高中数学2.1 复数的加法与减法复习练习题

课后素养落实(三十五)　复数的加法与减法

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．复数z1＝－3＋i，z2＝1－i，则复数z＝z1－z2在复平面内所对应的点在(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

B　[∵z1＝－3＋i，z2＝1－i，∴复数z＝z1－z2＝－3＋i－(1－i)＝－4＋2i，其在复平面内对应的点的坐标为(－4，2)，位于第二象限．]

2．|(3＋2i)－(1＋i)|表示(　　)

A．点(3，2)与点(1，1)之间的距离

B．点(3，2)与点(－1，－1)之间的距离

C．点(3，2)到原点的距离

D．以上都不对

A　[由减法的几何意义可知．]

3．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是(　　)

A．1    B．2    C．－2    D．－1

A　[z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，即∴x＝y＝1，则xy＝1.]

4．已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则|z|＝(　　)

A．12    B．3    C．3    D．9

C　[由题意知z＝7－i－(2i－5)＝12－3i，∴|z|＝＝3.]

5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为(　　)

A．a＝－3，b＝－4  B．a＝－3，b＝4

C．a＝3，b＝－4   D．a＝3，b＝4

A　[因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，

所以4＋b＝0，b＝－4.

因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，

所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.]

二、填空题

6．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________．

6　11　[x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i，∴解得]

7．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________．

±2－2i　[因为z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，所以a2＝12，所以a＝±2，所以z＝±2－2i.]

8．设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是________．

5－2i　[设AC与BD的交点为E，则E点坐标为，设点C坐标为(x，y)，则x＝5，y＝－2，故点C对应的复数为5－2i.]

三、解答题

9．计算：

(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；

(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；

(3)(a－bi)－(2a＋2bi)－3i(a，b∈R).

[解]　(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.

(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.

(3)(a－bi)－(2a＋2bi)－3i＝(a－2a)＋[－b－(2b)－3]i＝－a－3(b＋1)i(a，b∈R).

10．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．

[解]　因为z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，

所以z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝＋(m2－2m－15)i.

因为z1＋z2是虚数，所以m2－2m－15≠0且m≠－2，

所以m≠5且m≠－3且m≠－2，

所以m的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞).

11．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)

A．3－2   B．－1

C．3＋2     D．＋1

D　[|z1－z2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|＝＝＝≤ ＝＋1.]

12．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D表示的复数是(　　)

A．1－3i   B．－3－i

C．3＋5i   D．5＋3i

C　[∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，

∴对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，

∵＝，∴(x－1，y－3)＝(2，2)，∴解得

∴点D表示的复数为3＋5i.]

13．设复数z满足z＋|z|＝2＋i，则z＝________．

＋i　[设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ . ∴x＋yi＋＝2＋i.

∴

解得∴z＝＋i.]

14. 如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R)，则zA－zC＝________．

2－4i　[因为＋＝，所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i.因为a，b∈R，

所以

所以

所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i，所以zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.]

15．已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：

(1)点C，D对应的复数；

(2)平行四边形ABCD的面积．

[解]　 (1)∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，

∴向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.

又∵＝＋，∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.

∵＝，∴向量对应的复数为3－i，

即＝(3，－1).

设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，

∴解得

∴点D对应的复数为5.

(2)∵·＝||||cos B，∴cos B＝＝＝.

∵0<B<π，∴sin B＝，∴S▱ABCD＝||||sin B＝××＝7，

∴平行四边形ABCD的面积为7.