；（10）有2条对称轴．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称图形的判断方法：把某个图形沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
【变式1】 两个大小不同的圆可以组成如图中的五种图形，它们仍旧是轴对称图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么特点．
【分析】根据每个圆都是轴对称图形，且对称轴是经过圆心的直线，则两个不是同心圆的圆组成的图形的对称轴是经过两个圆的圆心的直线．
【解答】解：如图所示：
它们的对称轴均为经过两圆圆心的一条直线．
【点评】注意确定两个轴对称图形的组合图形的对称轴时，要分析它们的公共对称轴．
【变式2】 如图所示中的哪两个图形成轴对称？
【分析】根据轴对称图形的定义找出对称轴即可．
【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：图1不是轴对称图形，图2、图3、图4、图5、图6是轴对称图形．
【点评】本题主要考查的是轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．

拓展点一：活用轴对称的性质解题
【例题】如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．
【分析】借助轴对称的性质，A点和E点关于BD对称，有∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD，B点、C点关于DE对称，可得∠DBE=∠BCD，结合上式可得：∠ABC=2∠BCD，且∠ABC+∠BCD=90°，进而求得∠ABC、∠C的值．
【解答】解：∵A点和E点关于BD对称，
∴∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．
又B点、C点关于DE对称，
∴∠DBE=∠C，∠ABC=2∠C．
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°．
∴∠C=30°
∴∠ABC=2∠C=60°．
【点评】本题考查轴对称的性质与运用．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
【变式1】 如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B=125°，∠A+∠D=155°，AB=3cm，EH=4cm．
（1）试写出EF，AD的长度；
（2）求∠G的度数；
（3）连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？
【分析】（1）根据图形写出对应线段即可；
（2）对称图形的对应角相等，据此求解；
（3）根据“对应点的连线被对称轴垂直平分”求解；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B=125°，∠A+∠D=155°，AB=3cm，EH=4cm．
∴EF=AB=3cm，AD=EH=4cm；
（2）∵∠B=125°，∠A+∠D=155°，
∴∠C=80°，
∴∠G=∠C=80°；
（3）∵对称轴垂直平分对称点的连线，
∴直线MN垂直平分BF．
【点评】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是了解轴对称的性质，难度不大，属于基础题．
【变式2】 如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA，OB于点M，N，若PM=PN=3，MN=4，求线段QR的长．
【分析】由P与Q关于OA对称可得出PM=MQ=3，同理可得出PN=NR=3，由MN的长度结合MQ的长度可求出QN的长度，再根据QR=QN+NR即可求出线段QR的长．
【解答】解：∵点P与Q关于OA对称，
∴OA垂直平分PQ，
∴PM=MQ=3．
同理可得：PN=NR=3．
∵MN=4，
∴MQ+QN=4，
∴QN=4﹣MQ=4﹣3=1，
∴QR=QN+NR=1+3=4．
【点评】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质找出PM=MQ、PN=NR是解题的关键．
拓展点二：线段垂直平分线的应用
【例题】 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．
【分析】由AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，继而证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得∠B=∠C，证得AB=AC，然后由三线合一，证得AD是BC的中垂线．
【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（SAS），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD是BC的中垂线．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握三线合一性质的应用．
【变式1】 如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，
求证：BE+DE=AC．
【分析】根据角平分线性质得出CE=DE，根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，代入AC=AE+CE求出即可．
【解答】证明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，
∴CE=DE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵AC=AE+CE，
∴BE+DE=AC．
【点评】本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【变式2】 如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A=66°，∠ABC=90°，BC=AD，求∠C的度数．
【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接BD，
∵E为AB的中点，DE⊥AB于点E，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠A，
∵∠A=66°，
∴∠DBA=66°，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠AD=24°
∵AD=BC，
∴BD=BC，
∴∠C=∠BDC，
∴．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
易错点一：对轴对称的概念理解不透致错
【例题】下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键．
【变式1】 如图是由三个相同的小正方形组成的图形，请你用四种方法在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念，先确定出不同情况的对称轴，然后补全小正方形即可．
【解答】解：如图所示．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题先准确确定出对称轴是解题的关键．
【变式2】 如图，直线a⊥b，请你设计两个不同的轴对称图形，使a、b都是它的对称轴．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：如下图所示：
（答案不唯一）．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
易错点二：忽视轴对称与轴对称图形的对称轴是“直线”致错
【例题】 下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式1】 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】观察四个选项图形，根据轴对称图形的概念即可得出结论．
【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知：选项C中的图形不是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形，牢记轴对称图形的概念是解题的关键．
【变式2】 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
关系
名称
轴对称
轴对称图形
区别
区别意义不同
两个图形之间的对称关系
具有特殊形状的图形
对象不同
两个图形
一个图形
对称轴的位置不同
在两个图形之间
过图形的某条直线
对称轴的数量不同
只有一条对称轴
不一定只有一条
联系
沿对称轴折叠，两个图形完全重合；
如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
沿对称轴折叠，图形的两部分重合；
如果把轴对称图形的两部分当作两个图形，那么这两个图形成轴对称