初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形学案设计

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1.了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形
2.正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用其解决相关问题。
3.借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30的直角三角形的性质
学习重难点：
理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法
能够用等腰三角形的知识点解决相应的数学问题。
等腰三角形性质和判定的探索与应用。
知识点一：等腰三角形的概念
有两条边氙灯的三角形叫做等腰三角形。其中相等的两条边叫做腰，另一条叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底脚。如图，在中,，则为等腰三角形，其中AB，AC为腰，BC为底边，为顶角，、为底角.

【例题1】1．已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为（ ）
A．7B．8C．5D．7或8
【分析】因为腰长没有明确，所以分①2是腰长，②3是腰长两种情况求解．
【解答】解：①2是腰长时，能组成三角形，周长=2+2+3=7，
②3是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+2=8，
所以，它的周长是7或8．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，易错点为要分情况讨论求解．
【例题2】已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．40°B．70°C．100°D．140°
【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理进行解答即可．
【解答】解：∵等腰三角形的顶角为50°，
∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
【变式1】若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长是为（ ）
A．8B．10C．8或10D．6或12
【分析】因为等腰三角形的两边分别为2和4，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当2为底时，其它两边都为4，2、4、4可以构成三角形，周长为10；
当2为腰时，其它两边为2和4，因为2+2=4，所以不能构成三角形，故舍去．
∴答案只有10．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
【变式2】若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（ ）
A．20°B．50°C．80°D．100°
【分析】由已知顶角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．
【解答】解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的一个底角为（180°﹣80°）÷2=50°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．
知识点二 等腰三角形的性质 【重点】
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成等边对等角）
几何语言：在中，（等边对等角）
性质2：等腰三角形的顶角的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）
几何语言：如图所示



【例题1】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．20°D．25°
【分析】根据等腰三角形的性质就可以求出∠ABC和∠C的度数，由角平分线的性质就可以求出∠ABD的度数．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠C=40°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=20°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，此题比较简单．
【例题2】如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACB=105°，则∠B的大小为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．40°
【分析】根据边相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可．
【解答】解：设∠B=x
∵AC=DC=DB
∴∠CAD=∠CDA=2x
∴∠ACB=（180°﹣4x）+x=105°
解得x=25°．
故选：C．
【变式1】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点P是△ABC内一点，连结PB、PC，∠1=∠2，则∠BPC的度数是（ ）
A．110°B．130°C．140°D．120°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=，
∴∠1+∠PBC=70°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PBC=70°，
∴∠BPC=180°﹣（∠2+∠PBC）=180°﹣70°=110°，
故选：A．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答．
【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD=AE，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠ADB=∠ACB+∠CADB．∠ADE=∠AED
C．∠B=∠CD．∠AED=2∠ECD
【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D不一定成立，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB=∠ACB+∠CAD，选项A正确；
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，选项B正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，选项C正确；
∵ED≠EC，
∴∠AED=2∠ECD不一定成立，选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．
知识点三 等腰三角形的判定 【重难点】
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边”）
【例题1】在△ABC中，D是BA延长线上一点，AE∥BC，AE平分∠DAC，求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】由AE∥BC，根据两直线平行，同位角相等与两直线平行，内错角相等，即可证得∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，又由AE平分∠DAC，即可证得结论．
【解答】证明：∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，
∴∠EAC=∠C，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，注意两直线平行，同位角相等与两直线平行，内错角相等定理应用．
【例题2】已知：如图所示，在锐角△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．
求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】首先延长AD至E，使AD=DE，连接BE，根据三角形全等的判定方法，可得：△ADC≌△EBD；然后根据全等三角形的对应边相等，可得：∠CAD=∠BED，据此推得AB=BE=AC，判断出△ABC是等腰三角形即可．
【解答】证明：如图，延长AD至E，使AD=DE，连接BE，，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD，
∴BE=AC，∠DAC=∠DEB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠BED，
∴AB=BE，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，以及三角形全等的判定方法和应用，要熟练掌握．
【变式1】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点F，交AC于点E．求证：△AEF为等腰三角形．
【分析】由在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠C，又由BE平分∠ABC，∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，即可证得∠AFE=∠AEF，继而证得：△AEF为等腰三角形．
【解答】证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBE，
∵∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
即△AEF为等腰三角形．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式2】17．从①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAD=∠CDA四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．
【分析】首先选择条件证得△BAD≌△CDA，再利用全等三角形的性质得出∠ADB=∠DAC，即得出∠ADE=∠DAE，利用等腰三角形的判定定理可得结论．
【解答】解：选择的条件是：③∠B=∠C ④∠BAD=∠CDA（或①③，②③，①④）；
证明：在△BAD和△CDA中，
∵，
∴△BAD≌△CDA（AAS），
∴∠BDA=∠CAD，
即∠ADE=∠DAE，
∴△AED是等腰三角形
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定定理，选择条件证得△BAD≌△CDA是解答此题的关键．
知识点四 等边三角形的定义及性质 【重点】
定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形
性质：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60。（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条轴对称。
【例题1】如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE，∠1=15°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【分析】易证△ABD≌△BCE，可得∠1=∠CBE，根据∠2=∠1+∠ABE可以求得∠2的度数，即可解题．
【解答】解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠1=∠CBE，
∵∠2=∠1+∠ABE，
∴∠2=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°．
故选：D．
【例题2】如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
【变式1】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD．
（1）求证：DB=DE；
（2）过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF=3，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．
（2）由DF的长可求出CD，进而可求出AC的长，则△ABC的周长即可求出．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∴∠DBC=30°（等腰三角形三线合一），
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
（2）∵DF⊥BE，由（1）知，DB=DE，
∴DF垂直平分BE，
∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，
∴∠CDF=30°，
∵CF=3，
∴DC=6，
∵AD=CD，
∴AC=12，
∴△ABC的周长=3AC=36．
【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到∠CDE=30°是正确解答本题的关键．
知识点五 等边三角形的判定 【重点】
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是60的等腰三角形是等边三角形
【例题1】15．已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求：∠B、∠C的度数，△ABC是什么三角形？
【分析】利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”推知△ABC是等边三角形，结合等边三角形的性质求∠B、∠C的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质．等边三角形的三个内角都是60度．
【例题2】如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状
【分析】先证得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE是等边三角形．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC
∵∠1=∠2，BE=CD
∴△ABE≌△ACD
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°
∴△ADE是等边三角形．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定及三角形的全等等知识点的掌握．
【例题3】下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】直接根据等边三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：有两个角等于60°的三角形为等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形为等边三角形；三个角都相等的三角形为等边三角形；三边都相等的三角形为等边三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【变式1】△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定
【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C，结合∠A=∠C即可判断出△ABC的形状．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
【变式2】如图：在△ABC中，下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是（ ）
A．AB=AC，∠B=∠CB．AD⊥BC，BD=CD
C．BC=AC，∠B=∠CD．AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
【分析】根据等边三角形的判定判断即可．
【解答】解：A、AB=AC，∠B=∠C，只能说明△ABC是等腰三角形，错误；
B、AD⊥BC，BD=CD，只能说明△ABC是等腰三角形，错误；
C、BC=AC，∠B=∠C，能说明△ABC是等边三角形，正确；
D、AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，只能说明△ABC是等腰三角形，错误；
故选：C．
【点评】此题考查等边三角形的判定，关键是根据等边三角形的判定方法解答．
知识点六 含30角的直角三角形的性质 【重难点】
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所在的直角边等于斜边的一半。
【例题】如图，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠A=30°，F是AB的中点，FD=3，则 BD= ．
【分析】 根据直角三角形斜边上中线性质求出AB，根据含30°角的直角三角形性质求出BD即可．
【解答】解：∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，F是AB的中点，FD=3，
∴AB=2DF=6，
∵∠A=30°，
∴BD=AB=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能根据性质求出AB=2DF和BD=1212AB是解此题的关键
【变式】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝8，则DE的长度是 .
【解答】解：∵D为AB的中点，AB=8，
∴AD=4，
∵DE⊥AC于点E，∠A=30°，
∴DE= AD=2，
故答案为：2．
拓展点一 等腰三角形性质的应用
【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AE=BEB．BE是∠ABC的角平分线
C．∠A=∠EBCD．AE=BC
【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE=BC，
∴∠ACB=∠BEC，
∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，
∴∠BAC=∠EBC，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上一点，BC=BD=AD，则∠A的大小是（ ）
A．36°B．54°C．72°D．30°
【分析】由BD=BC=AD可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，用内角和定理列方程求解．
【解答】解：∵BD=BC=AD，
∴△ABD，△BCD为等腰三角形，
设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，
又∵AB=AC可知，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
即x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
即∠A=36°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．
【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CF，BE=CD，若∠A=40°，则∠EDF的度数为（ ）
A．75°B．70°C．65°D．60°
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理先求出∠B、∠C的度数，利用SAS判定△BED≌△CDF，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的角．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°
∴∠B=∠C=70°
∵EB=BD=DC=CF
∵△BED和△CDF中，
∴△BED≌△CDF（SAS）
∴∠BDE=∠CFD，∠BED=∠CDF
∵∠EDF=180°﹣∠CDF﹣∠BDE=180°﹣（∠CDF+∠BDE）
∵∠B=70°
∴∠BDE+∠BED=110°即∠CDF+∠BDE=110°
∴∠EDF=180°﹣110°=70°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；注意发现三个等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等以及三角形的内角和定理进行求解是解答本题的关键．
拓展点二 等腰三角形判定的应用
【例题1】如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】利用平行线的性质得出∠GDF=∠CEF进而利用ASA得出△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，
∵DG∥AC
∴∠GDF=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
在△GDF和△CEF中
，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴DG=CE
又∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠DBG=∠DGB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，比较简单，判定两三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，需要熟练掌握．
【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，由∠BAD=55°，得到∠DAE=25°，由DE⊥AD，进而求出结论．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=50°，
∴∠C=50°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵∠BAD=55°，
∴∠DAE=25°，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠DEC=∠DAE+∠ADE=115°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求证：CE=AB．
【分析】先根据等腰三角形的性质，得到∠BAE=∠CAE，再根据平行线的性质，得到∠E=∠CAE，最后根据等量代换即可得出结论．
【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴∠BAE=∠CAE．
∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAE．
∴∠E=∠CAE．
∴CE=AC．
∵AB=AC，
∴CE=AB．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
拓展点三 等腰三角形性质与判定的综合应用
【例题1】如图，在△ABC中BC=AC，CD⊥AB，DE∥BC，试说明△ADE和△CED都是等腰三角形．
【分析】利用等腰三角形的性质得出∠A=∠B，再利用平行线的性质得出∠EDA=∠B，即可得出∠A=∠EDA，求出即可；利用等腰三角形的性质以及平行线的性质得出对应角的关系进而得出答案．
【解答】解：∵BC=AC，
∴∠A=∠B，
∵DE∥BC，
∴∠EDA=∠B，
∴∠A=∠EDA，
∴EA=ED，
∴△ADE是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∵BC=AC，CD⊥AB，
∴CD平分∠ACB，
∴∠ECD=∠DCB，
∴∠EDC=∠ECD，
∴ED=EC，
∴△CED是等腰三角形，
∴△ADE和△CED都是等腰三角形．
【点评】本题利用了等腰三角形的判定及性质和平行线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键．
【例题2】如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．4
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=5，BC=3，即可推出BD的长度．
【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠EBC=∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC=CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD=BE，
∵AC=5，BC=3，
∴CE=3，
∴AE=AC﹣EC=5﹣3=2，
∴BE=2，
∴BD=1．
故选：A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
【变式1】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB边上，∠DAB=∠B，点E在AB边上且满足∠CAB=∠BDE．
求证：AE=BE．
【分析】由∠C=90°结合三角形内角和定理可得出∠CAB+∠B=90°，由∠CAB=∠BDE可得出∠BDE+∠B=90°，进而可得出∠DEB=90°，由∠DAB=∠B可得出DA=DB，再利用等腰三角形的三线合一可证出AE=BE．
【解答】证明：∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠B=90°．
∵∠CAB=∠BDE，
∴∠BDE+∠B=90°，
∴∠DEB=90°．
∵∠DAB=∠B，
∴DA=DB，
∴AE=BE．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，牢记等腰三角形的三线合一解题的关键．
【变式2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E．
求证：AE=DE．
【分析】先利用角平分线得到∠BAD=∠EAD，再有DE∥AB，得到∠BAD=∠ADE，利用等量代换得到∠EAD=∠ADE，根据“等角对等边”即可得到AE=DE．
【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠BAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟记“等角对等边”．

拓展点四 等边三角形性质与判定的综合应用
【例题1】如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1=25°，则∠2的大小为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．55°
【分析】先过点C作CD∥b，由直线a∥b，可得CD∥a∥b，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是等边三角形，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数．
【解答】解：过点C作CD∥b，
∵直线a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠4=∠1=25°，
∵∠ACB=60°，
∴∠3=∠ACB﹣∠4=60°﹣25°=35°，
∴∠2=∠3=35°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质．解题时注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
【例题2】如图，AC与BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60°，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形．
【分析】根据OA=OB，得∠A=∠B=60°；根据AB∥DC，得出对应角相等，从而求得∠C=∠D=60°，根据等边三角形的判定就可证得结论．
【解答】证明：∵OA=OB，
∴∠A=∠B=60°，
又∵AB∥DC，
∴∠A=∠C=60°，∠B=∠D=60°，
∴△OCD是等边三角形．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
【变式1】如图，等边△ABC中，BD是高，延长BC到点E，使DB=DE，则∠CDE= 30 °．
【分析】根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠ABC=30°，结合DB=DE，以及三角形外角的性质解答即可，
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠ABC=30°，
又∵DB=DE，
∴∠DBC=∠DEC=30°，
∴∠CDE=∠ACB﹣∠DEC=60°﹣30°=30°，
故答案为：30
【点评】本题主要考查等边三角形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系，此题难度一般．
【变式2】如图，AB=AC，DB=DC，若∠ABC为60°，BE=3cm，则AB= 6 cm．
【分析】首先证明△ABC为等边三角形，然后依据SSS证明△ABD全等△ACD，从而可得到∠BAD=∠CAD，然后依据等腰三角形三线合一的性质可得到BE=CE，从而可求得BC的长，故此可得到AB的长．
【解答】解：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠BAD=∠CAD．
又∵AB=AC，
∴BE=EC=3cm．
∴BC=6cm．
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AB=6cm．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定，求得BC的长是解题的关键．
拓展点五 含30的直角三角形性质的应用
【例题1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，其周长为3＋3eq \r(3)，AC＝3，求BC的长．
解：在Rt△ABC中，
∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC.
∵AB＋BC＋AC＝3eq \r(3)＋3，AC＝3，
∴2BC＋BC＋3＝3eq \r(3)＋3，即3BC＝3eq \r(3).
∴BC＝eq \r(3).
【例题2】如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上．该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上．船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点．求船从A到D一共走了多少海里？
解：由题意知∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∠BDC＝90°，
∴∠ACB＝∠CBD－∠CAD＝30°.
∴AB＝BC.
在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，
∴∠BCD＝30°.
∴AB＝BC＝2BD.
∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，
∴BD＝80海里．
∴AB＝BC＝160海里．
∴AD＝160＋80＝240(海里)．
答：船从A到D一共走了240海里。
【变式1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB=6，可知AP最大不能大于6。故选D。
拓展点六 等腰三角形的实际应用
【例题】如图是某种帐篷支架屋顶的侧面，它是底角为30°的等腰三角形，已知中柱BD垂直于底边AC，支柱DE垂直于腰AB，测得BE＝1米，求AB的长．
解：∵BD⊥AC，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠DEB＝90°.
又∵∠A＝30°，
∴∠ADE＝90°－30°＝60°.
∴∠BDE＝90°－60°＝30°.
∴BE＝eq \f(1,2)BD.
∵BE＝1米，
∴BD＝2米．
∴AB＝2BD＝2×2＝4(米)．
故AB的长是4米．
易错点一： 利用等腰三角形的性质解题时考虑不全导致错误
对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪一条是底边或腰时，应注意分情况分析，先确定已知边是底边还是腰，然后再考虑是否符合三角形三边关系。
【例题】等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（ ）
A．20B．25C．20或25D．15
【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于10，先根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．
【解答】解：当5为腰，10为底时，
∵5+5=10，
∴不能构成三角形；
当腰为10时，
∵5+10＞10，
∴能构成三角形，
∴等腰三角形的周长为：10+10+5=25．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的基本性质及分类讨论的思想方法，另外求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
【变式】某等腰三角形的三边长分别为x，3，2x﹣1，则该三角形的周长为（ ）
A．11B．11或8
C．11或8或5D．与x的取值有关
【分析】根据等腰三角形的性质列出方程即可求出x的值．
【解答】解：当x=3时，
此时2x﹣1=5，
∴3+3＞5，能组成三角形，
此时三角形的周长为：3+3+5=11，
当x=2x﹣1时，
此时x=1，
∴1+1＜3，不能组成三角形，
当2x﹣1=3时，
此时x=2
∴3+2＞3，能组成三角形，
此时三角形的周长为：3+3+2=8，
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键运用分类讨论的思想，本题属于基础题型．
易错点二 错误应用等腰三角形的“三线合一”
【例题】如图,在△ABC中,AB=AC,BD垂直AC,垂足为D,∠A=40∘，求∠DBC的度数。
【考点】等腰三角形的性质
【分析】本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C的度数，然后在Rt△DBC中，求出∠DBC的度数．
【解答】∵在△ABC中,AB=AC,∠A=40，∴∠ABC=∠ACB=(180−40)÷2=70；
又∵BD⊥AC垂足为D，
∴∠DBC=90−∠ACB=90−70=20.
易错点三 忽视等边三角形是特殊的等腰三角形导致错误
【例题】等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 1条或3条
【考点】轴对称图形
【分析】分有两边相等的等腰三角形与三边都相等的等腰三角形，即等边三角形，然后根据等腰三角形的轴对称性解答．
【解答】若等腰三角形只有两边相等，则有一条对称轴，
若等腰三角形的三边都相等，即等边三角形，则有三条对称轴，
所以，它的对称轴有1条或3条。
故选D.