人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质学案设计

这是一份人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质学案设计，文件包含123角的平分线的性质讲义学生版doc、123角的平分线的性质讲义教师版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共26页， 欢迎下载使用。

（1）知识与技能目标：会作一个角的平分线，并掌握角平分线的性质及判定；
（2）过程与方法目标：综合运用角的平分线的性质及判定解决相关问题；
（3）情感态度与价值观：通过作三角形的角平分线，了解三角形三条角平分线交于一点的事实；
教学重难点
教学重点：角平分线的性质及其应用
教学难点：灵活应用两个性质解决问题
知识点一：作已知角的平分线
用尺规作图法作已知角的平分线的步骤：
以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OA，OB于M、N两点；
分别以点M,N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
画射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
提醒：①作已知角的平分线的方法很多，主要有折叠法和尺规作图法，尺规作图法是常用的方法.
②用尺规作图法作已知角的平分线是依据“SSS”定理构造一对全等的三角形.
③在上面的步骤（2）中，若以小于MN的长为半径画弧时，两弧没有交点；以等于MN的长为半径画弧时，两弧虽有交点，但交点不明显，不利于下一步的作图. 所以必须要求“以大于MN的长为半径”.
例1.如图，已知∠AOB，求作一个角等于∠AOB的补角，并作出这个补角的平分线.
变式1.如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠A0B,作法的合理顺序是：①作射线0C；②以O为圆心，适当长为半径画弧交0A,OB于D,E；③分别以D,E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C.
A.① ② ③ B.② ① ③ C.② ③ ① D.③ ② ①
变式2.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）
A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD
C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE
知识点二：角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
书写格式：如图所示，∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
提醒:1.该性质可以直接作为证明两条线段相等的依据，不需要再通过证全等三角形来推导.
2.这一定理的条件是“点在角的平分线上”，结论是“这一点到角的两边的距离相等”.
3.利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”.
例1.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
变式1.如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=16，BD=10，则点D到AB的距离是（ ）
A．9B．8C．7D．6
变式2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：
①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；
其中正确的是（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
知识点三：角的平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
书写格式：如图所示，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴OP是∠AOB的平分线（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）
提醒：1.这一定理的条件是“角的内部的点到角的两边的距离相等”，结论是“该点在角的平分线上”，它可以证明两个角相等.
2.判定角的平分线必须同时具备“距离”和“相等”这两个条件，缺一不可.
3.“角的平分线的判定”与“角的平分线的性质”的题设和结论正好相反.
例1.到三角形三边距离相等的点是（ ）
A.三条中线的交点
B.三条高线的交点
C.三条角平分线的交点
D.不能确定
例2.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
变式1.如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
一处B．二处C．三处D．四处
变式2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
知识点四：证明几何命题
一般情况，证明一个几何命题，可按以下步骤进行：
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
提醒：抽象的几何问题有时以纯文字的形式也能得到证明，但为了直观方便地展示说理过程，我们应把简练、抽象的文字命题具体化、图形化、字母化处理，这也是我们运用数学解决问题的一个重要方法.
例1.求证:三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等.
变式1.已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．
变式2.已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
求证：AB=AC．
拓展点一：角的平分线的性质的综合应用
例1.如图所示,在三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，并交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求三角形DEB的周长.
例2.如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
变式1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．
求证：DE=BF．
例3.在ΔABC中，AB=4,AC=3,AD是ΔABC的角平分线，则ΔABD与ΔACD的面积之比是______
答案：4:3
解析：分别作出ΔABD与ΔACD的边AB、AC边上的高DE、DF,又AD是ΔABC的角平分线，根据角平分线的性质，可得DE=DF,即ΔABD与ΔACD的边AB、AC边上的高相等，再由面积公式可得ΔABD与ΔACD的面积之比为底边AB、AC之比，故填4:3.
点评：本题考查了角平分线的性质和三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键.
拓展点二：角的平分线的判定的综合应用
求角度
例1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE=DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A=38°，求∠DBC的度数．
证明角相等
例2.如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2.求证：∠BAD=∠CAD.
拓展点三：利用面积解决有关角平分线的问题
例1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，
CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求AB的长．
变式1.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是18cm2，AC=8cm，DE=2cm，求AB的长．
拓展点四：实际应用问题
例1.如图，三条公路L1，L2，L3两两相交于A,B,C三点，现计划修建一个超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？你能在图中找出来吗？