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- 专题21.3 一元二次方程的应用-2021-2022学年九年级数学上册同步教学讲义（讲+练）（人教版） 试卷 9 次下载
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初中人教版21.2 解一元二次方程综合与测试精品课时练习
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这是一份初中人教版21.2 解一元二次方程综合与测试精品课时练习，文件包含专题212解一元二次方程-2021-2022学年九年级数学上册同步教学讲义讲+练人教版原卷版docx、专题212解一元二次方程-2021-2022学年九年级数学上册同步教学讲义讲+练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
第二十一章 一元二次方程
解一元二次方程
知识梳理
考点1 解一元二次方程-直接开平方
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
考点2 ：解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
例题剖析
【例题1】 （2021•南充一模）方程的解是
A． B． C．， D．，
【例题2】 （2020秋•环江县期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
【例题3】 （2021•岳阳二模）方程的根是 ．
【例题4】 （2021•丽水）用配方法解方程时，配方结果正确的是
A． B． C． D．
【例题5】 （2020秋•耒阳市期末）一元二次方程经过配方后可变形为
A． B． C． D．
知识梳理
考点3 解一元二次方程-公式法
（1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
例题剖析
【例题1】 （2020秋•盐城期末）用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的，，依次为
A．3，，8 B．3，， C．3，4， D．3，4，8
【例题2】 （2020秋•溆浦县期末）是下列哪个一元二次方程的根
A． B． C． D．
【例题3】 （2021春•招远市期中）按要求解下列方程：
（1）（配方法）； （2）（公式法）．
知识梳理
考点4 解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
例题剖析
【例题1】 （2021•新疆）一元二次方程的解为
A．， B．， C．， D．，
【例题2】 （2021•天津模拟）一元二次方程的解是
A． B．，
C．， D．，
知识梳理
考点5 换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、 我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
例题剖析
【例题1】 （2021•宣城模拟）已知、实数且满足，则的值为
A．3 B． C．3或 D．或2
【例题2】 （2020•凉山州一模），则的值是
A．4 B． C．4或 D．或2
【例题3】 （2020春•文登区期中）已知实数满足，那么的值为
A．或3 B．或1 C．3 D．1
知识梳理
考点6 根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
例题剖析
【例题1】 （2021•安徽二模）一元二次方程的根的情况是
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【例题2】 （2021•南海区一模）若关于的一元二次方程有两个实数根，，则的最大整数值为
A．2 B．1 C．0 D．不存在
【例题3】 （2020秋•武汉期末）若关于的方程有两不相等实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【例题4】 （2021•郴州模拟）若关于的一元二次方程有实根，则实数的取值范围是 ．
【例题5】 （2021•平谷区二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
【例题6】 （2021•海淀区二模）关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求的取值范围．
知识梳理
考点7 根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
例题剖析
【例题1】 （2021春•诸暨市月考）一元二次方程的一个根为2，则的值以及另一个根为
A．1， B．1，1 C．， D．，1
【例题2】 （2021•江西模拟）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为
A． B． C．1 D．7
【例题3】 （2021•江西模拟）已知，是方程的两根，则的值为
A．9 B．7 C．5 D．3
好题速递
基础巩固
1. （2021春•西城区校级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为
A．17 B．11 C．15 D．11或15
2. （2020秋•绿园区期末）若一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是
A． B． C． D．
3. （2020•福州模拟）关于的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是
A． B． C． D．
4. （2021•临沂）方程的根是
A．， B．， C．， D．，
5. （2020秋•茌平区期末）一个三角形两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为
A．9 B．11 C．13 D．9或13
6. （2020秋•射洪市期中）若，则的值是
A．3 B． C．3或1 D．3或
7. （2020秋•岳阳期末）一元二次方程的解是 ．
8. （2021•商城县一模）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
9. （2020秋•奎文区期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
10. （2021春•包河区期中）方程的两根为，，则等于
A． B．1 C． D．3
11. （2021•桂平市模拟）若，是一元二次方程的两根，则的值是
A． B．1 C．5 D．
12. （2021•徐州模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13. （2021•栖霞区二模）已知方程的根是和，则 ．
14. （2021春•雨花区校级期中）解一元二次方程：
（1）； （2）．
15. （2020秋•普宁市期末）用配方法解方程：．
16. （2020秋•潮州期末）解方程：．
17. （2020秋•五常市期末）解方程：．
18. （2020秋•武功县期末）解方程：．
19. （2020秋•厦门期末）解方程：．
20. （2020秋•坪山区期末）解下列方程：
（1） ； （2）．
21. （2020秋•丘北县期末）解方程．
（1） ；（配方法） （2）．（公式法）
22. （2020秋•陇县期末）（1）； （2）．
23. （2020秋•冠县期末）根据要求解下列一元二次方程：
（1） （配方法）； （2）（公式法）．
24. （2021•南岗区校级模拟）计算
（1）； （2）．
25.
26. （2021•海淀区校级模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求的值；
27. （2021•石景山区一模）关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求的取值范围．
28. （2021•黄石模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程的两根，满足，求的值．
能力提升
1. （2020秋•开江县期末）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程，得，化简，得所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
应用：已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为
A． B． C． D．
2. （2020秋•和平区期中）若一元二次方程的两个实数根中较小的一个根是，则
A． B． C． D．
3. （2020春•江阴市期中）如图，在中，，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．下列哪条线段的长度是方程的一个根
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
4. （2021•硚口区模拟）已知实数满足，那么的值为
A．或1 B．或5 C．1 D．5
5. （2020秋•雁江区期末）若实数满足方程，那么的值为
A．或4 B．4 C． D．2或
6. （2020春•崇川区校级期中）已知实数满足，则
A． B．6或 C．6 D．3
7. （2021•河南四模）若关于的方程，为常数）的解是或，则方程的解是 ．
8. （2021春•西城区校级月考）对于实数、、、，我们定义运算，例如：，上述记号就叫做二阶行列式．若，则 ．
9. （2020秋•杨浦区校级期中）若，为实数，，则 ．
10. （2021春•西城区校级期中）阅读下面的例题：
解方程：．
解：（1）当时，原方程化为，
解得：，（不合题意，舍）．
（2）当时，原方程化为，
①解得： ．
②综上，原方程的根是 ．
③请参照例题解方程，则此方程的根是 ．
11. （2021春•下城区期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个很，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
12. （2020秋•长寿区期末）如果关于的方程有正数解，且关于的方程有两个不相等的实数根，则符合条件的整数的值是
A． B．0 C．1 D．或1
13. （2021•怀化模拟）已知关于的方程的两根分别是，，且满足，则的值是
A．3 B． C．7 D．1
14. （2021春•鱼台县月考）如果，是两个不相等实数，且满足，，那么等于
A．2 B． C． D．6
15. （2021•泸县模拟）关于的一元二次方程有两个实数根，，则代数式的最小值是
A． B． C．1 D．2
16. （2021•九龙坡区校级模拟）如果方程的两个根为，，那么的值为
A．7 B．6 C． D．0
17. （2020秋•雅安期末）设，是方程的两个实数根，则的值为
A．2020 B． C． D．2022
18. （2020•广汉市模拟）关于的方程的两个根是1和，则的值为
A． B．8 C．16 D．
19. （2021•温江区模拟）已知，分别为一元二次方程的两个实数根，则 ．
20. （2021•渌口区模拟）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
中考真题
1. （2020•雅安）如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是
A． B．且 C．且 D．
2. （2020•黔西南州）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
3. （2020•台湾）若一元二次方程式的解为、，且，则之值为何？
A． B． C．11 D．17
4. （2020•巴中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是
A．1 B． C． D．0
5. （2020•兰州）一元二次方程的解是
A． B． C．， D．，
6. （2020•沈阳）一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7. （2020•南宁）一元二次方程的根的情况是
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8. （2020•邵阳）设方程的两根分别是，，则的值为
A．3 B． C． D．
9. （2020•湖北）关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为
A． B． C．或1 D．或4
10. （2020•广州）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
11. （2020•通辽）关于的方程有实数根，的取值范围是
A．且 B． C．且 D．
12. （2020•潍坊）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
13. （2020•营口）一元二次方程的解为
A．， B．， C．， D．，
14. （2020•荆州）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如．若为实数）是关于的方程，则它的根的情况为
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
15. （2020•张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为
A．2 B．4 C．8 D．2或4
16. （2020•怀化）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为
A． B． C． D．
17. （2020•攀枝花）若关于的方程没有实数根，则的值可以为
A． B． C．0 D．1
18. （2020•黑龙江）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．且
19. （2020•菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为
A．3 B．4 C．3或4 D．7
20. （2020•临沂）一元二次方程的解是
A．， B．，
C．， D．，
21. （2020•南京）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
22.
23. （2020•凉山州）一元二次方程的根为
A． B． C．或 D．或
24. （2020•河南）定义运算：☆．例如：4☆，则方程1☆的根的情况为
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
第二十一章 一元二次方程
解一元二次方程
知识梳理
考点1 解一元二次方程-直接开平方
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
考点2 ：解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
例题剖析
【例题1】 （2021•南充一模）方程的解是
A． B． C．， D．，
【例题2】 （2020秋•环江县期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C． D．
【例题3】 （2021•岳阳二模）方程的根是 ．
【例题4】 （2021•丽水）用配方法解方程时，配方结果正确的是
A． B． C． D．
【例题5】 （2020秋•耒阳市期末）一元二次方程经过配方后可变形为
A． B． C． D．
知识梳理
考点3 解一元二次方程-公式法
（1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
例题剖析
【例题1】 （2020秋•盐城期末）用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的，，依次为
A．3，，8 B．3，， C．3，4， D．3，4，8
【例题2】 （2020秋•溆浦县期末）是下列哪个一元二次方程的根
A． B． C． D．
【例题3】 （2021春•招远市期中）按要求解下列方程：
（1）（配方法）； （2）（公式法）．
知识梳理
考点4 解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
例题剖析
【例题1】 （2021•新疆）一元二次方程的解为
A．， B．， C．， D．，
【例题2】 （2021•天津模拟）一元二次方程的解是
A． B．，
C．， D．，
知识梳理
考点5 换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、 我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
例题剖析
【例题1】 （2021•宣城模拟）已知、实数且满足，则的值为
A．3 B． C．3或 D．或2
【例题2】 （2020•凉山州一模），则的值是
A．4 B． C．4或 D．或2
【例题3】 （2020春•文登区期中）已知实数满足，那么的值为
A．或3 B．或1 C．3 D．1
知识梳理
考点6 根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
例题剖析
【例题1】 （2021•安徽二模）一元二次方程的根的情况是
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【例题2】 （2021•南海区一模）若关于的一元二次方程有两个实数根，，则的最大整数值为
A．2 B．1 C．0 D．不存在
【例题3】 （2020秋•武汉期末）若关于的方程有两不相等实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【例题4】 （2021•郴州模拟）若关于的一元二次方程有实根，则实数的取值范围是 ．
【例题5】 （2021•平谷区二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
【例题6】 （2021•海淀区二模）关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求的取值范围．
知识梳理
考点7 根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
例题剖析
【例题1】 （2021春•诸暨市月考）一元二次方程的一个根为2，则的值以及另一个根为
A．1， B．1，1 C．， D．，1
【例题2】 （2021•江西模拟）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为
A． B． C．1 D．7
【例题3】 （2021•江西模拟）已知，是方程的两根，则的值为
A．9 B．7 C．5 D．3
好题速递
基础巩固
1. （2021春•西城区校级期中）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为
A．17 B．11 C．15 D．11或15
2. （2020秋•绿园区期末）若一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是
A． B． C． D．
3. （2020•福州模拟）关于的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是
A． B． C． D．
4. （2021•临沂）方程的根是
A．， B．， C．， D．，
5. （2020秋•茌平区期末）一个三角形两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为
A．9 B．11 C．13 D．9或13
6. （2020秋•射洪市期中）若，则的值是
A．3 B． C．3或1 D．3或
7. （2020秋•岳阳期末）一元二次方程的解是 ．
8. （2021•商城县一模）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
9. （2020秋•奎文区期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
10. （2021春•包河区期中）方程的两根为，，则等于
A． B．1 C． D．3
11. （2021•桂平市模拟）若，是一元二次方程的两根，则的值是
A． B．1 C．5 D．
12. （2021•徐州模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13. （2021•栖霞区二模）已知方程的根是和，则 ．
14. （2021春•雨花区校级期中）解一元二次方程：
（1）； （2）．
15. （2020秋•普宁市期末）用配方法解方程：．
16. （2020秋•潮州期末）解方程：．
17. （2020秋•五常市期末）解方程：．
18. （2020秋•武功县期末）解方程：．
19. （2020秋•厦门期末）解方程：．
20. （2020秋•坪山区期末）解下列方程：
（1） ； （2）．
21. （2020秋•丘北县期末）解方程．
（1） ；（配方法） （2）．（公式法）
22. （2020秋•陇县期末）（1）； （2）．
23. （2020秋•冠县期末）根据要求解下列一元二次方程：
（1） （配方法）； （2）（公式法）．
24. （2021•南岗区校级模拟）计算
（1）； （2）．
25.
26. （2021•海淀区校级模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求的值；
27. （2021•石景山区一模）关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求的取值范围．
28. （2021•黄石模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程的两根，满足，求的值．
能力提升
1. （2020秋•开江县期末）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为，则，所以．把代入已知方程，得，化简，得所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
应用：已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为
A． B． C． D．
2. （2020秋•和平区期中）若一元二次方程的两个实数根中较小的一个根是，则
A． B． C． D．
3. （2020春•江阴市期中）如图，在中，，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．下列哪条线段的长度是方程的一个根
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
4. （2021•硚口区模拟）已知实数满足，那么的值为
A．或1 B．或5 C．1 D．5
5. （2020秋•雁江区期末）若实数满足方程，那么的值为
A．或4 B．4 C． D．2或
6. （2020春•崇川区校级期中）已知实数满足，则
A． B．6或 C．6 D．3
7. （2021•河南四模）若关于的方程，为常数）的解是或，则方程的解是 ．
8. （2021春•西城区校级月考）对于实数、、、，我们定义运算，例如：，上述记号就叫做二阶行列式．若，则 ．
9. （2020秋•杨浦区校级期中）若，为实数，，则 ．
10. （2021春•西城区校级期中）阅读下面的例题：
解方程：．
解：（1）当时，原方程化为，
解得：，（不合题意，舍）．
（2）当时，原方程化为，
①解得： ．
②综上，原方程的根是 ．
③请参照例题解方程，则此方程的根是 ．
11. （2021春•下城区期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个很，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
12. （2020秋•长寿区期末）如果关于的方程有正数解，且关于的方程有两个不相等的实数根，则符合条件的整数的值是
A． B．0 C．1 D．或1
13. （2021•怀化模拟）已知关于的方程的两根分别是，，且满足，则的值是
A．3 B． C．7 D．1
14. （2021春•鱼台县月考）如果，是两个不相等实数，且满足，，那么等于
A．2 B． C． D．6
15. （2021•泸县模拟）关于的一元二次方程有两个实数根，，则代数式的最小值是
A． B． C．1 D．2
16. （2021•九龙坡区校级模拟）如果方程的两个根为，，那么的值为
A．7 B．6 C． D．0
17. （2020秋•雅安期末）设，是方程的两个实数根，则的值为
A．2020 B． C． D．2022
18. （2020•广汉市模拟）关于的方程的两个根是1和，则的值为
A． B．8 C．16 D．
19. （2021•温江区模拟）已知，分别为一元二次方程的两个实数根，则 ．
20. （2021•渌口区模拟）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
中考真题
1. （2020•雅安）如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是
A． B．且 C．且 D．
2. （2020•黔西南州）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
3. （2020•台湾）若一元二次方程式的解为、，且，则之值为何？
A． B． C．11 D．17
4. （2020•巴中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是
A．1 B． C． D．0
5. （2020•兰州）一元二次方程的解是
A． B． C．， D．，
6. （2020•沈阳）一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7. （2020•南宁）一元二次方程的根的情况是
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8. （2020•邵阳）设方程的两根分别是，，则的值为
A．3 B． C． D．
9. （2020•湖北）关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为
A． B． C．或1 D．或4
10. （2020•广州）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
11. （2020•通辽）关于的方程有实数根，的取值范围是
A．且 B． C．且 D．
12. （2020•潍坊）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
13. （2020•营口）一元二次方程的解为
A．， B．， C．， D．，
14. （2020•荆州）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如．若为实数）是关于的方程，则它的根的情况为
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
15. （2020•张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为
A．2 B．4 C．8 D．2或4
16. （2020•怀化）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为
A． B． C． D．
17. （2020•攀枝花）若关于的方程没有实数根，则的值可以为
A． B． C．0 D．1
18. （2020•黑龙江）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是
A． B． C． D．且
19. （2020•菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为
A．3 B．4 C．3或4 D．7
20. （2020•临沂）一元二次方程的解是
A．， B．，
C．， D．，
21. （2020•南京）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
22.
23. （2020•凉山州）一元二次方程的根为
A． B． C．或 D．或
24. （2020•河南）定义运算：☆．例如：4☆，则方程1☆的根的情况为
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
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