数学必修 第二册1 周期变化当堂达标检测题

课后素养落实(一)　周期变化

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．如果今天是星期三，则2020天后的那一天是星期(　　)

A．五    B．六    C．日    D．一

C　[每隔七天循环一次，2020＝7×288＋4，故2020天后为周日．]

2．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－在R上为(　　)

A．奇函数    B．偶函数    C．增函数    D．周期函数

D　[∵f(x)＝x－[x]，

∴f(x＋1)＝(x＋1)－[x＋1]

＝x＋1－[x]－1＝x－[x]

＝f(x)，

∴f(x)＝x－[x]在R上是周期为1的函数，故选D.]

3．已知f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，若f<1，f＝，则实数a的取值范围是(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[由已知得f＝f＝f.

所以<1，解得－1<a<4.]

4．把化成小数，小数点后第20位是(　　)

A．1    B．2    C．4    D．8

C　[＝0.142857…，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为6.

∵20＝3×6＋2，∴第20位为4.]

5.设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置，在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是(　　)

A．点A处

B．点B处

C．O、A之间

D．O、B之间

D　[钟摆的周期T＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又＜0.6＜，所以经过1分钟后，钟摆在O、B之间．]

二、填空题

6．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．

红　[周期为7，30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．]

7.如图所示，变量y与时间t(s)的图象如图所示，则时间t至少隔________s时，y＝1会重复出现1次．

2　[由图象易知周期为2，所以至少隔2 s时，y＝1会重复出现1次．]

8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．

6　[∵f(x＋4)＝f(x－2)，

∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，

∴f(x)是周期为6的周期函数，

∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]

三、解答题

9.游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：

(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？

(2)转四圈需要多少时间？

(3)你第四次距地面最高需要多少时间？

(4)转60分钟时，你距离地面是多少？

[解]　(1)是周期现象，周期12分钟/圈．

(2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟).

(3)第1次距离地面最高需＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟).

(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米).

10．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f，

求证：f(x)是周期函数．

[证明]　由g(x)＝f，得g＝f，

又g(x)为R上的奇函数，∴g＝－g(x).

∴f＝－f，

即f＝－f.

用x＋1替换x，得f(x)＝－f，

又f(x)是R上的偶函数，

∴f(x)＝－f.

∴f(x)＝f，即f(x)的周期为4.

11．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在(　　)

A．8点处    B．10点处    C．11点处    D．12点处

B　[由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.]

12．(多选题)设函数D(x)＝ ，则下列结论正确的是(　　)

A．D(x)的值域为{0，1}    B．D(x)是偶函数

C．D(x)不是周期函数     D．D(x)不是单调函数

ABD　[根据解析式易知A和D正确；若x是无理数，则－x和x＋1也是无理数，若x是有理数，则－x和x＋1也是有理数，所以D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)，从而可知B正确，C错误．]

13．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－)＝________．

－　[先利用周期性，再利用奇偶性得： f＝f＝－f＝－.]

14．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________．

－2　[因为函数f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，

所以f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，

∴－f(1)＝f(1)，即f(1)＝0，

∴f＝f＝f＝－f＝－4＝－2，

∴f＋f(1)＝－2.]

15．函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数，且当x∈时，f(x)＝＋1，试求当x∈时， f(x)的解析式.

[解]　因为y＝f(x)是以4为周期的函数，所以，

当x∈时， x－4∈，

f(x)＝f＝＋1＝；

当x∈时， x－8∈，

f(x)＝f＝＋1＝；

 综上得，f(x)＝.