高中数学人教A版必修第一册5.2.1 第1课时 三角函数的概念课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册5.2.1 第1课时 三角函数的概念课时作业含解析，
第一课时 三角函数的概念
[对应学生用书P86]
知识点 三角函数的定义
1．设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．
(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cs α，即x＝cs α；
(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即eq \f(y,x)＝tan α(x≠0)．它是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．
2．将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数y＝sin x，x∈R；
余弦函数y＝cs x，x∈R；
正弦函数y＝tan x，x≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
3．一般地，设α是一个任意角，在它的终边上任取一点P(x，y)(不与原点重合)，点P到原点的距离是r，则由相似三角形性质知：sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).
[微体验]
1．若α的终边与x轴负半轴重合，则sin α＝__________，cs α＝__________，tan α＝__________.[来源:学。科。网Z。X。X。K]
解析 当α的终边与x轴负半轴重合时，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)，故sin α＝0，cs α＝－1，tan α＝0.
答案 0 －1 0
2．已知角α的终边经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，则sin α＝______，cs α＝________，tan α＝________.
解析 因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＝1，所以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))在单位圆上，由三角函数的定义知sin α＝－eq \f(1,2)，cs α＝－eq \f(\r(3),2)，tan α＝eq \f(\r(3),3).
答案 －eq \f(1,2) －eq \f(\r(3),2) eq \f(\r(3),3)
[对应学生用书P86]
探究一 已知角的终边上一点求三角函数值
(1)在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为eq \f(3,5)，则tan α＝________.
(2)(多空题)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cs α＝________，tan α＝________.
解析 (1)由题意，设点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，\f(3,5)))，
所以x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝1，解得x＝eq \f(4,5)或－eq \f(4,5).
当x＝eq \f(4,5)时，角α在第一象限，tan α＝eq \f(\f(3,5),\f(4,5))＝eq \f(3,4)；
当x＝－eq \f(4,5)时，角α在第二象限，tan α＝eq \f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq \f(3,4).
(2)∵x＝5，y＝－12，∴r＝eq \r(52＋－122)＝13，
则sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(12,13)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(5,13)，tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(12,5).
答案 (1)eq \f(3,4)或－eq \f(3,4) (2) －eq \f(12,13) eq \f(5,13) －eq \f(12,5)
[方法总结]
求任意角的三角函数值的两种方法
方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．
方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)，(点P与原点不重合)；
第二步，计算r：r＝|OP|＝eq \r(x2＋y2)；
第三步，求值：由sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)求值．
在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．
[跟踪训练1] 如果α的终边过点P(2sin 30°，－2cs 30°)，那么sin α的值等于( )
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),3)
C [由题意知P(1，－eq \r(3))，所以r＝ eq \r(12＋－\r(3)2)＝2，所以sin α＝－eq \f(\r(3),2).]
探究二 已知角α终边所在直线求三角函数值
已知角α的终边在直线y＝eq \r(3)x上，求sin α，cs α，tan α的值．
解 因为角α的终边在直线y＝eq \r(3)x上，
所以可设P(a，eq \r(3)a)(a≠0)为角α终边上任意一点，
则r＝ eq \r(a2＋\r(3)a2)＝2|a|(a≠0)．
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝eq \f(\r(3)a,2a)＝eq \f(\r(3),2)，cs α＝eq \f(a,2a)＝eq \f(1,2)，tan α＝eq \f(\r(3)a,a)＝eq \r(3).
若a0时，r＝ eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2)x，
sin α＋cs α＝eq \f(y,r)＋eq \f(x,r)＝eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)，
当x