人教版九年级上册22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质优秀测试题

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】

专题21.8判别式和根与系数的关系大题专练（重难点培优30题）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一．解答题（共30小题）

1．（2020秋•武进区期中）已知关于x的一元二次方程nx2﹣2x+1＝0（n≠0）有实数根．

（1）求n的取值范围；

（2）当n取最大值时，求方程nx2﹣2x+1＝0（n≠0）的根．

2．（2020秋•曾都区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）当m＝1时，求方程x2﹣2x+m＝2的解．

3．（2019秋•滦南县期中）已知关于x的方程mx2﹣2x+2﹣m＝0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）当m为何整数时，方程有两个不相等的整数根．

4．（2020秋•安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．

（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．

（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

5．（2020秋•浦北县期末）已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0．

（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；

（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．

6．（2019秋•郾城区期中）已知▱ABCD边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4＝0的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？

（2）若AB的长为，那么▱ABCD的周长是多少？

7．（2020秋•镇原县期末）已知关于x的方程x2+（m+2）x+（2m﹣1）＝0．

（1）求证：无论m为何值，方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是﹣1，请求出m的值和方程的另一个根．

8．（2019秋•资阳区校级月考）已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围．

（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．

9．（2020秋•绥棱县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m的值．

10．（2019秋•溧阳市期中）定义：如果含x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，根据下列条件回答问题：

（1）当a＝c时，请判断该“凤凰”方程根的情况，并说明理由；

（2）若“凤凰”方程m（x2+1）﹣3x2+nx＝0的两根之比为1：2，请求出m、n的值．

11．（2020秋•青羊区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1＝0．

（1）若方程有两个实数根，求k的取值范围；

（2）若x1，x2是方程两实数根，且满足（x1+x2）＜2x1x2，求k的取值范围．

12．（2020秋•余干县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若x1，x2满足，求k的值．

13．（2020秋•炎陵县期末）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围．

（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．

14．（2020秋•溆浦县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0．

（1）若该方程有实数根，求m的取值范围．

（2）若m＝﹣1时，求的值．

15．（2021春•下城区期中）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k）＝0．

（1）求证：这个方程总有两个实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．

（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．

16．（2021•昆山市模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m＝0．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x1，x2是该方程的两根，且满足两根的平方和等于3，求m的值．

17．（2020秋•郧西县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0．

（1）求证：无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程两根的平方和为21，求a的值．

18．（2019秋•普宁市期中）阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2；x1•x2．

应用：

（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　　，x1•x2＝　　．

（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．

19．（2020秋•广水市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0．

（1）求证：无论m取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两实根为x1、x2，且：x12+x22﹣2x1x2＝13，求m的值．

20．（2020秋•雁江区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．

（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）设该方程两个同号的实数根为x1，x2，试问是否存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

21．（2019春•西湖区校级月考）已知：△ABC的三边分别是a，b，c，方程有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b，

（1）判断△ABC的形状，并说明理由．

（2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值．

22．（2021春•茅箭区月考）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+3x＝2m﹣3有两个实数根x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）若方程的两根满足x1•xx12﹣x22+7＝0，求m的值．

23．（2021•硚口区模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若1是方程的一个根，求k的值及方程的另一个根．

24．（2020秋•常州期末）已知关于x的一元二次方程x2+2mx﹣n2+5＝0．

（1）当m＝1时，该一元二次方程的一个根是1，求n的值；

（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根．

①求m、n满足的关系式；

②在x轴上取点H，使得OH＝|m|，过点H作x轴的垂线l，在垂线l上取点P，使得PH＝|n|，则点P到点（3，4）的距离最小值是　　．

25．（2020秋•盐城期末）已知关于x的方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．

（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．

（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．

26．（2020秋•江都区月考）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx0的两个实数根．

（1）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；

（2）若AB的长为1，那么平行四边形ABCD的周长是多少？

27．（2021•江西模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）设两个实数根是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2，则k的值为　　．

28．（2020秋•来宾期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0

（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．

29．（2021春•蜀山区校级期中）已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0．

（1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根；

（2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值．

30．（2021春•拱墅区校级期中）已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．

（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；

（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x是方程②的根；

（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．