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初中数学人教版七年级上册4.1 几何图形综合与测试导学案
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这是一份初中数学人教版七年级上册4.1 几何图形综合与测试导学案，文件包含41几何图形讲义学生版docx、41几何图形讲义教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共52页， 欢迎下载使用。
4.1几何图形
学习要求：
1、观察认识生活中的简单立体图形和平面图形．通过学习立体图形的三视图和它的展开图，了解如何把立体图形转化为平面图形来研究和处理，体会立体图形与平面图形的关系．
2、知道点是几何学中最基本的概念．点动成线，线动成面，面动成体．
知识点一： 几何图形
例题．下列图形中，不属于立体图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】立体图形是指图形的各个面不都在一个平面上，由此可判断出答案．
【解答】解：由题意得：只有A选项符合题意．
故选A．
【点评】本题考查立体图形的定义，属于基础题，注意掌握几种常见的立体图形．
变式1．下列图形中，属于立体图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平面图形所表示的各个部分都在同一平面内，立体图形是各部分不在同一平面内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形，可得答案．
【解答】解：A、角是平面图形，故A错误；
B、圆是平面图形，故B错误；
C、圆锥是立体图形，故C正确；
D、三角形是平面图形，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了认识立体图形，立体图形是各部分不在同一平面内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形．
变式2．下列各图是立体图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据立体图形的定义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
三棱锥是立体图形，
故选：D．
【点评】本题考查了立体图形，每个面不在同一个平面内是解题关键．
例题2．下列图形属于棱柱的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据棱柱的定义，可得答案．
【解答】解：正方体、长方体、三棱柱是棱柱，
故选：B．
【点评】本题考查了认识立体图形，熟记棱柱的特征是解题关键．
变式1．将下列几何体与它的名称连接起来．
【分析】根据常见立体图形的特征直接连线即可．注意正确区分各个几何体的特征．
【解答】解：如图所示：
【点评】考查了认识立体图形，熟记常见立体图形的特征是解决此类问题的关键．此题属于简单题型．
变式2．如图所示，请将下列几何体分类．
【分析】分类的标准可以不一样，①根据立体图形的种类分类，②根据立体图形所包含的平面类型分类．
【解答】解：方法一：（1）、（3）、（5）是一类，都是柱体；（2）是锥体；（4）是球体．
方法二：（1）、（3）是一类，全是由平面构成的；（2）、（5）是一类，既有平面，又有曲面；（4）是一类，只有曲面．
【点评】此题考查了认识立体图形的知识，在分类的时候可以选择一个标准，答案不唯一．
变式3．如图所示为8个立体图形．
其中，是柱体的序号为 ①②⑤⑦⑧ ；是锥体的序号为 ④⑥ ；是球的序号为 ③ ．
【分析】分别根据柱体、锥体、球体的定义得出即可．
【解答】解：是柱体的序号为①②⑤⑦⑧；是锥体的序号为④⑥；是球的序号为③．
故答案为：①②⑤⑦⑧，④⑥，③．
【点评】此题主要考查了认识立体图形，正确区分它们的定义是解题关键．
知识点二： 立体图形转化为平面图形
例题1．如图所示正三棱柱的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．注意本题不要误选C．
变式1．一个空心的圆柱如图所示，则它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是三个矩形，中间矩形两边是虚线，
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
变式2．如图所示的几何体三视图的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从正面看得到的是中间有一条竖线的长方形，依此即可求解．
【解答】解：如图所示的几何体三视图的主视图是．
故选：A．
【点评】此题考查画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．需特别注意实际存在，从某个方向看没有被其他棱挡住，又看不到的棱用虚线表示．
例题2．下面几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找出从几何体的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：主视图有3列，从左往右小正方形的个数为2，1，1
故选：D．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
变式1．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
变式2．如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图的定义即可判断．
【解答】解：如图所示的几何体的俯视图是D．
故选D．
【点评】本题考查几何体的三视图，理解三视图的定义是正确解答的关键．
例题3．下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】正方体的展开图有“1+4+1”型，“2+3+1”型、“3+3”型三种类型，其中“1”可以左右移动．注意“一”、“7”、“田”、“凹”字型的都不是正方体的展开图．
【解答】解：A、属于“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
B、属于“7”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
C、属于“1+4+1”字型，是正方体的展开图，故选项正确；
D、属于“凹”字型，不是正方体的展开图，故选项错误．
故选：C．
【点评】考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
变式1．下列图形中，不是正方体平面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，C选项可以拼成一个正方体，
而D选项，下底面不可能有两个，故不是正方体的展开图．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
变式2．2017年某市获“全国文明城市”提名，为此小王特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，正方体中与“全”字对面的字是（ ）
A．文B．明C．城D．市
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：相对的面的中间要相隔一个面，正方体中与“全”字对面的字是明．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是正方体相对两个面上的文字，掌握正方体相对面的特点是解题的关键．
例题4．指出下列平面图形各是什么几何体的展开图．
【分析】根据几何体的平面展开图的特征可知：（1）是圆柱的展开图；（2）是圆锥的展开图；（3）是三棱柱的展开图；（4）是三棱锥的展开图；（5）是长方体的展开图．
【解答】解：（1）圆柱；
（2）圆锥；
（3）三棱柱；
（4）三棱锥；
（5）长方体．
【点评】本题主要考查几何体展开图的知识点，熟记常见几何体的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
变式．图中，
（1）请直接写出图1和图2几何体的名称，
（2）图3和图4是某些几何体的平面展开图，请判断后在横线上写出相应的几何体的名称．
【分析】（1）利用立体图形的特征求解即可，
（2）利用立体图形的展开图特征求解即可．
【解答】解：（1）由立体图形的特征可得图 1和图2分别为正方体，长方体，
（2）由立体图形的展开图特征可得图 3和图4相应的几何体分别为正四棱锥，三棱柱，
【点评】本题主要考查了几何体的展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
知识点三： 点、线、面、体
例题1．如图所示，能读出的线段条数共有（ ）
A．8条B．10条C．6条D．12条
【分析】先根据图形数出所有线段，即可得出选项．
【解答】解：线段有：线段AD、线段AB、线段CD、线段BC、线段AE、线段AC、线段CE、线段DE、线段BE、线段BD，共10条，
故选B．
【点评】本题考查了线段，能找出符合的所有线段是解此题的关键．
变式1．如图，A，B，C，D，E，P，Q，R，S，T是构成五角星的五条线段的交点，则图中共有线段 30 条．
【分析】分别求出构成五角星的每条线段上有几条线段，在将其乘以5即可．
【解答】解：线段AC，BE，CE，BD，AD上各有另两个点，每条上有6条线段；所以共有6×5=30条线段．
【点评】把这个五星分成五条线段，每条上有另两个点来求解．
变式2．如图，图中有 1 条直线，有 9 条射线，有 12 条线段，以E为顶点的角有 4 个．
【分析】直线：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线），无端点．
射线：直线上的一点，可向一方无限延伸，有一个端点．
线段：直线的一部分，有限长，有2个端点
再根据角的定义数出角的个数即可求解．
【解答】解：如图，图中有直线AC，共1条直线，
有A为端点的2条射线，B为端点的1条射线，C为端点的2条射线，E为端点的3条射线，F为端点的1条射线共2+1+2+3+1=9条射线，
有线段AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，DF，EF，共12条线段，
以E为顶点的角有∠AEB，∠AEF，∠BEC，∠CEF，共4个．
故答案为：1，9，12，4．
【点评】本题主要考查直线、线段、射线的知识点，还考查角的概念的知识点，不是很难，不过做题要仔细．
例题2．如图所示的图形绕着虚线旋转一周形成的几何体是由下边的（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，一个长方形沿虚线旋转一周，所围成的几何体是圆柱．
【解答】解：结合图形特征可知，所围成的几何体是圆柱．
故选A．
【点评】本题考查的是图形的旋转，考法较新颖，解题关键是正确理解常见图形的旋转情况．
变式1．如图所示的平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．棱柱
【分析】根据面动成体，所得图形是一个圆锥体．
【解答】解：直角三角形绕其一条直角边旋转一周所得图形是一个圆锥体．
故选：A．
【点评】本题考查了点、线、面、体，熟悉常见图形的旋转得到立体图形是解题的关键．
变式2．如图所示的几何体是由右边哪个图形绕虚线旋转一周得到（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据面动成体对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、转动后是圆柱，故本选项错误；
B、转动后内凹，故本选项错误；
C、沿虚线旋转一周可得到题目给的几何体，故本选项正确；
D、转动后是球体，故本选项错误．
故选：C
【点评】本题考查了点、线、面、体，准确识图观察出得到的几何体的曲面的形状是解题的关键．
变式3．圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么下列四个选项绕直线旋转一周可以得到如图立体图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图本题是一个平面图形围绕一条边为中心对称轴旋转一周根据面动成体的原理即可解．
【解答】解：由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周可得到圆柱体，如图立体图形是两个圆柱的组合体，
则需要两个一边对齐的长方形，绕对齐边所在直线旋转一周即可得到，
故选：A．
【点评】本题考查面动成体，需注意可把较复杂的体分解来进行分析．
拓展点一： 几何图形的识别
例题．将下列几何体分类，并说明理由．
【分析】根据立体图形的分类：柱体，椎体，球体，可得答案．
【解答】解：柱体：（1）正方体，（2）长方体，（4）圆柱体，（6）四棱柱，（7）三棱柱；
椎体：（5）圆锥；
球体：（3）球．
【点评】本题考查了认识立体图形，立体图形分为三大类：柱体，椎体，球体．
变式．观察图中所示的八个几何体．
（1）依次写出这八个几何体的名称：① 圆柱 ；② 圆锥 ；③ 长方体 ；④ 正方体 ⑤ 四棱柱 ；⑥ 五棱柱 ；⑦ 球体 ；⑧ 三棱柱 ．
（2）若几何体按是否包含曲面分类：不含曲面的有 ③④⑤⑥⑧ ；含曲面的有 ①②⑦ （填序号即可）；
（3）分别写出几何体⑥和⑧的两个相同点和两个不同点．
【分析】（1）根据几何体的特点回答即可；
（2）根据平面和曲面的区别回答即可；
（3）可从而几何体的面、棱、顶点等方面回答．
【解答】解：（1）①圆柱；②圆锥；③长方体；④正方体；⑤四棱柱、⑥五棱柱、⑦球体；⑧三棱柱；
故答案为：圆柱；圆锥；长方体；正方体；四棱柱、五棱柱、球体；三棱柱．
（2）不含曲面的有：③④⑤⑥⑧；含曲面的有：①②⑦；
故答案为：③④⑤⑥⑧；①②⑦．
（3）相同点：①每个侧面都是一个平行四边形；②每个图形的上下两个底面完全相同；
不同点：①两个图形的面数不同；②底面的边数不同．
【点评】本题主要考查的是认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键．
拓展点二： 几何图形的分类
例题．将下列几何体分类，并说明理由．
【分析】可以按平面和曲面进行分类，也可以按柱体、锥体和球进行分类，方法不同，答案不同，只要合理即可．
【解答】解：答案不唯一，如
（1）按平面分：正方体，长方体，三棱锥；
（2）按曲面分：圆柱，圆锥，球．
理由是：正方体的面是六个正方形组成，长方体的面是六个长方形组成，三棱锥的面是四个三角形组成，都是平面图形；而圆柱和圆锥的侧面都是曲面，球的整个面是曲面．
【点评】几何体的分类，从面的角度可以分为平面和曲面两种，注意结合实际几何体的特征进行分类．
变式．指出图中几何体的名称．根据你的观察．简要表述它们的特征．
【分析】根据图形的特点回答即可．
【解答】解：（1）该图图形的名称是圆柱，由两个底面和一个侧面构成，底面均为平面，侧面是一个曲面；
（2）该图形是圆锥，由一个曲面和一个底面构成
（3）该图形是正方体，由6个平面和12条棱构成，每个面都是一个正方形；
（4）该图形是长方体，由6个平面和12条棱构成，每个面都是一个长方形；
（5）该图形是一个六棱柱，由8个平面和18条棱构成，每个侧面都是一个长方形，每个底面是一个六边形；
（6）该图形是一个球体，由1个面构成，是一个曲面；
（7）该图形是一个四棱锥，由5个面构成，每个侧面都是一个三角形，底面是一个四边形．
【点评】本题主要考查的是认识立体图形，掌握常见立体图形的特点是解题的关键．
拓展点三： 从不同方向看
例题．如图所示，是一个空心圆柱，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】俯视图是分别从物体的上面看，所得到的图形．
【解答】解：它的俯视图为：
故选B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
变式1．从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用左视图的观察角度，进而得出视图．
【解答】解：如图所示：∵从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，
∴该几何体的左视图为：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
变式2．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可．
【解答】解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
变式3．如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，圆锥看见的是：圆和点，两个正方体看见的是两个正方形．
故答案为：C．
【点评】此题主要考查了三视图的知识，关键是掌握三视图的几种看法．
拓展点四： 立体图形的展开与折叠
例题1．如图1所示，将一个正四棱锥（底面为正方形，四条测棱相等）的其中四条边剪开，得到图2，则被剪开的四条边有可能是（ ）
A．PA，PB，AD，BCB．PD，DC，BC，ABC．PA，AD，PC，BCD．PA，PB，PC，AD
【分析】根据图2中正方形左边的三角形可知需剪开PA、PB，根据正方形右边三个三角形脱离正方形的上下两边可知需剪开AD、BC，可得答案．
【解答】解：根据图2中的展开图可知，底面正方形ABCD的左边一个三角形是独立的，
据此可知，需剪开图1中的PA、PB，
根据正方形右边三个三角形脱离正方形的上下两边可知，
需剪开AD、BC，
综上，被剪开的四条边可能是：PA、PB、AD、BC，
故选：A．
【点评】本题主要考查几何体的展开图，空间的想象力是基础，根据展开图逐步分解图形是解题的关键．
例题2．下列不是三棱柱展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．
【解答】解：∵三棱柱展开图有3个四边形，2个三角形，
∴C选项不是三棱柱展开图，
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
变式1．下列四个图形中是三棱柱的表面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：A、是三棱柱的平面展开图；
B、围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故不能围成三棱柱，故此选项错误；
C、围成三棱柱时，缺少一个底面，故不能围成三棱柱，故此选项错误；
D、围成三棱柱时，没有底面，故不能围成三棱柱，故此选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查棱柱和棱锥的结构特征，棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧．
变式2．下列四个图形中，是三棱锥的表面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三棱锥的四个面都是三角形，还要能围成一个立体图形，进而分析得出即可．
【解答】解：A、能组成三棱锥，是；
B、不组成三棱锥，故不是；
C、组成的是三棱柱，故不是；
D、组成的是四棱锥，故不是；
故选A．
【点评】本题主要考查了三棱锥的表面展开图和空间想象能力，注意几何体的形状特点进而分析才行．
变式3．如图，将长方体表面展开，下列选项中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】长方体的表面展开图的特点，有四个长方形的侧面和上下两个底面组成．
【解答】解：A、是长方体平面展开图，不符合题意；
B、是长方体平面展开图，不符合题意；
C、有两个面重合，不是长方体平面展开图，不符合题意；
D、是长方体平面展开图，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是长方体的展开图，关键是要注意上下底面的长和宽是否可以围成长方体．
拓展点五： 立体图形的探究问题
例题1．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 V+F﹣E=2 ．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 20 ．
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【分析】（1）观察可得顶点数+面数﹣棱数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．
【解答】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E=2；
（2）由题意得：F﹣8+F﹣30=2，解得F=20；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+F﹣36=2，解得F=14，
∴x+y=14．
故答案为：6，6；E=V+F﹣2；20；14．
【点评】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
变式．如图所示，若将类似于a、b、c、d四个图的图形称做平面图，则其顶点数、边数与区域数之间存在某种关系．观察图b和表中对应的数值，探究计数的方法并作答．
（1）数一数每个图中各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域并填表：
（2）根据表中数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系；
（3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）中得出的关系可知这个平面图有 30 条边．
【分析】（1）按照自己熟悉的规律去数顶点数，边数以及区域数；
（2）4+3﹣6=1，7+3﹣9=1，8+5﹣12=1，10+6﹣15=1，所以可得到一般规律：顶点数+区域数一边数=1；
（3）边数=顶点数+区域数﹣1．
【解答】解：（1）
（2）观察表中数据可得；4+3﹣6=1，7+3﹣9=1，8+5﹣12=1，10+6﹣15=1
∴S+N﹣M=1；（或顶点数+区域数一边数=1）
（3）由（2）得：边数=顶点数+区域数﹣1=20+11﹣1=30．
【点评】本题考查学生的观察能力，分析以及合理推理能力．注意应按平面图来进行解答．
例题2．如图，是按规律摆放在墙角的一些小正方体，从上往下分别记为第一层，第二层，第三层…第n层…
（1）第三层有 6 个小正方体．
（2）从第四层至第六层（含第四层和第六层）共有 46 个小正方体．
（3）第n层有 个小正方体．
（4）若每个小正方体边长为a分米，共摆放了n层，则要将摆放的小正方体能看到的表面部分涂上防锈漆，则防锈漆的总面积为 a2n（n+1） 分米2．
【分析】（1）第1个图有1层，共1个小正方体，第2个图有2层，第2层正方体的个数为1+2，以此类推第三层即可；
（2）第4至6层求出每层个数相加即可；
（3）根据相应规律可得第n层正方体的个数为1+2+3+…+n=；
（4）共摆放n层，根据靠墙小正方形的面的个数和与地面接触小正方形的面的个数，求出总面数再乘每一个小正方形的面积即可．
【解答】解：（1）第1层，共1个小正方体，
第2层正方体的个数为1+2=3，
第3层正方体的个数为：1+2+3=6．
故答案为：6．
（2）第4层正方体的个数为：10，
第5层正方体的个数为：15，
第6层正方体的个数为：21，
所以从第四层至第六层（含第四层和第六层）共有：10+15+21=46．
故答案为：46．
（3）根据（1）相应规律，可得第n层正方体的个数为1+2+3+…+n=；
（4）共摆放n层，则靠墙小正方形的面的个数：2×（1+2+3+…+n）=n（n+1），
地面接触小正方形的面的个数：1+2+3+…+n=，
所以靠墙及地面的部分涂上防锈漆的面积为：[n（n+1）+]×a2=a2n（n+1）分米2．
故答案为：（1）6；（2）41；（3）；（4）a2n（n+1）．
【点评】此题考查图形规律性的变化，得到第n层正方体的个数的规律是解决本题的关键．
变式．将一个正方体的表面全涂上颜色．
（1）如果把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，设其中3面被涂上颜色的有a个，则a= 8 ；
（2）如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体．设这些小正方体中有3个面涂有颜色的有a个，各个面都没有涂色的有b个，则a+b= 9 ；
（3）如果把正方体的棱4等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到64个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b= 32 ；
（4）如果把正方体的棱n等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到 n3 个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b= 12（n﹣2）+（n﹣2）3 ．
【分析】根据正方体的性质可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，涂色位于表面中心的一面涂色，处于正中心的没涂色．依此可得到（1）棱二等分时的所得小正方体表面涂色情况；（2）棱三等分时的所得小正方体表面涂色情况；（3）棱四等分时的所得小正方体表面涂色情况．（4）根据已知图形中没有涂色的小正方形个数得出变化规律进而得出答案．
【解答】解：（1）三面被涂色的有8个，故a=8；
（2）三面被涂色的有8个，各面都没有涂色的1个，a+b=8+1=9；
（3）两面被涂成红色有24个，各面都没有涂色的8个，b+c=24+8=32；
（4）由以上可发现规律：能够得到n3个小正方体，两面涂色c=12（n﹣2）个，各面均不涂色（n﹣2）3个，b+c=12（n﹣2）+（n﹣2）3．
故答案为：8，9，32，n3，12（n﹣2）+（n﹣2）3．
【点评】本题主要考查了正方体的组合与分割．要熟悉正方体的性质，在分割时有必要可动手操作．
易错点一： 所见“就”要“所现”
例题1．如图为某几何体的示意图，请画出该几何体的三视图．
【分析】根据三视图的观察角度不同分别得出符合题意的视图即可．
【解答】解：三视图如下：
【点评】本题考查了画三视图的知识，用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别为从正面，左面，上面看得到的图形．
变式．画出如图所示物体的主视图、左视图、俯视图．
【分析】根据主视图为一个中间有一条横线的长方形；左视图为一个五边形；俯视图为一个中间有一条横线的长方形；画图即可．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图为主视图，左视图，俯视图，分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．注意实际存在，没有被其他棱挡住，从某个方向看又看不到的棱应用虚线表示．
例题2．如图所示为一几何体的三视图：
（1）写出这个几何体的名称；
（2）任意画出这个几何体的一种表面展开图；
（3）若长方形的高为10cm，正三角形的边长为4cm，求这个几何体的侧面积．
【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为三棱柱；
（2）应该会出现三个长方形，两个三角形；
（3）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．
【解答】解：（1）这个几何体是正三棱柱；
（2）表面展开图如下：
；
（3）侧面积：3×10×4=120cm2．
【点评】此题考查从三视图判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键．
变式．某个几何体的三视图如图所示，根据图中有关数据，求这个几何体的各个侧面积之和．
【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后根据尺寸和侧面积计算方法求得答案即可．
【解答】解：由三视图可知，这个几何体是三棱柱；
∵底面是直角三角形，一直角边长是4，斜边长是6，
∴另一直角边长是=2，
∴三棱柱的侧面积之和为：（4+6+2）×10=100+20．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图判断该几何体为三棱柱，三棱柱的三个侧面均为矩形．
例题3．（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体如图1，请在图2的方格中画出该几何体的俯视图和左视图．
（2）用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在图2方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要 5 个小立方块，最多要 7 个小立方块．
【分析】（1）从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1，依此画出图形即可；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1，依此画出图形即可；
（2）由俯视图易得最底层小立方块的个数，由左视图找到其余层数里最少个数和最多个数相加即可．
【解答】解：（1）
（2）解：由俯视图易得最底层有4个小立方块，第二层最少有1个小立方块，所以最少有5个小立方块；
第二层最多有3个小立方块，所以最多有7个小立方块．
【点评】用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由主视图得到其余层数里最少的立方块个数和最多的立方块个数．
变式．如图是用10块完全相同的小正方体搭成的几何体．
（1）请在空白的方格中画出它的三个视图；
（2）若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭 3 块小正方体．
【分析】（1）根据物体形状即可画出左视图有三列与以及主视图、俯视图都有三列，进而画出图形；
（2）可在最左侧前端放两个后面再放一个即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
；
（2）保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭3块小正方体．
故答案为：3．
【点评】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
易错点二： 注意展开图中相邻面与相对面
例题．如图是一个正方形纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据展开图即可判断．
【解答】解：根据展开图可知：两个○不可能相邻，故B、C错误；
相邻的两个面必定有一个○或•，故A错误；
故选（D）
【点评】本题考查几何体展开图，考查学生空间想象能力．
变式1．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．注意带图案的三个面相交于一点．
【解答】解：由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C．
故选C．
【点评】考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．
变式2．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是（ ）
A．遇B．见C．未D．来
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“遇”与“的”是相对面，
“见”与“未”是相对面，
“你”与“来”是相对面．
故选D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
图
a
b
c
d
顶点数（S）
7
边数（M）
9
区域数（N）
3
图
a
b
c
d
顶点数（S）
4
7
8
10
边数（M）
6
9
12
15
区域数（N）
3
3
5
6
4.1几何图形
学习要求：
1、观察认识生活中的简单立体图形和平面图形．通过学习立体图形的三视图和它的展开图，了解如何把立体图形转化为平面图形来研究和处理，体会立体图形与平面图形的关系．
2、知道点是几何学中最基本的概念．点动成线，线动成面，面动成体．
知识点一： 几何图形
例题．下列图形中，不属于立体图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】立体图形是指图形的各个面不都在一个平面上，由此可判断出答案．
【解答】解：由题意得：只有A选项符合题意．
故选A．
【点评】本题考查立体图形的定义，属于基础题，注意掌握几种常见的立体图形．
变式1．下列图形中，属于立体图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平面图形所表示的各个部分都在同一平面内，立体图形是各部分不在同一平面内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形，可得答案．
【解答】解：A、角是平面图形，故A错误；
B、圆是平面图形，故B错误；
C、圆锥是立体图形，故C正确；
D、三角形是平面图形，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了认识立体图形，立体图形是各部分不在同一平面内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形．
变式2．下列各图是立体图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据立体图形的定义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
三棱锥是立体图形，
故选：D．
【点评】本题考查了立体图形，每个面不在同一个平面内是解题关键．
例题2．下列图形属于棱柱的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据棱柱的定义，可得答案．
【解答】解：正方体、长方体、三棱柱是棱柱，
故选：B．
【点评】本题考查了认识立体图形，熟记棱柱的特征是解题关键．
变式1．将下列几何体与它的名称连接起来．
【分析】根据常见立体图形的特征直接连线即可．注意正确区分各个几何体的特征．
【解答】解：如图所示：
【点评】考查了认识立体图形，熟记常见立体图形的特征是解决此类问题的关键．此题属于简单题型．
变式2．如图所示，请将下列几何体分类．
【分析】分类的标准可以不一样，①根据立体图形的种类分类，②根据立体图形所包含的平面类型分类．
【解答】解：方法一：（1）、（3）、（5）是一类，都是柱体；（2）是锥体；（4）是球体．
方法二：（1）、（3）是一类，全是由平面构成的；（2）、（5）是一类，既有平面，又有曲面；（4）是一类，只有曲面．
【点评】此题考查了认识立体图形的知识，在分类的时候可以选择一个标准，答案不唯一．
变式3．如图所示为8个立体图形．
其中，是柱体的序号为 ①②⑤⑦⑧ ；是锥体的序号为 ④⑥ ；是球的序号为 ③ ．
【分析】分别根据柱体、锥体、球体的定义得出即可．
【解答】解：是柱体的序号为①②⑤⑦⑧；是锥体的序号为④⑥；是球的序号为③．
故答案为：①②⑤⑦⑧，④⑥，③．
【点评】此题主要考查了认识立体图形，正确区分它们的定义是解题关键．
知识点二： 立体图形转化为平面图形
例题1．如图所示正三棱柱的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．注意本题不要误选C．
变式1．一个空心的圆柱如图所示，则它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看是三个矩形，中间矩形两边是虚线，
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
变式2．如图所示的几何体三视图的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从正面看得到的是中间有一条竖线的长方形，依此即可求解．
【解答】解：如图所示的几何体三视图的主视图是．
故选：A．
【点评】此题考查画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．需特别注意实际存在，从某个方向看没有被其他棱挡住，又看不到的棱用虚线表示．
例题2．下面几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找出从几何体的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：主视图有3列，从左往右小正方形的个数为2，1，1
故选：D．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
变式1．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选B．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
变式2．如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图的定义即可判断．
【解答】解：如图所示的几何体的俯视图是D．
故选D．
【点评】本题考查几何体的三视图，理解三视图的定义是正确解答的关键．
例题3．下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】正方体的展开图有“1+4+1”型，“2+3+1”型、“3+3”型三种类型，其中“1”可以左右移动．注意“一”、“7”、“田”、“凹”字型的都不是正方体的展开图．
【解答】解：A、属于“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
B、属于“7”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
C、属于“1+4+1”字型，是正方体的展开图，故选项正确；
D、属于“凹”字型，不是正方体的展开图，故选项错误．
故选：C．
【点评】考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
变式1．下列图形中，不是正方体平面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，C选项可以拼成一个正方体，
而D选项，下底面不可能有两个，故不是正方体的展开图．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
变式2．2017年某市获“全国文明城市”提名，为此小王特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，正方体中与“全”字对面的字是（ ）
A．文B．明C．城D．市
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：相对的面的中间要相隔一个面，正方体中与“全”字对面的字是明．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是正方体相对两个面上的文字，掌握正方体相对面的特点是解题的关键．
例题4．指出下列平面图形各是什么几何体的展开图．
【分析】根据几何体的平面展开图的特征可知：（1）是圆柱的展开图；（2）是圆锥的展开图；（3）是三棱柱的展开图；（4）是三棱锥的展开图；（5）是长方体的展开图．
【解答】解：（1）圆柱；
（2）圆锥；
（3）三棱柱；
（4）三棱锥；
（5）长方体．
【点评】本题主要考查几何体展开图的知识点，熟记常见几何体的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
变式．图中，
（1）请直接写出图1和图2几何体的名称，
（2）图3和图4是某些几何体的平面展开图，请判断后在横线上写出相应的几何体的名称．
【分析】（1）利用立体图形的特征求解即可，
（2）利用立体图形的展开图特征求解即可．
【解答】解：（1）由立体图形的特征可得图 1和图2分别为正方体，长方体，
（2）由立体图形的展开图特征可得图 3和图4相应的几何体分别为正四棱锥，三棱柱，
【点评】本题主要考查了几何体的展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
知识点三： 点、线、面、体
例题1．如图所示，能读出的线段条数共有（ ）
A．8条B．10条C．6条D．12条
【分析】先根据图形数出所有线段，即可得出选项．
【解答】解：线段有：线段AD、线段AB、线段CD、线段BC、线段AE、线段AC、线段CE、线段DE、线段BE、线段BD，共10条，
故选B．
【点评】本题考查了线段，能找出符合的所有线段是解此题的关键．
变式1．如图，A，B，C，D，E，P，Q，R，S，T是构成五角星的五条线段的交点，则图中共有线段 30 条．
【分析】分别求出构成五角星的每条线段上有几条线段，在将其乘以5即可．
【解答】解：线段AC，BE，CE，BD，AD上各有另两个点，每条上有6条线段；所以共有6×5=30条线段．
【点评】把这个五星分成五条线段，每条上有另两个点来求解．
变式2．如图，图中有 1 条直线，有 9 条射线，有 12 条线段，以E为顶点的角有 4 个．
【分析】直线：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线），无端点．
射线：直线上的一点，可向一方无限延伸，有一个端点．
线段：直线的一部分，有限长，有2个端点
再根据角的定义数出角的个数即可求解．
【解答】解：如图，图中有直线AC，共1条直线，
有A为端点的2条射线，B为端点的1条射线，C为端点的2条射线，E为端点的3条射线，F为端点的1条射线共2+1+2+3+1=9条射线，
有线段AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，DF，EF，共12条线段，
以E为顶点的角有∠AEB，∠AEF，∠BEC，∠CEF，共4个．
故答案为：1，9，12，4．
【点评】本题主要考查直线、线段、射线的知识点，还考查角的概念的知识点，不是很难，不过做题要仔细．
例题2．如图所示的图形绕着虚线旋转一周形成的几何体是由下边的（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，一个长方形沿虚线旋转一周，所围成的几何体是圆柱．
【解答】解：结合图形特征可知，所围成的几何体是圆柱．
故选A．
【点评】本题考查的是图形的旋转，考法较新颖，解题关键是正确理解常见图形的旋转情况．
变式1．如图所示的平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．棱柱
【分析】根据面动成体，所得图形是一个圆锥体．
【解答】解：直角三角形绕其一条直角边旋转一周所得图形是一个圆锥体．
故选：A．
【点评】本题考查了点、线、面、体，熟悉常见图形的旋转得到立体图形是解题的关键．
变式2．如图所示的几何体是由右边哪个图形绕虚线旋转一周得到（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据面动成体对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、转动后是圆柱，故本选项错误；
B、转动后内凹，故本选项错误；
C、沿虚线旋转一周可得到题目给的几何体，故本选项正确；
D、转动后是球体，故本选项错误．
故选：C
【点评】本题考查了点、线、面、体，准确识图观察出得到的几何体的曲面的形状是解题的关键．
变式3．圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周所得到的，那么下列四个选项绕直线旋转一周可以得到如图立体图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图本题是一个平面图形围绕一条边为中心对称轴旋转一周根据面动成体的原理即可解．
【解答】解：由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周可得到圆柱体，如图立体图形是两个圆柱的组合体，
则需要两个一边对齐的长方形，绕对齐边所在直线旋转一周即可得到，
故选：A．
【点评】本题考查面动成体，需注意可把较复杂的体分解来进行分析．
拓展点一： 几何图形的识别
例题．将下列几何体分类，并说明理由．
【分析】根据立体图形的分类：柱体，椎体，球体，可得答案．
【解答】解：柱体：（1）正方体，（2）长方体，（4）圆柱体，（6）四棱柱，（7）三棱柱；
椎体：（5）圆锥；
球体：（3）球．
【点评】本题考查了认识立体图形，立体图形分为三大类：柱体，椎体，球体．
变式．观察图中所示的八个几何体．
（1）依次写出这八个几何体的名称：① 圆柱 ；② 圆锥 ；③ 长方体 ；④ 正方体 ⑤ 四棱柱 ；⑥ 五棱柱 ；⑦ 球体 ；⑧ 三棱柱 ．
（2）若几何体按是否包含曲面分类：不含曲面的有 ③④⑤⑥⑧ ；含曲面的有 ①②⑦ （填序号即可）；
（3）分别写出几何体⑥和⑧的两个相同点和两个不同点．
【分析】（1）根据几何体的特点回答即可；
（2）根据平面和曲面的区别回答即可；
（3）可从而几何体的面、棱、顶点等方面回答．
【解答】解：（1）①圆柱；②圆锥；③长方体；④正方体；⑤四棱柱、⑥五棱柱、⑦球体；⑧三棱柱；
故答案为：圆柱；圆锥；长方体；正方体；四棱柱、五棱柱、球体；三棱柱．
（2）不含曲面的有：③④⑤⑥⑧；含曲面的有：①②⑦；
故答案为：③④⑤⑥⑧；①②⑦．
（3）相同点：①每个侧面都是一个平行四边形；②每个图形的上下两个底面完全相同；
不同点：①两个图形的面数不同；②底面的边数不同．
【点评】本题主要考查的是认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键．
拓展点二： 几何图形的分类
例题．将下列几何体分类，并说明理由．
【分析】可以按平面和曲面进行分类，也可以按柱体、锥体和球进行分类，方法不同，答案不同，只要合理即可．
【解答】解：答案不唯一，如
（1）按平面分：正方体，长方体，三棱锥；
（2）按曲面分：圆柱，圆锥，球．
理由是：正方体的面是六个正方形组成，长方体的面是六个长方形组成，三棱锥的面是四个三角形组成，都是平面图形；而圆柱和圆锥的侧面都是曲面，球的整个面是曲面．
【点评】几何体的分类，从面的角度可以分为平面和曲面两种，注意结合实际几何体的特征进行分类．
变式．指出图中几何体的名称．根据你的观察．简要表述它们的特征．
【分析】根据图形的特点回答即可．
【解答】解：（1）该图图形的名称是圆柱，由两个底面和一个侧面构成，底面均为平面，侧面是一个曲面；
（2）该图形是圆锥，由一个曲面和一个底面构成
（3）该图形是正方体，由6个平面和12条棱构成，每个面都是一个正方形；
（4）该图形是长方体，由6个平面和12条棱构成，每个面都是一个长方形；
（5）该图形是一个六棱柱，由8个平面和18条棱构成，每个侧面都是一个长方形，每个底面是一个六边形；
（6）该图形是一个球体，由1个面构成，是一个曲面；
（7）该图形是一个四棱锥，由5个面构成，每个侧面都是一个三角形，底面是一个四边形．
【点评】本题主要考查的是认识立体图形，掌握常见立体图形的特点是解题的关键．
拓展点三： 从不同方向看
例题．如图所示，是一个空心圆柱，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】俯视图是分别从物体的上面看，所得到的图形．
【解答】解：它的俯视图为：
故选B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
变式1．从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用左视图的观察角度，进而得出视图．
【解答】解：如图所示：∵从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，
∴该几何体的左视图为：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
变式2．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图进行解答即可．
【解答】解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
变式3．如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，圆锥看见的是：圆和点，两个正方体看见的是两个正方形．
故答案为：C．
【点评】此题主要考查了三视图的知识，关键是掌握三视图的几种看法．
拓展点四： 立体图形的展开与折叠
例题1．如图1所示，将一个正四棱锥（底面为正方形，四条测棱相等）的其中四条边剪开，得到图2，则被剪开的四条边有可能是（ ）
A．PA，PB，AD，BCB．PD，DC，BC，ABC．PA，AD，PC，BCD．PA，PB，PC，AD
【分析】根据图2中正方形左边的三角形可知需剪开PA、PB，根据正方形右边三个三角形脱离正方形的上下两边可知需剪开AD、BC，可得答案．
【解答】解：根据图2中的展开图可知，底面正方形ABCD的左边一个三角形是独立的，
据此可知，需剪开图1中的PA、PB，
根据正方形右边三个三角形脱离正方形的上下两边可知，
需剪开AD、BC，
综上，被剪开的四条边可能是：PA、PB、AD、BC，
故选：A．
【点评】本题主要考查几何体的展开图，空间的想象力是基础，根据展开图逐步分解图形是解题的关键．
例题2．下列不是三棱柱展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．
【解答】解：∵三棱柱展开图有3个四边形，2个三角形，
∴C选项不是三棱柱展开图，
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
变式1．下列四个图形中是三棱柱的表面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：A、是三棱柱的平面展开图；
B、围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故不能围成三棱柱，故此选项错误；
C、围成三棱柱时，缺少一个底面，故不能围成三棱柱，故此选项错误；
D、围成三棱柱时，没有底面，故不能围成三棱柱，故此选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查棱柱和棱锥的结构特征，棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧．
变式2．下列四个图形中，是三棱锥的表面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三棱锥的四个面都是三角形，还要能围成一个立体图形，进而分析得出即可．
【解答】解：A、能组成三棱锥，是；
B、不组成三棱锥，故不是；
C、组成的是三棱柱，故不是；
D、组成的是四棱锥，故不是；
故选A．
【点评】本题主要考查了三棱锥的表面展开图和空间想象能力，注意几何体的形状特点进而分析才行．
变式3．如图，将长方体表面展开，下列选项中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】长方体的表面展开图的特点，有四个长方形的侧面和上下两个底面组成．
【解答】解：A、是长方体平面展开图，不符合题意；
B、是长方体平面展开图，不符合题意；
C、有两个面重合，不是长方体平面展开图，不符合题意；
D、是长方体平面展开图，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是长方体的展开图，关键是要注意上下底面的长和宽是否可以围成长方体．
拓展点五： 立体图形的探究问题
例题1．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 V+F﹣E=2 ．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 20 ．
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【分析】（1）观察可得顶点数+面数﹣棱数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．
【解答】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E=2；
（2）由题意得：F﹣8+F﹣30=2，解得F=20；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+F﹣36=2，解得F=14，
∴x+y=14．
故答案为：6，6；E=V+F﹣2；20；14．
【点评】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
变式．如图所示，若将类似于a、b、c、d四个图的图形称做平面图，则其顶点数、边数与区域数之间存在某种关系．观察图b和表中对应的数值，探究计数的方法并作答．
（1）数一数每个图中各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域并填表：
（2）根据表中数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系；
（3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）中得出的关系可知这个平面图有 30 条边．
【分析】（1）按照自己熟悉的规律去数顶点数，边数以及区域数；
（2）4+3﹣6=1，7+3﹣9=1，8+5﹣12=1，10+6﹣15=1，所以可得到一般规律：顶点数+区域数一边数=1；
（3）边数=顶点数+区域数﹣1．
【解答】解：（1）
（2）观察表中数据可得；4+3﹣6=1，7+3﹣9=1，8+5﹣12=1，10+6﹣15=1
∴S+N﹣M=1；（或顶点数+区域数一边数=1）
（3）由（2）得：边数=顶点数+区域数﹣1=20+11﹣1=30．
【点评】本题考查学生的观察能力，分析以及合理推理能力．注意应按平面图来进行解答．
例题2．如图，是按规律摆放在墙角的一些小正方体，从上往下分别记为第一层，第二层，第三层…第n层…
（1）第三层有 6 个小正方体．
（2）从第四层至第六层（含第四层和第六层）共有 46 个小正方体．
（3）第n层有 个小正方体．
（4）若每个小正方体边长为a分米，共摆放了n层，则要将摆放的小正方体能看到的表面部分涂上防锈漆，则防锈漆的总面积为 a2n（n+1） 分米2．
【分析】（1）第1个图有1层，共1个小正方体，第2个图有2层，第2层正方体的个数为1+2，以此类推第三层即可；
（2）第4至6层求出每层个数相加即可；
（3）根据相应规律可得第n层正方体的个数为1+2+3+…+n=；
（4）共摆放n层，根据靠墙小正方形的面的个数和与地面接触小正方形的面的个数，求出总面数再乘每一个小正方形的面积即可．
【解答】解：（1）第1层，共1个小正方体，
第2层正方体的个数为1+2=3，
第3层正方体的个数为：1+2+3=6．
故答案为：6．
（2）第4层正方体的个数为：10，
第5层正方体的个数为：15，
第6层正方体的个数为：21，
所以从第四层至第六层（含第四层和第六层）共有：10+15+21=46．
故答案为：46．
（3）根据（1）相应规律，可得第n层正方体的个数为1+2+3+…+n=；
（4）共摆放n层，则靠墙小正方形的面的个数：2×（1+2+3+…+n）=n（n+1），
地面接触小正方形的面的个数：1+2+3+…+n=，
所以靠墙及地面的部分涂上防锈漆的面积为：[n（n+1）+]×a2=a2n（n+1）分米2．
故答案为：（1）6；（2）41；（3）；（4）a2n（n+1）．
【点评】此题考查图形规律性的变化，得到第n层正方体的个数的规律是解决本题的关键．
变式．将一个正方体的表面全涂上颜色．
（1）如果把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，设其中3面被涂上颜色的有a个，则a= 8 ；
（2）如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体．设这些小正方体中有3个面涂有颜色的有a个，各个面都没有涂色的有b个，则a+b= 9 ；
（3）如果把正方体的棱4等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到64个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b= 32 ；
（4）如果把正方体的棱n等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到 n3 个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b= 12（n﹣2）+（n﹣2）3 ．
【分析】根据正方体的性质可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，涂色位于表面中心的一面涂色，处于正中心的没涂色．依此可得到（1）棱二等分时的所得小正方体表面涂色情况；（2）棱三等分时的所得小正方体表面涂色情况；（3）棱四等分时的所得小正方体表面涂色情况．（4）根据已知图形中没有涂色的小正方形个数得出变化规律进而得出答案．
【解答】解：（1）三面被涂色的有8个，故a=8；
（2）三面被涂色的有8个，各面都没有涂色的1个，a+b=8+1=9；
（3）两面被涂成红色有24个，各面都没有涂色的8个，b+c=24+8=32；
（4）由以上可发现规律：能够得到n3个小正方体，两面涂色c=12（n﹣2）个，各面均不涂色（n﹣2）3个，b+c=12（n﹣2）+（n﹣2）3．
故答案为：8，9，32，n3，12（n﹣2）+（n﹣2）3．
【点评】本题主要考查了正方体的组合与分割．要熟悉正方体的性质，在分割时有必要可动手操作．
易错点一： 所见“就”要“所现”
例题1．如图为某几何体的示意图，请画出该几何体的三视图．
【分析】根据三视图的观察角度不同分别得出符合题意的视图即可．
【解答】解：三视图如下：
【点评】本题考查了画三视图的知识，用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别为从正面，左面，上面看得到的图形．
变式．画出如图所示物体的主视图、左视图、俯视图．
【分析】根据主视图为一个中间有一条横线的长方形；左视图为一个五边形；俯视图为一个中间有一条横线的长方形；画图即可．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图为主视图，左视图，俯视图，分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．注意实际存在，没有被其他棱挡住，从某个方向看又看不到的棱应用虚线表示．
例题2．如图所示为一几何体的三视图：
（1）写出这个几何体的名称；
（2）任意画出这个几何体的一种表面展开图；
（3）若长方形的高为10cm，正三角形的边长为4cm，求这个几何体的侧面积．
【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为三棱柱；
（2）应该会出现三个长方形，两个三角形；
（3）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．
【解答】解：（1）这个几何体是正三棱柱；
（2）表面展开图如下：
；
（3）侧面积：3×10×4=120cm2．
【点评】此题考查从三视图判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键．
变式．某个几何体的三视图如图所示，根据图中有关数据，求这个几何体的各个侧面积之和．
【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后根据尺寸和侧面积计算方法求得答案即可．
【解答】解：由三视图可知，这个几何体是三棱柱；
∵底面是直角三角形，一直角边长是4，斜边长是6，
∴另一直角边长是=2，
∴三棱柱的侧面积之和为：（4+6+2）×10=100+20．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图判断该几何体为三棱柱，三棱柱的三个侧面均为矩形．
例题3．（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体如图1，请在图2的方格中画出该几何体的俯视图和左视图．
（2）用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在图2方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要 5 个小立方块，最多要 7 个小立方块．
【分析】（1）从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1，依此画出图形即可；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1，依此画出图形即可；
（2）由俯视图易得最底层小立方块的个数，由左视图找到其余层数里最少个数和最多个数相加即可．
【解答】解：（1）
（2）解：由俯视图易得最底层有4个小立方块，第二层最少有1个小立方块，所以最少有5个小立方块；
第二层最多有3个小立方块，所以最多有7个小立方块．
【点评】用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由主视图得到其余层数里最少的立方块个数和最多的立方块个数．
变式．如图是用10块完全相同的小正方体搭成的几何体．
（1）请在空白的方格中画出它的三个视图；
（2）若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭 3 块小正方体．
【分析】（1）根据物体形状即可画出左视图有三列与以及主视图、俯视图都有三列，进而画出图形；
（2）可在最左侧前端放两个后面再放一个即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
；
（2）保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭3块小正方体．
故答案为：3．
【点评】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
易错点二： 注意展开图中相邻面与相对面
例题．如图是一个正方形纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据展开图即可判断．
【解答】解：根据展开图可知：两个○不可能相邻，故B、C错误；
相邻的两个面必定有一个○或•，故A错误；
故选（D）
【点评】本题考查几何体展开图，考查学生空间想象能力．
变式1．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．注意带图案的三个面相交于一点．
【解答】解：由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C．
故选C．
【点评】考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．
变式2．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是（ ）
A．遇B．见C．未D．来
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“遇”与“的”是相对面，
“见”与“未”是相对面，
“你”与“来”是相对面．
故选D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
图
a
b
c
d
顶点数（S）
7
边数（M）
9
区域数（N）
3
图
a
b
c
d
顶点数（S）
4
7
8
10
边数（M）
6
9
12
15
区域数（N）
3
3
5
6
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