2021学年3.1 二倍角公式练习

课后素养落实(三十一)　二倍角公式

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.＝(　　)

A．sin 18°     B．cos 18°

C．cos 18°－sin 18° D．sin 18°－cos 18°

B　[＝＝cos 18°.]

2．sin4－cos4等于(　　)

A．－    B．－    C．    D．

B　[原式＝·＝－＝－cos＝－.]

3．已知α为第三象限角，且cos α＝－，则tan 2α的值为(　　)

A．－    B．    C．－    D．－2

A　[由题意可得，sin α＝－＝－，∴tanα＝2，∴tan 2α＝＝－.]

4．已知sin2α＝，则cos2等于(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[因为cos2＝＝＝，

所以cos2＝＝＝.故选A.]

5．若f(x)＝2tan x－，则f的值为(　　)

A．4    B．    C．4    D．8

D　[∵f(x)＝＋

＝2＝＝，

∴f ＝＝＝8.故选D.]

二、填空题

6．已知tan x＝2，则tan 2＝________．

　[∵tan x＝2，∴tan 2x＝＝－.

tan2＝tan ＝＝＝－＝.]

7．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．

　　[∵sin ＋cos ＝，

∴＝，

即1＋2sin cos ＝，

∴sin θ＝，

∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.]

8．求值：－＝________．

4　[原式＝＝＝＝4.]

三、解答题

9．化简：(1)－tan θtan 2θ；

(2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos 2β.

[解]　(1)－tan θtan 2θ＝－

＝＝＝＝1.

(2)原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)

＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)

＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－

＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－

＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.

10．若tanα＋＝，α∈，求sin ＋2cos cos2α的值．

[解]　由tanα＋＝，得tan α＝或tan α＝3.

又∵α∈，∴tan α＝3.

∴sin α＝，cos α＝ .

∴sin ＋2cos cos2α＝sin2αcos ＋cos 2αsin ＋2cos cos2α

＝×2sinαcos α＋(2cos2α－1)＋cos2α

＝sinαcos α＋2cos2α－

＝××＋2×－＝－＝0.

11．(多选题)下列选项中，值为的是(　　)

A．cos72°cos 36°  B．sinsin

C．＋  D．－cos215°

AB　[对于A，cos 36°cos 72°＝＝＝＝，故A正确；

对于B，sin sin ＝sin cos ＝·2sin  cos ＝ sin ＝，故B正确；

对于C，原式＝

＝＝＝＝4，故C错误；

对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝

－cos 30°＝－，故D错误．故选AB.]

12．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于(　　)

A．－    B．－    C．    D．

A　[由题意，得(sin α＋cos α)2＝，∴1＋sin 2α＝，sin 2α＝－.

∵α为第二象限角，∴cos α<0，sin α>0，且cos α－sin α<0.

又∵sin α＋cos α>0，∴|cos α|<|sin α|，∴cos 2α＝cos2α－sin2α<0，

∴cos2α＝－＝－＝－＝－，故选A.]

13．等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．

　[设A是等腰△ABC的顶角，B为等腰三角形的底角，则cosB＝，sin B＝＝＝.

所以sin A＝sin (180°－2B)＝sin 2B＝2sin B cos B＝2××＝.]

14．已知角α，β为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan (β－α)＝，则β＝________．

　[由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin2α)＝sinαcos α，即2sin2α＝sinαcos α.

∵α为锐角，∴sin α≠0，

∴2sin α＝cos α，即tan α＝.

法一：由tan (β－α)＝＝＝，得tan β＝1.

∵β为锐角，∴β＝.

法二：tan β＝tan (β－α＋α)＝＝＝1.

∵β为锐角，∴β＝.]

15．已知函数f(x)＝2cos ，x∈R.

(1)求f(π)的值；

(2)若f ＝，α∈，求f(2α)的值．

[解]　(1)f(π)＝2cos ＝－2cos ＝－2×＝－.

(2)因为f＝2cos ＝2cos

＝－2sin α＝，所以sin α＝－.

又α∈，

故cos α＝＝＝.

所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，

cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝.

所以f(2α)＝2cos＝2cos  2αcos ＋2sin 2αsin

＝2××＋2××＝.