高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算第2课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算第2课时导学案，共7页。

授课提示：对应学生用书第8页
[教材提炼]
知识点一 全集与补集
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
(1)方程(x－2)(x2－3)＝0，在有理数范围内的解是什么？在实数集内的解是什么？
(2)集合{2}与集合{eq \r(3)，－eq \r(3)}之间有什么关系？
知识梳理 (1)全集
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(universe set)，通常记作U.
(2)补集
对于一个集合A，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(cmplementary set)，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，可用Venn图表示．
知识点二 补集的性质
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
A∩∁UA＝________，A∪∁UA＝________.
知识梳理 (1)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅.
(2)∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U.
[自主检测]
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,5}，则∁UM＝( )
A．{2,4,6} B．{1,3,5}
C．{1,2,4} D．U
答案：A
2．设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜0}，则∁UM＝( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2}
C．{x|x＜0，或x＞2} D．{x|x≤0，或x≥2}
答案：A
3．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁UA)∩B＝________.
答案：{c，d}
4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.
答案：2
授课提示：对应学生用书第9页
探究一 补集的运算
[例1] (1)已知U＝R，集合A＝{x|x＜－2，或x＞2}，则∁UA＝( )
A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2，或x＞2}
C．{x|－2≤x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥2}
[解析] 依题意，画出数轴，如图所示：
观察数轴可知，∁UA＝{x|－2≤x≤2}．
[答案] C
(2)已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁UM⊇N，则必有( )
A．M⊆∁UN B．M∁UN
C．∁UM＝∁UN D．M⊆N
[解析] 依据题意画出Venn图，
观察可知，M⊆∁UN.
[答案] A
(3)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B.
[解析] 因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．
求集合补集的两种方法
(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
若集合A＝{x|－1≤x＜1}，当S分别取下列集合时，求∁SA.
(1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}．
解析：(1)把集合S和A表示在数轴上如图所示：
由图知∁SA＝{x|x＜－1，或x≥1}．
(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：
由图易知∁SA＝{x|x＜－1，或1≤x≤2}．
(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示：
由图知∁SA＝{x|－4≤x＜－1，或x＝1}．
探究二 集合交、并、补的综合运算
[例2] (1)(2019·长沙高一检测)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝( )
A．{2,5} B．{3,6}
C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}
[解析] 因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，B＝{1,3,4,6,7}，所以∁UB＝{2,5,8}．
又A＝{2,3,5,6}，
所以A∩(∁UB)＝{2,5}．
[答案] A
(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≤0，或x≥\f(5,2)))，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．
[解析] 将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．
因为A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，
所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}．
∁UB＝{x|x≤－1，或x＞3}，
又P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，或x≥\f(5,2)))))，
所以(∁UB)∪P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，或x≥\f(5,2))))).
又∁UP＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(5,2)))))，
所以(A∩B)∩(∁UP)
＝{x|－1＜x＜2}∩eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜x＜\f(5,2)))))，
＝{x|0＜x＜2}．
解决集合交、并、补综合运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算，解答过程中要注意边界问题．
1．在本例(2)的条件下，求(∁UA)∩(∁UP)．
解析：画出数轴，如图所示：
观察数轴可知，
(∁UA)∩(∁UP)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2≤x＜\f(5,2))))).
2．将本例(2)中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不变，求A∪(∁UB)．
解析：画出数轴，如图所示：
∴A∪(∁UB)＝{x|x＜2，或3＜x≤5}
探究三 根据补集的运算求参数的值或
范围
[例3] 设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，求实数m.
[解析] 因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A，
所以m2－m－1＝5，
解得m＝3或m＝－2.
当m＝3时，|3－2m|＝3≠5，
此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}；
当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，
此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．
综上，可知m＝3.
由集合的补集求参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解；
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素为无限个时，一般利用数轴分析法求解．
设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．
解析：因为A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x＜－m}．
又B＝{x|－2＜x＜4}，(∁UA)∩B＝∅，结合数轴(图略)分析可知－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是m≥2.
授课提示：对应学生用书第10页
一、“柳暗花明，正难则反”——补集思想的应用eq \x(►数学运算、逻辑推理)
“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.
补集的思想作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路．今后我们要有意识地去体会并运用补集思想，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．
[典例] 已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x＜0，x∈R}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
[解析] 当A＝∅时不符合题意，∴A≠∅.
设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}
U＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤－1，或m≥\f(3,2))))).
若A∩B＝∅，则方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m∈U，,x1＋x2＝4m≥0，解得m≥\f(3,2).,x1x2＝2m＋6≥0，))
因为m＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥\f(3,2)))))关于U的补集为∁UM＝{m|m≤－1}，
所以实数m的取值范围为m≤－1.
二、找全集，认子集，求补集——求补集的程序与条件eq \x(►数学运算、逻辑推理)
[典例] 设全集S＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁SA＝{5}，求实数a的值．
[解析] 由题意得a2＋2a－3＝5，
即a2＋2a－8＝0，
∴a＝－4或a＝2，
当a＝2时，|2a－1|＝3∈S，符合题意，
当a＝－4时，|2a－1|＝9∉S，不符合题意，故a＝2.
纠错心得 求一个集合A的子集，首先A是全集的子集，如本题当a＝－4时A＝{9,2}不是S的子集，故求出a值还需检验．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.在具体情境中，了解全集的含义．
数学抽象
数学运算
直观想象
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
3.能使用Venn图表达补集的运算.