人教版八年级上册11.3.2 多边形的内角和导学案

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定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成得封闭图形叫做多边形。
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形；三角形是最简单的多边形。
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，常见的正多边形有正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形等，如图所示：



例1.下列图形中，不是多边形的是（ ）
A B C D
【答案】B
解析：A、该图形是由12条线段首尾顺次连结而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
B、该图形是由线段、曲线首尾顺次连结而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意；
C、该图形是由10条线段首尾顺次连结而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
D、该图形是由5条线段首尾顺次连结而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
故选B．
变式1.下图中的各图形是不是多边形？如果是，说出来是几边形。


① ② ③
【答案】
解析：图①不是多边形；
图②是多边形，是四边形；
图③不是多边形。
点评 组成多边形的线必须是线段，图①跟图③含有曲线，所以不是多边形。
知识点二：多边形的对角线
定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
例1.过十二边形的一个顶点可作几条对角线？这些对角线可把十二边形分成多少个三角形？
解析：在一个n边形中，从一个顶点可引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把这个多边形分成（n-2）个三角形。
变式1.过十五边形的一个顶点可作多少条对角线？这些对角线可以把十五边形分成多少个三角形？
解析：根据图形是十五边形，所以n=15，从一个顶点可作（15-3）=12条对角线，这12条对角线把这个多边形分成（15-2）=13个三角形。
点评 （1）多边形的对角线是一条线段；
（2）从n边形的顶点可画n（n-3）条对角线，但由于每个顶点所画的对角线都重复一次，所以n边形共有n（n-3）/2条对角线；
每个顶点的这（n-3）条对角线把这个多边形分成（n-2）个三角形。
过一个多边形的一个顶点可以引 5 条对角线，这个多边形是 ( )
A. 五边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 六边形
【答案】C
解析：根据多边形可从一个顶点作（n-3）条对角线可知这个多边形是八边形。
知识点三：多边形的内角和公式
n边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）×180°
多边形内角和的证明方法：从n边形的一个顶点连对角线，可以得到（n-3）条对角线，并且将n边形分成（n-2）个三角形，这（n-2)个三角形的内角和恰好是n边形的内角和，等于（n-2）×180°
正n边形的各个内角都相等，其度数为180(n-2)/n
提醒
多边形的内角和随着边数的增加而增加，而且每增一边，内角和增加180°
正n边形的内角和等于每个角的度数×边数。
已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是 （ ）
五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形
【答案】C
解析：设这个多边形是n边形，则（n-2）×180°=900°，解得：n=7，故选C。
点评 多边形的内角和公式有两个方面的应用：
①已知多边形的边数，计算多边形的内角和；
②已知多边形的内角和，求多边形的边数。
例2.一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
变式1.六边形的内角和等于_______度
【答案】720
变式2.四边形的四个内角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？可以都是直角吗？为什么？
【答案】四边形的四个内角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角．
解析：因为四边形的内角和为360°，如果四个内角都是锐角或都是钝角，则内角和小于360°或大于360°，与四边形的内角和为360°矛盾。所以四个内角不可以都是锐角或都是钝角，
若四个内角都是直角，则四个内角的和等于360°，与内角和定理相符，所以四个内角可以都是直角．
例3：内角和等于外角和2倍的多边形是（ ）
五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】六
解析：设多边形有n条边，由题意得：
180（n-2）=360×2，
解得：n=6，
故答案为：六．
提醒
多边形的外角和为360°
知识点四：多边形的外角和公式
多边形的外角和：多边形的外角和等于360°
多边形外角和的证明方法：多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形的内角和加外角和等于n×180°，外角和等于n×180°-（n-2）×180°=360°
提醒
多边形的外角和恒等于360°，而与边数的多少无关
已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是 （ ）
正五边形 B.正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形
【答案】B
解析： 解法一：根据多边形内角和公式表示内角和，另外根据正多边形的每个外角都相等也可以求出该多边形的内角和。从而列出方程求出方程的解即可。设边数是n，根据题意，可得（n-2）×180=（180-60）×n，解得n=6，故选B。
解法二：根据多边形得外角和为360°，正多边形的每个外角都相等，用360÷60即可求出边数，设边数是n，因为每个外角都是60°，外角和为360°，所以边数n=360÷60=6，故选B。
一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和.
【答案】1080°
解析：根据多边形每个外交都等于45°，所以把360÷45=8，因此该多边形为八边形。
根据多边形的内角和公式，可知八边形的内角和为1080°
变式1.一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数.
【答案】内角为80°，多边形为8条边。
解析：设（x-2）•180=1000，
解得x=7……（余数）
因而多边形的边数是8．
这个内角是80°