北师大版必修53.2等比数列的前n项和第1课时教学设计

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1．等比数列的前n项和公式
阅读教材P26～P27例5以上部分，完成下列问题．
思考：(1)等比数列的前n项和公式中涉及哪些量？
[提示] Sn，a1，q，n，an，共五个量．
(2)当等比数列的公比q≠1时，其前n项和公式可化为Sn＝－Aqn＋A的形式，其中的A是什么？
[提示] A＝eq \f(a1,1－q).
2．等比数列前n项和公式的推导
该等比数列{an}的前n项和为Sn.公比为q，
则Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①，
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②，
①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.
当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)(q≠1)．
又因为an＝a1qn－1，所以上式还可以写成
Sn＝eq \f(a1－anq,1－q).
当q＝1时，Sn＝na1.
1．等比数列{an}中，an＝2n，则它的前n项和Sn＝( )
A．2n－1 B．2n－2
C．2n＋1－1D．2n＋1－2
D [等比数列{an}的首项为2，公比为2.
所以Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2，故选D．]
2．等比数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn为( )
A．eq \f(1－xn,1－x) B．eq \f(1－xn－1,1－x)
C．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1－xn,1－x)x≠1,nx＝1))D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1－xn－1,1－x)x≠1,nx＝1))
C [当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n.
当x≠1时，q＝x，Sn＝eq \f(a11－xn,1－x)＝eq \f(1－xn,1－x).]
3．等比数列{an}的前n项和Sn＝k·3n＋1，则k的值为( )
A．全体实数B．－1
C．1D．3
B [当n＝1时，a1＝S1＝3k＋1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
k·3n－k·3n－1＝2k·3n－1.令3k＋1＝2k得k＝－1.]
4．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝eq \f(1,8)，则该数列的前10项和为________．
2－eq \f(1,29) [设其公比为q，因为a1＝1，a4＝a1q3＝eq \f(1,8).
所以q＝eq \f(1,2).所以S10＝eq \f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,210))),1－\f(1,2))＝2－eq \f(1,29).]
【例1】 (1)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝eq \f(7,4)，S6＝eq \f(63,4)，则a8＝________.
(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
(3)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
(1)32 (2)2n－1 (3)6 [(1)设{an}的首项为a1，公比为q，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,4)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,4),q＝2))，所以a8＝eq \f(1,4)×27＝25＝32.
(2)因为数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2·a3＝a1·a4＝8，解得a1＝1，a4＝8，所以q3＝8，q＝2，所以Sn＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1.
(3)∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
又∵Sn＝126，∴eq \f(21－2n,1－2)＝126，∴n＝6.]
等比数列前n项和的运算技巧
(1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
(2)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解．
[提醒] 等比数列的公比q一定不为0.
1．在等比数列中．
(1)若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7；
(2)若a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，求a1和公比q.
[解] (1)因为{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16，q＞0，
∴a5＝a1q4＝16，
∴q＝2(负值舍去)，
∴S7＝eq \f(a11－q7,1－q)＝eq \f(1－27,1－2)＝127.
(2)①当q≠1时，S3＝eq \f(a11－q3,1－q)＝eq \f(9,2)，
又a3＝a1q2＝eq \f(3,2)，∴a1(1＋q＋q2)＝eq \f(9,2)，
即eq \f(\f(3,2),q2)(1＋q＋q2)＝eq \f(9,2)，
解得q＝－eq \f(1,2)(q＝1舍去)，
∴a1＝6.
②当q＝1时，S3＝3a1，
∴a1＝eq \f(3,2).
综上得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝6，,q＝－\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(3,2)，,q＝1.))
【例2】 某商场2018年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从2018年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(lg 1.6≈0.2，lg 1.1≈0.04)?
[解] 根据题意，每年比上一年销售量增加10%，所以，从2018年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5 000，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 000，
由等比数列前n项和公式得
eq \f(5 0001－1.1n,1－1.1)＝30 000，
整理，得1.1n＝1.6，
两边取对数，得nlg 1.1＝1g 1.6，
所以n＝eq \f(lg 1.6,lg 1.1)≈eq \f(0.2,0.04)＝5(年)．
故大约5年可使总销售量达到30 000台．
解答数列应用题的步骤
对于一个实际问题，首先要弄清题目中所含的数量关系，考察是否可通过建立数列模型来解决，是否可以转化为等比数列的问题，基本思路清晰后再着手解题．要注意：
(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型．
(2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释．
(3)实际问题解答完成后一定要有结论．
2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
B [每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得eq \f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3，选择B．]
[探究问题]
1．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．类比这种性质，若{an}是等比数列，前n项和为Sn(Sn≠0)，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是否成等比数列？若是等比数列，公比是什么？
[提示] 设等比数列{an}的公比为q，则
Sm＝a1＋a2＋…＋am，
S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝qm(a1＋a2＋…＋am)＝qmSm，
S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝qm(am＋1＋am＋2＋…＋a2m)＝qm(S2m－Sm)，
…
所以数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，公比为qm.
2．把等比数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)(q≠1)化为Sn＝－eq \f(a1,1－q)qn＋eq \f(a1,1－q)，观察qn的系数和常数项有何关系？若一个数列{an}的前n项和满足上述关系，那么数列{an}是等比数列吗？
[提示] qn的系数和常数项互为相反数，若一个数列{an}的前n项和满足上述关系，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0且q≠1)，则数列{an}是等比数列．
【例3】 (1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝( )
A．80 B．30
C．26D．16
(2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________，项数为________．
(3)若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
思路探究：(1)应用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列求解；
(2)根据所给等式列方程组求解；
(3)利用a1，a2，a3是等比数列求解．
(1)B (2)2 8 (3)－eq \f(1,3) [(1)由题意知：
Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，设公比为q，则S3n＝Sn＋(S2n－Sn)＋(S3n－S2n)
＝2×(1＋q＋q2)＝14，
解得q＝2，所以S4n－S3n＝2q3＝2×8＝16，
S4n＝S3n＋(S4n－S3n)＝14＋16＝30.
(2)设数列为{an}，其公比为q，项数为2n，则奇数项，偶数项分别组成以q2为公比的等比数列，又a1＝1，a2＝q，q≠1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1－q2n,1－q2)＝85， ①,\f(q1－q2n,1－q2)＝170， ②))
由②÷①，得q＝2，所以eq \f(1－4n,1－4)＝85,4n＝256，
故得n＝4，故项数为8.
(3)由题目条件Sn＝3n－1＋t得a1＝S1＝1＋t，
a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6，
因为{an}是等比数列，故aeq \\al(2,2)＝a1a3，即4＝6(1＋t)，解得t＝－eq \f(1,3)，经验证，当t＝－eq \f(1,3)时，{an}是等比数列．]
1．(变条件)在例3(1)题中，若把条件换为“Sn＝2，S2n＝6”，求S4n.
[解] 设数列{an}的公比为q，首项为a1，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，成等比数列，Sn＝2，S2n－Sn＝4，故qn＝2.
所以Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝2，故得－eq \f(a1,1－q)＝2，
即eq \f(a1,1－q)＝－2.
S4n＝eq \f(a11－q4n,1－q)＝eq \f(a1[1－qn4],1－q)＝－2×(1－16)＝30.
2．(变结论)例3(1)题的条件不变，求Sn2.
[解] 设数列{an}的公比为q，首项为a1，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，成等比数列，则S3n＝Sn＋(S2n－Sn)＋(S3n－S2n)＝2×(1＋qn＋q2n)＝14，解得qn＝2，由Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝2，得eq \f(a1,1－q)＝－2，
所以Sn2＝eq \f(a11－qn2,1－q)＝eq \f(a1,1－q)[1－(qn)n]＝－2(1－2n)＝2n＋1－2.
等比数列前n项和性质的应用技巧：
(1)在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．若项数为2n，则eq \f(S偶,S奇)＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝
q(S偶≠0)．
(2)等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)．
(3)等比数列{an}的公比为q，则Sn＋m＝Sn＋qnSm.
(4)若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0且q≠1)，则数列{an}是等比数列．
1．等比数列的前n项和公式共涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，其中a1和q为基本量，且五个量“知三可求二”；在解决等比数列问题中，要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题，养成良好的思维习惯．
2．在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列的性质．
3．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求数列a，a2，a3，…，an的和时可应用公式Sn＝eq \f(a11－qn,1－q).( )
(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋a，则a＝1.( )
(3)当等比数列{an}的公比q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是函数y＝－Aqx＋A图像上一群孤立的点．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)不正确，当a＝0或a＝1时不能应用公式Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)；(2)不正确，a＝－1；(3)正确．
2．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝( )
A．4 B．－4
C．2D．－2
A [由已知得S5＝eq \f(a1[1－－25],1－－2)＝11a1＝44，所以a1＝4.]
3．等比数列{an}中，前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________.
210 [由等比数列性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，又S5＝10，S10－S5＝40，所以S15－S10＝160，
所以S15＝S5＋(S10－S5)＋(S15－S10)＝210.]
4．设等比数列{an}前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an，Sn.
[解] 由已知a2＝a1q＝6,6a1＋a3＝a1(6＋q2)＝30，解得
a1＝3，q＝2或a1＝2，q＝3.
所以当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，
Sn＝eq \f(31－2n,1－2)＝3×2n－3；
所以当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，
Sn＝eq \f(21－3n,1－3)＝3n－1.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点、易混点)
2．会用错位相减法求数列的和．(重点、难点)
3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(重点)
1.通过等比数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理的数学素养．
2．通过学习等比数列前n项和公式有关的题型，提升数学运算素养.
等比数列前n项和
公比
已知量
适用公式
q＝1
首项
Sn＝na1
q≠1
首项，公比，项数
Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)
首项，公比，末项
Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)
等比数列前n项和的基本计算
等比数列前n项和的
实际应用
等比数列前n项和的性质