2021学年第三章 空间向量与立体几何5 数学探究活动(一)：正方体截面探究课时作业

第三章空间向量与立体几何

§5　数学探究活动(一):正方体截面探究

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,若棱锥的体积为3π,圆锥的侧面展开图是半圆,则圆锥的母线长为(　　)

A. B.1 C. D.2

答案D

解析现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,棱锥的体积为3π,

∴圆锥的体积为3π.

∵圆锥的侧面展开图是半圆,

设半径是R,

即圆锥的母线长是R,半圆的弧长是πR,

圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长,

设圆锥的底面半径是r,则得到2πr=πR,∴R=2r,

∴圆锥的高h=r,

∴圆锥的体积V=×πr2×r=3π,

解得r=,则圆锥的母线长为R=2r=2.

故选D.

2.已知三棱锥P-ABC满足PA⊥底面ABC,在△ABC中,AB=6,AC=8,AB⊥AC,D是线段AC上一点,且AD=3DC,球O为三棱锥P-ABC的外接球,过点D作球O的截面,若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π,则球O的表面积为(　　)

A.72π B.86π C.112π D.128π

答案D

解析如图,设M是BC边中点,E是AC边中点,

∵AB⊥AC,∴M是△ABC的外心.作OM∥PA,

∵PA⊥平面ABC,∴OM⊥平面ABC,

∴OM⊥AM,OM⊥MD.

取OM=PA,易得OA=OP,

又OA=OM=OC,

∴O是三棱锥P-ABC的外接球的球心.

∵E是AC中点,∴ME∥AB,∴ME⊥AC,

∵AD=3DC,∴ED=AC=2,

又ME=AB=3,

∴MD=.设PA=2a,则OM=a,OD2=OM2+MD2=a2+13,又AM=BC==5,∴OA2=OM2+AM2=a2+25.设过D且与OD垂直的截面圆半径为r,则r==2,这是最小的截面圆半径,最大的截面圆半径等于球半径OA,∴πOA2+πr2=(a2+25)π+12π=44π,解得a2=7,∴S球=4πOA2=128π.故选D.

3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的一个截面经过顶点A,C及棱A1D1上一点K,且将正方体分成体积之比为13∶41的两部分,则的值为(　　)

A.1 B. C. D.

答案C

解析过K作KE∥AC,交C1D1于点E,连接CE,

设正方体棱长为a,设(λ>0),则D1K=D1E=.

∵截面将正方体分成体积之比为13∶41的两部分,

∴aa2+=a3,

解得λ=2(负值舍去),∴.故选C.

4.已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图).若底面圆的弦AB所对的圆心角为,则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为(　　)

A.10π+3 B.10π

C. D.2π-3

答案A

解析由题可得,圆柱被分成两部分中较小部分的底面积为S=×π×22-×2×2×sin,

∴圆柱被分成两部分中较小部分的体积为V小=×3=2π-3,

则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为

V大=π×22×3-(2π-3)=10π+3.

故选A.

5.在棱长为1的正四面体ABCD中,E是BD上一点,=3,过点E作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积的最小值为(　　)

A. B. C. D.

答案B

解析将四面体ABCD放置于正方体中,如图所示,

可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球.∵正四面体ABCD的棱长为1,∴正方体的棱长为,可得外接球半径R满足2R=,R=.E是BD上一点,=3,当球心O到截面的距离最大时,截面圆的面积取最小值,此时球心O到截面的距离等于OE.

∵cos∠ODB=,OD=,DE=,

∴OE2=-2×,

则所得截面半径最小值为.

∴所得截面面积的最小值为π×.

故选B.

等级考提升练

6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则与平面A1C1B平行的平面α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)

A. B.

C. D.

答案A

解析如图所示,分别取边AB,AA1,A1D1,D1C1,C1C,CB的中点M,N,E,F,G,H,

显然平面MNEFGH∥平面A1C1B,

易知当截面为平面MNEFGH时,截面面积最大,

此时,平面MNEFGH为正六边形,边长为,

故正六边形面积为S=6×.

故选A.

7.已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各面都相切,则平面ACB1截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为(　　)

A.π 

B.π

C.π 

D.π

答案C

解析由题意,球心O与点B的距离为×2,B到平面ACB1的距离为×2,球的半径为1,球心到平面ACB1的距离为,∴平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为,∴平面ACB1截此球所得的截面的面积为π×2=,∴平面ACB1截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积V=.故选C.

8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,N为CC1的中点,M为线段BC上的动点(不含端点),若过点A,M,N的平面截该正方体所得截面为四边形,则线段BM长度的取值范围是(　　)

A.(0,1] 

B.[1,2)

C. 

D.

答案A

解析∵当点M为线段BC的中点时,截面为四边形AMND1,又正方体的棱长为2,

∴当0<BM≤1时,截面为四边形,当BM>1时,截面与正方体的上底面也相交,截面为五边形,故线段BM的取值范围为(0,1].故选A.

新情境创新练

9.如图所示,在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,过A,E,F三点作该正方体的截面,则截面的周长为(　　)

A.18+3 

B.6+3

C.6+9 

D.10+3+4

答案B

解析如图所示,

延长EF,A1B1相交于点M,连接AM交BB1于点H,延长FE,A1D1相交于点N,连接AN交DD1于点G,可得截面五边形AHFEG.

∵几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,且E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,

∴EF=3,AG=AH==2,EG=FH=.

∴截面的周长为6+3.

故选B.