2020-2021学年1 指数幂的拓展学案设计

这是一份2020-2021学年1 指数幂的拓展学案设计，共9页。


授课提示：对应学生用书第33页
[教材提炼]
知识点 函数的三种表示方法
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？
知识梳理 解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
这三种方法是常用的函数表示法．
[自主检测]
1．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
答案：C
2．已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝eq \f(1,x) B．y＝－x
C．y＝eq \f(2,x) D．y＝eq \f(x,2)
答案：C
3．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.
答案：1
授课提示：对应学生用书第33页
探究一 列表法表示函数
[例1] (1)某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：
若某人乘坐此公共汽车7站后下车，票价应为________元．
(2)下表表示函数y＝f(x)，则f(x)＞x的整数解的集合是________.
(3)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其函数对应关系如表：
则方程g(f(x))＝x的解集为________．
[解析] (1)观察表格可知，自变量(行进的站数)为7时函数的值为1.5，所以此人乘车的票价应为1.5元．
(2)当0＜x＜5时，f(x)＞x的整数解为{1,2,3}．
当5≤x＜10时，f(x)＞x的整数解为{5}．
当10≤x＜15时，f(x)＞x的整数解为∅.
当15≤x＜20时，f(x)＞x的整数解为∅.
综上所述，f(x)＞x的整数解的集合是{1,2,3,5}．
(3)当x＝1时，f(x)＝2，g(f(x))＝2，不符合题意；
当x＝2时，f(x)＝3，g(f(x))＝1，不符合题意；
当x＝3时，f(x)＝1，g(f(x))＝3，符合题意，
综上，方程g(f(x))＝x的解集为{3}．
[答案] (1)1.5 (2){1,2,3,5} (3){3}
列表法表示函数的相关问题的解法
解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．
1．在本例(3)条件下，求不等式f(g(x))＞g(f(x))的解集．
解析：f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如表所示：
不等式f(g(x))＞g(f(x))的解集为{2}．
2．若例题(3)改为：表格所表示的y是x的函数.
定义域为________，值域为________．
答案：{1,2,3,4} {4,3,2,1}
探究二 函数的图象及应用
[例2] (1)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
[解析] 2016年8月到9月，10月到11月等是逐月下降的，故A错．
[答案] A
(2)已知二次函数y＝－x2＋4x－3.
①指出该函数图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、与坐标轴的交点的坐标，并画出函数图象的草图．
②说明其图象由y＝－x2的图象经过怎样平移得来的．
③当定义域为[0,3]时，结合该二次函数图象求该函数的值域．
[解析] ①y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，图象的开口向下，对称轴方程为x＝2，顶点坐标为(2,1)．令y＝0解得，x＝1或x＝3，所以此函数图象与x轴相交于点(1,0)和(3,0)，令x＝0解得，y＝－3，所以此函数图象与y轴相交于点(0，－3)，
画出此函数的图象，如图所示：
②由y＝－x2的图象向右平移2个单位长度，得函数y＝－(x－2)2的图象，再向上平移1个单位长度，得函数y＝－(x－2)2＋1的图象．
③画出函数y＝－x2＋4x－3，x∈[0,3]的图象，如图所示，观察图象可知该函数的值域为[－3,1]．
作函数图象的基本步骤
利用图象认识函数
左右看范围→函数的定义域
上下看范围→函数的值域
左右看变化→函数值随x的变化情况
1.某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ℃.令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是( )
解析：依题设当t＝12时，C(t)＝10，排除D；由年平均气温为10 ℃知C(t)不会都在10 ℃以下，排除B；依题图知在t∈[0,6]内，Q(t)的图象关于(3,0)中心对称，因此C(6)＝0，排除C，故选A.
答案：A
2．已知函数为y＝x2－2x，x∈[－1,2)，试画出此函数的图象．
解析：y＝x2－2x
＝(x－1)2－1.
当x＝－1时，y＝3；
当x＝0时，y＝0；
当x＝1时，y＝－1；
当x＝2时，y＝0.
如图开口向上的部分抛物线段．
探究三 求函数解析式
[例3] (1)(待定系数法)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)．
[解析] 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b，
∴k2x＋kb＋b＝16x－25.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2＝16，,kb＋b＝－25，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝4，,b＝－5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－4，,b＝\f(25,3).))
∴f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋eq \f(25,3).
(2)换元法(或配凑法)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，求f(x)的解析式．
[解析] 法一(换元法)：令t＝eq \r(x)＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二(配凑法)：f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＝x＋2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)＋1)2－1.
因为eq \r(x)＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)(方程组法)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
[解析] ∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①
∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝eq \f(1,3)x2－2x.
求函数解析式的方法
提醒：换元法要注意新元“t”的取值范围，否则易弄错函数定义域.
1．设函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝x，则f(x)的表达式为( )
A.eq \f(1＋x,1－x) B.eq \f(1＋x,x－1)
C.eq \f(1－x,1＋x) D.eq \f(2x,x＋1)
解析：令t＝eq \f(1－x,1＋x)，解得x＝eq \f(1－t,1＋t)，
代入feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝x，可得f(t)＝eq \f(1－t,1＋t)，
∴f(x)＝eq \f(1－x,1＋x).
答案：C
2．已知f(x)满足2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，则f(x)＝________.
解析：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2fx＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x， ①,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋fx＝\f(3,x)， ②))
∴①×2－②得
3f(x)＝6x－eq \f(3,x)，
∴f(x)＝2x－eq \f(1,x).
答案：2x－eq \f(1,x)
授课提示：对应学生用书第35页
一、一“图”胜万言——函数图象的应用eq \x(►直观想象)
[典例] 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则b的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2，＋∞)
[解析] 法一：由f(x)的图象知点(0,0)，(1,0)，(2,0)在图象上，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝0，,a＋b＋c＝0，,8a＋4b＋2c＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－3a，,c＝2a，,d＝0.))
∴f(x)＝ax3－3ax2＋2ax.
又由图象知f(－1)＜0，
∴－a－3a－2a＜0⇒a＞0，则b＝－3a＜0.
故选A.
法二：由三次函数f(x)的图象过(0,0)，(1,0)，(2,0)点，可设f(x)＝ax(x－1)(x－2)＝ax3－3ax2＋2ax.
又∵f(3)＞0，得6a＞0⇒a＞0，
∴b＝－3a＜0.故选A.
[答案] A
二、忽视新元的范围
[典例] 已知f(x2＋1)＝x2＋eq \f(1,x2＋1)，求f(x)的解析式．
[解析] 设t＝x2＋1，
∴t≥1，
∴x2＝t－1，
∴f(t)＝t－1＋eq \f(1,t)，
∴f(x)＝x＋eq \f(1,x)－1(x≥1)．
纠错心得 此题用换元法或配凑法求出f(x)后，易丢定义域的证明(x≥1)．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．
直观想象、逻辑推理
数学抽象
2.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
行进的站数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
票价(元)
0.5
0.5
0.5
1
1
1
1.5
1.5
1.5
x
0＜x＜5
5≤x＜10
10≤x＜15
15≤x＜20
y＝f(x)
4
6
8
10
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
x
1
2
3
f(g(x))
1
3
2
g(f(x))
2
1
3
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1