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人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数优秀随堂练习题
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这是一份人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数优秀随堂练习题，文件包含专题227二次函数的应用面积问题重难点培优-2021-2022学年九年级数学上册同步练习原卷版人教版docx、专题227二次函数的应用面积问题重难点培优-2021-2022学年九年级数学上册同步练习解析版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
专题22.7二次函数的应用：面积问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•龙华区期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【分析】设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质及走不了了的取值范围可得S的最大值；令S＝9，求得方程的解并根据自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法．
【解析】设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，由题意得：
S=12-x3×x
=-13x2+4x，
∴对称轴为x=-42×(-13)=6，
∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，
∴当x＝5时，S有最大值：
Smax=-13×52+4×5
=-253+20
=353．
∵9＜353＜12，
∴小明错误；
令S＝9得：9=-13x2+4x，
解得：x1＝9（舍），x2＝3，
∴
x＝3时，S＝9．
∴隔离区的面积可能为9m2．
故选：B．
2．（2019秋•行唐县期末）如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．16m2 B．12 m2 C．18 m2 D．以上都不对
【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．
【解析】设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12x＝﹣2（x﹣3）2+18，
∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝18，
故选：C．
3．（2019•宝安区二模）如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是（ ）平方米．
A．16 B．18 C．20 D．24
【分析】设AB为x米，则BC＝12﹣2x，即可求面积
【解析】
设AB＝x，则BC＝12﹣2x
得矩形ABCD的面积：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12＝﹣2（x﹣3）2+18
即矩形ABCD的最大面积为18平方米
故选：B．
4．（2019•保定三模）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为（ ）
A．75m2 B．752m2 C．48m2 D．2252m2
【分析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，表示出总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75即可求得面积的最值．
【解析】设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，
则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米，
故选：A．
5．（2018•建平县模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．12cm2 D．15cm2
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC＝6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ＝t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC=AB2-BC2=6cm，
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ=12AC•BC-12PC•CQ，
=12×6×8-12（6﹣t）×2t，
＝t2﹣6t+24，
＝（t﹣3）2+15，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．
故选：D．
6．（2019•桥西区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
【解析】设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S＝S△ABC﹣S△PBQ
=12×12×6-12（6﹣t）×2t
＝t2﹣6t+36
＝（t﹣3）2+27．
∴当t＝3s时，S取得最小值．
故选：C．
7．（2018•扬州一模）一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（ ）
A．30cm B．25cm C．20cm D．15cm
【分析】如图，设BE＝CF＝x，则EF＝80﹣2x，利用△EFM和△CFN都是等腰直角三角形，所以MF=22EF＝402-2x，FN=2FC=2x，利用矩形的面积公式得到包装盒的侧面积＝4•2x（402-2x），然后根据二次函数的性质解决问题．
【解析】如图，设BE＝CF＝x，则EF＝80﹣2x，
∵△EFM和△CFN都是等腰直角三角形，
∴MF=22EF＝402-2x，FN=2FC=2x，
∴包装盒的侧面积＝4MF•FN＝4•2x（402-2x）
＝﹣8（x﹣20）2+3200，
当x＝20时，包装盒的侧面积最大．
故选：C．
8．（2019秋•河西区期中）用60m长的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随着矩形的一边长L的变化而变化，要使矩形的面积最大，L的长度应为（ ）
A．63m B．15m C．20m D．103m
【分析】根据矩形的面积＝长×宽列式，配方求最值．
【解析】由题意得：S＝L（30﹣L），
S＝﹣L2+30L＝﹣（L2﹣30L+225﹣225）＝﹣（L﹣15）2+225，
所以当L＝15时，S有最大值；
故选：B．
9（2021•南岗区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为10，以正方形的顶点A、B、C、D为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】易得阴影部分的面积为1个圆的面积，得到阴影部分面积的函数关系式，看符合哪类函数即可．
【解析】由题意得y＝πx2，属于二次函数，
根据自变量的取值为0＜x≤5，有实际意义的函数在第一象限，
故选：D．
10．（2018秋•周村区期中）用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，则这个窗户的最大采光面积是（ ）
A．43m2 B．83m2 C．3m2 D．259m2
【分析】设宽为x米，则长为8-3x2米，可得面积S＝x•8-3x2=-32x2+4x，即可求解．
【解析】设宽为x米，则长为8-3x2米，
可得面积S＝x•8-3x2=-32x2+4x，
当x=43时，S有最大值，最大值为-164×(-32)=83（平方米），
故这个窗户的最大采光面积是83平方米，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•昆明期末）用一根长为24cm的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是 36 cm2．
【分析】设围成矩形的长为xcm，则宽为24-2x2=（12﹣x）cm，设围成矩形的面积为Scm2，根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】设围成矩形的长为xcm，则宽为24-2x2=（12﹣x）cm，设围成矩形的面积为Scm2，
由题意得：
S＝x（12﹣x）
＝﹣x2+12x
＝﹣（x﹣6）2+36，
∵二次项系数为负，抛物线开口向下，
∴当x＝6cm时，S有最大值，最大值为36cm2．
故答案为：36．
12．（2020•和平区一模）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是8m，则所围成矩形ABCD的最大面积是 16 ．
【分析】首先设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，利用面积公式写出矩形的面积表达式，再配方，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案．
【解析】设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，矩形的面积为：
S矩形ABCD＝x（8﹣x）
＝﹣x2+8x
＝﹣（x﹣4）2+16．
∵二次项系数为﹣1＜0，
∴当x＝4时，S矩形ABCD有最大值，最大值为16．
故答案为：16．
13．（2019秋•台州期中）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地的是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE．那么当BE＝ 2 m时，绿地AEFG的面积最大．
【分析】设BE＝xm，则DG＝2BE＝2xm，绿地AEFG的面积为ym2，根据题意得y关于x的二次函数，然后写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【解析】设BE＝xm，则DG＝2BE＝2xm，绿地AEFG的面积为ym2，根据题意得：
y＝AE•AG
＝（8﹣x）（8+2x）
＝﹣2x2+8x+64
＝﹣2（x﹣2）2+72．
∵二次项系数为﹣2，
∴当x＝2时，y有最大值72．
故答案为：2．
14．（2019秋•唐山期末）如图，用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是 83 m2．（中间横框所占的面积忽略不计）
【分析】设窗的高度为xm，宽为8-2x3m，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．
【解析】设窗的高度为xm，宽为（8-2x3）m，
故S=8-2x3x=-23（x﹣2）2+83．
∴当x＝2m时，S最大值为83m2．
故答案为：83．
15．（2020•和平区校级模拟）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为60m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则BC长为 15m 时，能围成的矩形区域ABCD的面积最大．
【分析】根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a（m），则有AE＝2a（m），表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；再利用二次函数的性质求出面积S的最大值即可．
【解析】如图，
∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BC＝x（m），BE＝FC＝a（m），则AE＝HG＝DF＝2a（m），
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝60（m），即 8a+2x＝60，
∴a=-14x+152，3a=-34x+452，
∴矩形区域ABCD的面积S＝（-34x+452）x=-34x2+452x，
∵a=-14x+152
∴x＜30，
则S=-34x2+452x（0＜x＜30）
∵二次项系数为-34＜0
∴当x=-4522×(-34)=15（m）时，S有最大值，最大值为：-34×152+452×15=6754（m2）
故答案为：15m．
16．（2020秋•垦利区期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为26m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为 14 m．
【分析】设平行于墙的材料长为x米，则垂直于墙的材料长为13（28﹣x），表示出总面积S=13x（28﹣x）=-13（x2﹣28x）=-13（x﹣14）2+1963，即可求得．
【解析】设平行于墙的材料长为x米，
则垂直于墙的材料长为13（28﹣x），
总面积S=13x（28﹣x）
=-13（x2﹣28x）
=-13（x﹣14）2+1963，
∴当x＝14时，建成的饲养室面积最大．
故答案为：14m．
17．（2020秋•岑溪市期中）用长度为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为 83m2 ．
【分析】设宽为xm，则长为8-3x2m，可得面积S＝x•8-3x2，即可求解．
【解析】设宽为xm，则长为8-3x2m，
可得面积S＝x•8-3x2=-32x2+4x，
当x=43时，S有最大值，最大值为-164×(-32)=83（m2）．
故答案为：83m2．
18．（2020•沈河区二模）如图，有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙（墙长为15m），另外三边用长为16m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为 32m2 ．
【分析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16﹣2x）m，首先列出矩形的面积y关于x的函数解析式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质可得最值情况．
【解析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16﹣2x）m，由题意可知：
y＝x（16﹣2x）＝﹣2（x﹣4）2+32，且x＜8，
∵墙长为15m，
∴16﹣2x≤15，
∴0.5≤x＜8，
∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为32m2；
故答案为：32m2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•五华区校级月考）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度30m）的空地，为美化环境，用总长为60m的篱笆围成矩形花圃（矩形一边靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）如图1，怎么才能围成一个面积为432m2的矩形花圃；
（2）如图2，若围成四块矩形且面积相等的花圃，设BC的长度为xm，求x的取值范围及矩形区域ABCD的面积的最大值．
【分析】（1）设BC＝xm（x≤30），则AB＝30-12x（m），进而求解；
（2）证明AE＝3BE，则AB＝24-65BC，进而求解．
【解析】（1）设BC＝xm（x≤30），则AB＝30-12x（m），
则矩形花圃的面积＝AB•CD＝x（30-12x）=-12x2+30x（0＜x≤30），
即12x2﹣30x+432＝0，解得x＝36（舍去）或24，
∴x＝24（m），
即当BC长度为24m时，能围成一个面积为432m2的矩形花圃；
（2）∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，AM＝GH．
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
∵篱笆总长为60m，
∴2AB+GH+3BC＝60，
即2AB+12AB+3BC＝60，
∴AB＝24-65BC，
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
y＝BC•AB＝x（24-65x）=-65x2+24x，
∵AB＝24-65x＞0，解得x＜20，
∵墙的长度30m，则x≤30，
∴0＜x＜20，
∴y=-65x2+24x（0＜x＜20）．
由函数表达式知，其对称轴为直线x＝10，
当x＝10时，y取得最大值为120（m2）．
即x的取值范围为0＜x＜20，矩形区域ABCD的面积的最大值为120m2．
20．（2021•金堂县模拟）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各1m的门，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）请用含x的代数式表示BC并求S与x的函数关系式；
（2）若4＜x＜7，则S的最大值是多少？请说明理由．
【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，得出S与x的函数关系式；
（2）先求出对称轴，在求出x的取值范围，根据抛物线的性质即可求出面积的最大值．
【解析】（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x+2）米＝（26﹣3x）米，
则S＝x（26﹣3x）＝﹣3x2+26x，
∵BC＝26﹣3x≤11，
∴x≥5，
∴S＝﹣3x2+26x（x≥5）；
（2））解不等式组x≥54＜x＜7，
解得：5≤x＜7，
∵S＝﹣3x2+26x＝﹣3（x-133）2+1693，
∵﹣3＜0，
∴x＞133时，S随x的增大而减小，
∴x＝5时，
S的最大值＝﹣3×52+26×5＝55m2．
21．（2021•临安区模拟）某校一面墙RS（长度大于32m）前有一块空地，校方准备用长32m的柵栏（A﹣B﹣C﹣D）围成一个一面靠墙的长方形花圃，再将长方形ABCD分割成六块（如图所示），已知MN∥AD，EF∥GH∥AB，MB＝BF＝CH＝CN＝1m，设AB＝xm．
（1）用含x的代数式表示：BC＝ （32﹣2x） m；PQ＝ （30﹣2x） m．
（2）当长方形EPQG的面积等于96m2时，求AB的长．
（3）若在如图的甲区域种植花卉，乙区域种植草坪，种植花卉的成本为每平方米100元，种植草坪的成本为每平方米50元，则种植花卉与草坪的总费用的最高是多少？并求此时花围的宽AB的值．
【分析】（1）根据栅栏的总长度为32m，可求出长BC的长，再利用矩形的性质表达出PQ的长；
（2）在第（1）问的基础上，可表达出长方形EPQG的面积的表达式，列出方程，求出线段AB的长；
（3）根据题意，先表达出甲区域和乙区域的面积，再代入单价，表达出总费用，结合二次函数的性质，可得出花围宽的范围．
【解析】（1）由题意可得，AB+BC+CD＝32，且CD＝AB＝x，
∴BC＝32﹣2x，
∵MB＝BF＝CH＝CN＝1，
∴PQ＝FH＝BC﹣BF﹣HC＝（30﹣2x）m，
故答案为：（32﹣2x），（30﹣2x）；
（2）由（1）得，EP＝AM＝AB﹣MB＝x﹣1，
∵长方形EPQG的面积等于96m2，
∴EP⋅PQ＝（30﹣2x）（x﹣1）＝96（m），
解得x1＝7，x2＝9，
∴AB的长为7m或9m；
（3）由题意可得，甲区域的面积为：2（x﹣1）+28﹣2x＝28（m2），
乙区域的面积为：（30﹣2x）（x﹣1）+2＝﹣2x2+32x﹣28（m2）；
设总费用为y元，则y＝100×28+50（﹣2x2+32x﹣28）＝﹣100x2+1600x+1400，
∴y＝﹣100（x﹣8）2+7800，
当x＝8时，y有大值7800，
所以种植花卉与草坪的总费用的最高是7800元，此时花围的宽AB是8m．
22．（2020•河北）用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．
（1）求W与x的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．
①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]
【分析】（1）由木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，可设W＝kx2（k≠0）．将x＝3时，W＝3代入，求出k=13，即可得出W与x的函数关系式；
（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，将（1）中所求的解析式代入Q＝W厚﹣W薄，化简即可得到Q与x的函数关系式；
②根据Q是W薄的3倍，列出方程﹣4x+12＝3×13x2，求解即可．
【解析】（1）设W＝kx2（k≠0）．
∵当x＝3时，W＝3，
∴3＝9k，解得k=13，
∴W与x的函数关系式为W=13x2；
（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，
∴Q＝W厚﹣W薄=13（6﹣x）2-13x2＝﹣4x+12，
即Q与x的函数关系式为Q＝﹣4x+12；
②∵Q是W薄的3倍，
∴﹣4x+12＝3×13x2，
整理得，x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝2，x2＝﹣6（不合题意舍去），
故x为2时，Q是W薄的3倍．
23．（2020春•道里区期末）某养鸡专业户用篱笆及一面墙（该墙可用最大长度为36米）围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆（EF），如图，BE、EF上各留有1米宽的门（门不需要篱笆），该养鸡专业户共用篱笆58米，设该矩形的一边AB长x米，AD＞AB，矩形ABCD的面积为s平方米．
（1）求出S与x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形ABCD的面积为252平方米，求AB的长．
【分析】（1）根据题意可得BC﹣1＝58﹣x﹣x﹣（x﹣1），求出BC的长即可列出S与x函数关系式；
（2）利用（1）所得函数解析式，即可求解．
【解析】（1）由题意得：BC﹣1＝58﹣x﹣x﹣（x﹣1），化简得，BC＝60﹣3x，
可得矩形ABCD的面积：S＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x（8≤x＜15）；
（2）由题意得：S＝﹣3x2+60x＝252，解得：x＝14或6（舍去6），
故AB长为14米．
24．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
【分析】（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，y＝2×12（EH+AD）×20x+2×12（GH+CD）×x×60+EF•EH×40，即可求解；
（2）参考（1），由题意得：y＝（30+30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40（0＜x＜10）；
（3）S甲＝2×12（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，S乙＝﹣2x2+40x，则﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，即可求解．
【解析】（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
y＝2×12（EH+AD）×20x+2×12（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；
（2）EF＝（20﹣2x）米，EH＝（30﹣2x）米，
参考（1），由题意得：y＝（30+30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；
（3）S甲＝2×12（EH+AD）×x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，
故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
专题22.7二次函数的应用：面积问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•龙华区期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
【分析】设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质及走不了了的取值范围可得S的最大值；令S＝9，求得方程的解并根据自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法．
【解析】设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，由题意得：
S=12-x3×x
=-13x2+4x，
∴对称轴为x=-42×(-13)=6，
∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，
∴当x＝5时，S有最大值：
Smax=-13×52+4×5
=-253+20
=353．
∵9＜353＜12，
∴小明错误；
令S＝9得：9=-13x2+4x，
解得：x1＝9（舍），x2＝3，
∴
x＝3时，S＝9．
∴隔离区的面积可能为9m2．
故选：B．
2．（2019秋•行唐县期末）如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．16m2 B．12 m2 C．18 m2 D．以上都不对
【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．
【解析】设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12x＝﹣2（x﹣3）2+18，
∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝18，
故选：C．
3．（2019•宝安区二模）如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是（ ）平方米．
A．16 B．18 C．20 D．24
【分析】设AB为x米，则BC＝12﹣2x，即可求面积
【解析】
设AB＝x，则BC＝12﹣2x
得矩形ABCD的面积：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12＝﹣2（x﹣3）2+18
即矩形ABCD的最大面积为18平方米
故选：B．
4．（2019•保定三模）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为（ ）
A．75m2 B．752m2 C．48m2 D．2252m2
【分析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，表示出总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75即可求得面积的最值．
【解析】设垂直于墙的材料长为x米，
则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，
则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
故饲养室的最大面积为75平方米，
故选：A．
5．（2018•建平县模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为（ ）
A．19cm2 B．16cm2 C．12cm2 D．15cm2
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC＝6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ＝t2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC=AB2-BC2=6cm，
设运动时间为t（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，
∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ=12AC•BC-12PC•CQ，
=12×6×8-12（6﹣t）×2t，
＝t2﹣6t+24，
＝（t﹣3）2+15，
∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．
故选：D．
6．（2019•桥西区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
【解析】设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S＝S△ABC﹣S△PBQ
=12×12×6-12（6﹣t）×2t
＝t2﹣6t+36
＝（t﹣3）2+27．
∴当t＝3s时，S取得最小值．
故选：C．
7．（2018•扬州一模）一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝xcm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（ ）
A．30cm B．25cm C．20cm D．15cm
【分析】如图，设BE＝CF＝x，则EF＝80﹣2x，利用△EFM和△CFN都是等腰直角三角形，所以MF=22EF＝402-2x，FN=2FC=2x，利用矩形的面积公式得到包装盒的侧面积＝4•2x（402-2x），然后根据二次函数的性质解决问题．
【解析】如图，设BE＝CF＝x，则EF＝80﹣2x，
∵△EFM和△CFN都是等腰直角三角形，
∴MF=22EF＝402-2x，FN=2FC=2x，
∴包装盒的侧面积＝4MF•FN＝4•2x（402-2x）
＝﹣8（x﹣20）2+3200，
当x＝20时，包装盒的侧面积最大．
故选：C．
8．（2019秋•河西区期中）用60m长的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随着矩形的一边长L的变化而变化，要使矩形的面积最大，L的长度应为（ ）
A．63m B．15m C．20m D．103m
【分析】根据矩形的面积＝长×宽列式，配方求最值．
【解析】由题意得：S＝L（30﹣L），
S＝﹣L2+30L＝﹣（L2﹣30L+225﹣225）＝﹣（L﹣15）2+225，
所以当L＝15时，S有最大值；
故选：B．
9（2021•南岗区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为10，以正方形的顶点A、B、C、D为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】易得阴影部分的面积为1个圆的面积，得到阴影部分面积的函数关系式，看符合哪类函数即可．
【解析】由题意得y＝πx2，属于二次函数，
根据自变量的取值为0＜x≤5，有实际意义的函数在第一象限，
故选：D．
10．（2018秋•周村区期中）用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，则这个窗户的最大采光面积是（ ）
A．43m2 B．83m2 C．3m2 D．259m2
【分析】设宽为x米，则长为8-3x2米，可得面积S＝x•8-3x2=-32x2+4x，即可求解．
【解析】设宽为x米，则长为8-3x2米，
可得面积S＝x•8-3x2=-32x2+4x，
当x=43时，S有最大值，最大值为-164×(-32)=83（平方米），
故这个窗户的最大采光面积是83平方米，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•昆明期末）用一根长为24cm的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是 36 cm2．
【分析】设围成矩形的长为xcm，则宽为24-2x2=（12﹣x）cm，设围成矩形的面积为Scm2，根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】设围成矩形的长为xcm，则宽为24-2x2=（12﹣x）cm，设围成矩形的面积为Scm2，
由题意得：
S＝x（12﹣x）
＝﹣x2+12x
＝﹣（x﹣6）2+36，
∵二次项系数为负，抛物线开口向下，
∴当x＝6cm时，S有最大值，最大值为36cm2．
故答案为：36．
12．（2020•和平区一模）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是8m，则所围成矩形ABCD的最大面积是 16 ．
【分析】首先设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，利用面积公式写出矩形的面积表达式，再配方，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案．
【解析】设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，矩形的面积为：
S矩形ABCD＝x（8﹣x）
＝﹣x2+8x
＝﹣（x﹣4）2+16．
∵二次项系数为﹣1＜0，
∴当x＝4时，S矩形ABCD有最大值，最大值为16．
故答案为：16．
13．（2019秋•台州期中）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地的是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE．那么当BE＝ 2 m时，绿地AEFG的面积最大．
【分析】设BE＝xm，则DG＝2BE＝2xm，绿地AEFG的面积为ym2，根据题意得y关于x的二次函数，然后写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【解析】设BE＝xm，则DG＝2BE＝2xm，绿地AEFG的面积为ym2，根据题意得：
y＝AE•AG
＝（8﹣x）（8+2x）
＝﹣2x2+8x+64
＝﹣2（x﹣2）2+72．
∵二次项系数为﹣2，
∴当x＝2时，y有最大值72．
故答案为：2．
14．（2019秋•唐山期末）如图，用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是 83 m2．（中间横框所占的面积忽略不计）
【分析】设窗的高度为xm，宽为8-2x3m，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．
【解析】设窗的高度为xm，宽为（8-2x3）m，
故S=8-2x3x=-23（x﹣2）2+83．
∴当x＝2m时，S最大值为83m2．
故答案为：83．
15．（2020•和平区校级模拟）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为60m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则BC长为 15m 时，能围成的矩形区域ABCD的面积最大．
【分析】根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a（m），则有AE＝2a（m），表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；再利用二次函数的性质求出面积S的最大值即可．
【解析】如图，
∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BC＝x（m），BE＝FC＝a（m），则AE＝HG＝DF＝2a（m），
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝60（m），即 8a+2x＝60，
∴a=-14x+152，3a=-34x+452，
∴矩形区域ABCD的面积S＝（-34x+452）x=-34x2+452x，
∵a=-14x+152
∴x＜30，
则S=-34x2+452x（0＜x＜30）
∵二次项系数为-34＜0
∴当x=-4522×(-34)=15（m）时，S有最大值，最大值为：-34×152+452×15=6754（m2）
故答案为：15m．
16．（2020秋•垦利区期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为26m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为 14 m．
【分析】设平行于墙的材料长为x米，则垂直于墙的材料长为13（28﹣x），表示出总面积S=13x（28﹣x）=-13（x2﹣28x）=-13（x﹣14）2+1963，即可求得．
【解析】设平行于墙的材料长为x米，
则垂直于墙的材料长为13（28﹣x），
总面积S=13x（28﹣x）
=-13（x2﹣28x）
=-13（x﹣14）2+1963，
∴当x＝14时，建成的饲养室面积最大．
故答案为：14m．
17．（2020秋•岑溪市期中）用长度为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为 83m2 ．
【分析】设宽为xm，则长为8-3x2m，可得面积S＝x•8-3x2，即可求解．
【解析】设宽为xm，则长为8-3x2m，
可得面积S＝x•8-3x2=-32x2+4x，
当x=43时，S有最大值，最大值为-164×(-32)=83（m2）．
故答案为：83m2．
18．（2020•沈河区二模）如图，有一个矩形苗圃园、其中一边靠墙（墙长为15m），另外三边用长为16m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为 32m2 ．
【分析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16﹣2x）m，首先列出矩形的面积y关于x的函数解析式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质可得最值情况．
【解析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16﹣2x）m，由题意可知：
y＝x（16﹣2x）＝﹣2（x﹣4）2+32，且x＜8，
∵墙长为15m，
∴16﹣2x≤15，
∴0.5≤x＜8，
∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为32m2；
故答案为：32m2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•五华区校级月考）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度30m）的空地，为美化环境，用总长为60m的篱笆围成矩形花圃（矩形一边靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）如图1，怎么才能围成一个面积为432m2的矩形花圃；
（2）如图2，若围成四块矩形且面积相等的花圃，设BC的长度为xm，求x的取值范围及矩形区域ABCD的面积的最大值．
【分析】（1）设BC＝xm（x≤30），则AB＝30-12x（m），进而求解；
（2）证明AE＝3BE，则AB＝24-65BC，进而求解．
【解析】（1）设BC＝xm（x≤30），则AB＝30-12x（m），
则矩形花圃的面积＝AB•CD＝x（30-12x）=-12x2+30x（0＜x≤30），
即12x2﹣30x+432＝0，解得x＝36（舍去）或24，
∴x＝24（m），
即当BC长度为24m时，能围成一个面积为432m2的矩形花圃；
（2）∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，AM＝GH．
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
∵篱笆总长为60m，
∴2AB+GH+3BC＝60，
即2AB+12AB+3BC＝60，
∴AB＝24-65BC，
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
y＝BC•AB＝x（24-65x）=-65x2+24x，
∵AB＝24-65x＞0，解得x＜20，
∵墙的长度30m，则x≤30，
∴0＜x＜20，
∴y=-65x2+24x（0＜x＜20）．
由函数表达式知，其对称轴为直线x＝10，
当x＝10时，y取得最大值为120（m2）．
即x的取值范围为0＜x＜20，矩形区域ABCD的面积的最大值为120m2．
20．（2021•金堂县模拟）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各1m的门，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）请用含x的代数式表示BC并求S与x的函数关系式；
（2）若4＜x＜7，则S的最大值是多少？请说明理由．
【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，得出S与x的函数关系式；
（2）先求出对称轴，在求出x的取值范围，根据抛物线的性质即可求出面积的最大值．
【解析】（1）由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x+2）米＝（26﹣3x）米，
则S＝x（26﹣3x）＝﹣3x2+26x，
∵BC＝26﹣3x≤11，
∴x≥5，
∴S＝﹣3x2+26x（x≥5）；
（2））解不等式组x≥54＜x＜7，
解得：5≤x＜7，
∵S＝﹣3x2+26x＝﹣3（x-133）2+1693，
∵﹣3＜0，
∴x＞133时，S随x的增大而减小，
∴x＝5时，
S的最大值＝﹣3×52+26×5＝55m2．
21．（2021•临安区模拟）某校一面墙RS（长度大于32m）前有一块空地，校方准备用长32m的柵栏（A﹣B﹣C﹣D）围成一个一面靠墙的长方形花圃，再将长方形ABCD分割成六块（如图所示），已知MN∥AD，EF∥GH∥AB，MB＝BF＝CH＝CN＝1m，设AB＝xm．
（1）用含x的代数式表示：BC＝ （32﹣2x） m；PQ＝ （30﹣2x） m．
（2）当长方形EPQG的面积等于96m2时，求AB的长．
（3）若在如图的甲区域种植花卉，乙区域种植草坪，种植花卉的成本为每平方米100元，种植草坪的成本为每平方米50元，则种植花卉与草坪的总费用的最高是多少？并求此时花围的宽AB的值．
【分析】（1）根据栅栏的总长度为32m，可求出长BC的长，再利用矩形的性质表达出PQ的长；
（2）在第（1）问的基础上，可表达出长方形EPQG的面积的表达式，列出方程，求出线段AB的长；
（3）根据题意，先表达出甲区域和乙区域的面积，再代入单价，表达出总费用，结合二次函数的性质，可得出花围宽的范围．
【解析】（1）由题意可得，AB+BC+CD＝32，且CD＝AB＝x，
∴BC＝32﹣2x，
∵MB＝BF＝CH＝CN＝1，
∴PQ＝FH＝BC﹣BF﹣HC＝（30﹣2x）m，
故答案为：（32﹣2x），（30﹣2x）；
（2）由（1）得，EP＝AM＝AB﹣MB＝x﹣1，
∵长方形EPQG的面积等于96m2，
∴EP⋅PQ＝（30﹣2x）（x﹣1）＝96（m），
解得x1＝7，x2＝9，
∴AB的长为7m或9m；
（3）由题意可得，甲区域的面积为：2（x﹣1）+28﹣2x＝28（m2），
乙区域的面积为：（30﹣2x）（x﹣1）+2＝﹣2x2+32x﹣28（m2）；
设总费用为y元，则y＝100×28+50（﹣2x2+32x﹣28）＝﹣100x2+1600x+1400，
∴y＝﹣100（x﹣8）2+7800，
当x＝8时，y有大值7800，
所以种植花卉与草坪的总费用的最高是7800元，此时花围的宽AB是8m．
22．（2020•河北）用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．
（1）求W与x的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．
①求Q与x的函数关系式；
②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]
【分析】（1）由木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，可设W＝kx2（k≠0）．将x＝3时，W＝3代入，求出k=13，即可得出W与x的函数关系式；
（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，将（1）中所求的解析式代入Q＝W厚﹣W薄，化简即可得到Q与x的函数关系式；
②根据Q是W薄的3倍，列出方程﹣4x+12＝3×13x2，求解即可．
【解析】（1）设W＝kx2（k≠0）．
∵当x＝3时，W＝3，
∴3＝9k，解得k=13，
∴W与x的函数关系式为W=13x2；
（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，
∴Q＝W厚﹣W薄=13（6﹣x）2-13x2＝﹣4x+12，
即Q与x的函数关系式为Q＝﹣4x+12；
②∵Q是W薄的3倍，
∴﹣4x+12＝3×13x2，
整理得，x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝2，x2＝﹣6（不合题意舍去），
故x为2时，Q是W薄的3倍．
23．（2020春•道里区期末）某养鸡专业户用篱笆及一面墙（该墙可用最大长度为36米）围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆（EF），如图，BE、EF上各留有1米宽的门（门不需要篱笆），该养鸡专业户共用篱笆58米，设该矩形的一边AB长x米，AD＞AB，矩形ABCD的面积为s平方米．
（1）求出S与x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形ABCD的面积为252平方米，求AB的长．
【分析】（1）根据题意可得BC﹣1＝58﹣x﹣x﹣（x﹣1），求出BC的长即可列出S与x函数关系式；
（2）利用（1）所得函数解析式，即可求解．
【解析】（1）由题意得：BC﹣1＝58﹣x﹣x﹣（x﹣1），化简得，BC＝60﹣3x，
可得矩形ABCD的面积：S＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x（8≤x＜15）；
（2）由题意得：S＝﹣3x2+60x＝252，解得：x＝14或6（舍去6），
故AB长为14米．
24．（2020•无锡）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
【分析】（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，y＝2×12（EH+AD）×20x+2×12（GH+CD）×x×60+EF•EH×40，即可求解；
（2）参考（1），由题意得：y＝（30+30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40（0＜x＜10）；
（3）S甲＝2×12（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，S乙＝﹣2x2+40x，则﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，即可求解．
【解析】（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
y＝2×12（EH+AD）×20x+2×12（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；
（2）EF＝（20﹣2x）米，EH＝（30﹣2x）米，
参考（1），由题意得：y＝（30+30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；
（3）S甲＝2×12（EH+AD）×x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，
故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
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