北师大版 (2019)必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理随堂练习题

课后素养落实(四十二)　刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于(　　)

A．60°     B．120°

C．30°     D．60°或120°

D　[由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.]

2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　)

A．一定平行     B．一定相交

C．一定异面     D．相交或异面

D　[可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).]

3．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条(　　)

A．相交     B．异面

C．相交或异面     D．平行

C　[如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．]

4．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是(　　)

A．梯形     B．矩形

C．平行四边形     D．正方形

D　[如图，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．]

5．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(　　)

A．c与a，b都相交

B．c与a，b都不相交

C．c至多与a，b中的一条相交

D．c至少与a，b中的一条相交

D　[若c与a，b都不相交，

∵c与a都在α内，

∴a∥c.

又c与b都在β内，

∴b∥c.

由基本事实4，可知a∥b，与已知条件矛盾．

如图，只有以下三种情况．

]

二、填空题

6．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．

60°　[连接AD1，则AD1∥BC1.

∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.]

7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.

以上结论正确的为________．(填序号)

①③　[把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]

8.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．

60°　[连接BC1，AD1(图略)，∵MN∥BC1∥AD1，

∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1(图略).

∵△ACD1是等边三角形，

∴∠D1AC＝60°.]

三、解答题

9.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．

[证明]　设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.

∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.

又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，

∴EQ綊B1C1(基本事实4).

∴四边形EQC1B1为平行四边形．

∴B1E 綊C1Q.

又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，

∴QD綊C1F.

∴四边形QDFC1为平行四边形．

∴C1Q綊DF.

∴B1E綊DF.

∴四边形B1EDF为平行四边形．

10.如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2，AE＝2.

(1)求直线BC和EG所成的角；

(2)求直线AE和BG所成的角．

[解]　(1)连接AC(图略).

∵EG∥AC，

∴∠ACB即是BC和EG所成的角．

∵在长方体ABCD­EFGH中，AB＝AD＝2，AE＝2，

∴tan ∠ACB＝1，

∴∠ACB＝45°，

∴直线BC和EG所成的角是45°.

(2)∵AE∥BF，

∴∠FBG即是AE和BG所成的角．

易知tan ∠FBG＝，

∴∠FBG＝60°，

∴直线AE和BG所成的角是60°.

11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)

A．相交     B．异面

C．平行     D．垂直

A　[如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A.]

12．在三棱锥A­BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是(　　)

A．菱形     B．矩形

C．梯形     D．正方形

B　[如图，在△ABD中，点H，E分别为边AD，AB的中点，所以HE綊BD，同理GF綊BD，所以HE綊GF，所以四边形EFGH为平行四边形．又AC⊥BD，所以HG⊥HE，所以四边形EFGH是矩形，故选B.]

13.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．

5　[取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，

∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，

∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，

∴MN＝5.]

14．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号).

②④　[①中，∵G，M是中点，∴AG綊BM，∴GM綊AB綊HN，∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；

②中，∵H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，∴H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；

③中，∵G，M是中点，∴GM綊CD，∴GM綊HN，∴H，G，M，N四点共面；

④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面．]

15．在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．

[解]　如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC­A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．

设AB＝a，∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，

∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a.

又∠BAC＝90°，

∴在矩形ABDC中，AD＝a，

∴A1D1＝a，

∴A1D＋A1B2＝BD，

∴∠BA1D1＝90°，

∴在Rt△BA1D1中，cos ∠A1BD1＝＝＝.