高中数学人教A版必修第一册5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课时作业含解析，
[对应学生用书P107]
知识点1 两角和的余弦公式
(1)推导方法：在两角差的余弦公式中以－β代替β.
(2)公式：cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β.
(3)简记符号：C(α＋β).
(4)使用条件：α，β为任意角．
知识点2 两角和与差的正弦公式
[微体验]
1．思考辨析
(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,6)))＝sin eq \f(π,3)＋sin eq \f(π,6).( )
(2)sin(α＋ β)＝sin αcs β＋cs αsin β对任意角α，β恒成立．( )
(3)存在角α，β，使cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β成立．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√
2．sin(30°＋45°)＝________.
解析 sin (30°＋45°)＝sin 30°cs 45°＋cs 30° sin 45°＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).
答案 eq \f(\r(2)＋\r(6),4)
3．sin 36°cs 6°－cs 36°sin 6°＝________.
解析 原式＝sin (36°－6°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
答案 eq \f(1,2)
4．cs 55°cs 5°－sin 55° sin 5°＝________.
解析 原式＝cs(55°＋5°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).
答案 eq \f(1,2)
知识点3 两角和与差的正切公式
[微体验]
1．若tan α＝3，tan β＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)等于( )
A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．3 D．－3
A [原式＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝eq \f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq \f(1,3).]
2．sin 7°cs 37°－sin 83°sin 37°的值为( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),2)
B [原式＝sin 7°cs 37°－cs 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－eq \f(1,2).]
[对应学生用书P107]
探究一 给角求值(化简)问题
化简求值：
(1)sin 13° cs 17°＋sin 77°cs 73°；
(2)sineq \f(π,12)－eq \r(3)cseq \f(π,12)；
(3)eq \f(1－tan 15°,1＋tan 15°)；
(4)tan 72°－tan 42°－eq \f(\r(3),3)tan 72°tan 42°.
解 (1)原式＝sin 13°cs 17 °＋sin(90°－13°)·cs(90°－17°)＝sin 13°cs 17°＋cs 13°sin 17°
＝sin(13°＋17°)
＝sin 30°＝eq \f(1,2).
(2)原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin\f(π,12)－\f(\r(3),2)cs\f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,12)cs\f(π,3)－cs\f(π,12)sin\f(π,3)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－\f(π,3)))
＝－2sineq \f(π,4)＝－eq \r(2).
(3)原式＝eq \f(tan 45°－tan 15°,1＋tan 45°tan 15°)＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).
(4)∵tan 30°＝tan(72°－42°)＝eq \f(tan 72°－tan 42°,1＋tan 72°·tan 42°)，
∴tan 72°－tan 42°＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)．
∴原式＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－eq \f(\r(3),3)tan 72°tan 42°
＝eq \f(\r(3),3).
[方法总结]
解决给角化简求值问题的策略
(1)注意分析式子的结构特点，合理选择正余弦的和差公式．
(2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用．
(3)注意非特殊角与特殊角间的联系及将特殊值转化为特殊角三角函数．
(4)注意对角的变换，即合理拆角或凑角．
[跟踪训练1] 求下列各式的值．
(1)sin(x＋27°)cs(18°－x)－cs(x＋27°)sin(x－18°)；
(2)eq \f(\r(3)－tan 15°,1＋\r(3)tan 15°).
解 (1)原式＝sin(x＋27°)cs(18°－x)＋cs(x＋27°)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).
(2)原式＝eq \f(tan 60°－tan 15°,1＋tan 60°tan 15°)＝tan 45°＝1.
探究二 给值(或式)求角问题
已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β 的值．
解 ∵α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，
∴cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10).
∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又∵α，β均为锐角，∴－eq \f(π,2)