八年级上册15.1 分式综合与测试导学案

15.1分式

教学目标：

1、了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系

2、了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件

3、理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件

教学重难点：

1、理解分式的意义

2、准确理解分式的意义，明确分母不得为零

知识点一：分式的概念

（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子  叫做分式

（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如   是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如          它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如             则为分式，因为 仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式

例题：下列各式中，是分式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

【解答】解：、，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．

分母中含有字母，因此是分式．

故选：A．

【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．

变式1：下列各式不是分式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据分式的定义即可求出答案．

【解答】解：一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，

故选：C．

【点评】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型．

变式2：在，，，﹣0.7xy+y3，，中，分式有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

【解答】解：在，，，﹣0.7xy+y3，，中，分式有，，，一共3个．

故选：B．

【点评】本题主要考查分式的定义，分母中含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

知识点二：分式有意义、无意义的条件（重点）

（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．

例题：若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）

A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x=﹣2 D．x≠﹣2

【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．

【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，

∴x+2≠0，

解得：x≠﹣2．

故选：D．

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．

变式1：实数x满足什么条件时，分式有意义（　　）

A．x=3 B．x≠3 C．x＜3 D．x＞3

【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．

【解答】解：由题意得，3﹣x≠0，

解得x≠3．

故选：B．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

变式2：若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　x≠3　．

【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

【解答】解：由题意得

x﹣3≠0，

解得x≠3，

故答案为：x≠3．

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．

知识点三：分式的值为0的条件（重点）

分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．

例题：若分式的值为0，则x的值为（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．±1

【分析】根据分式为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．

【解答】解：∵分式的值为零，

∴，解得x=1．

故选：B．

【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．　

变式1：若分式的值为0，则x的值是（　　）

A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣5

【分析】分式的值等于零时，分子等于零．

【解答】解：由题意，得

x﹣2=0，

解得，x=2．

经检验，当x=2时，=0．

故选：A．

【点评】本题考查了分式的值为零的条件．注意，分式方程需要验根．　

变式2：若分式的值为0，则x的值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0

【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．

【解答】解：由分式的值为零的条件得x﹣3=0，且x+3≠0，

解得x=3．

故选：A．

【点评】本题考查了分式值为0的条件，具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

知识点四：分式的基本性质（重难点）

（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．

例题：若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是．

【解答】解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，

A、，错误；

B、，错误；

C、，错误；

D、，正确；

故选：D．

【点评】本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心．

变式1：下列各式中，正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据分式的基本性质，对四个选项一一计算，然后作出判断与选择．

【解答】解：A、，错误；

B、，正确；

C、，错误；

D、，错误；

故选：B．

【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变；若只改变其中的一个，分式的值会改变的．

变式2：如果分式中的a，b都同时扩大2倍，那么该分式的值（　　）

A．不变 B．缩小2倍 C．扩大2倍 D．扩大4倍

【分析】依题意分别用2a和2b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．

【解答】解：∵分式中的a，b都同时扩大2倍，

∴=，

∴该分式的值扩大2倍．

故选：C．

【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．

知识点五：分式的约分（重点）

（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．

例题：下列运算正确的是（　　）

A．=2 B．（a3）2=a6 C．a﹣a=1 D．a•2a=2a

【分析】根据约分、幂的乘方与积的乘方、合并同类项以及单项式乘单项式的法则分别对每一项进行分析即可．

【解答】解：A、不能约分，故本选项错误；

B、（a3）2=a6，故本选项正确；

C、a﹣a=0，故本选项错误；

D、a•2a=2a2，故本选项错误；

故选：B．

【点评】此题考查了约分、幂的乘方与积的乘方、合并同类项以及单项式乘单项式，熟练掌握法则是解题的关键．　

变式1：约分的结果为（　　）

A． B． C． D．

【分析】把分子、分母中的公因式进行约分即可得出答案．

【解答】解：=，

故选：C．

【点评】此题考查了约分，在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．

变式2：如果，那么的结果是　4　．

【分析】令=k，则a=2k、b=3k，代入到原式==计算可得．

【解答】解：令=k，

则a=2k、b=3k，

∴原式=

=

=

=

=4，

故答案为：4．

【点评】本题主要考查约分，解题的关键是掌握约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．

知识点六：最简分式（重点）

最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
 

例题：下列选项中最简分式是（　　）

A． B． C． D．

【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．

【解答】解：A、是最简分式；

B、=，不是最简分式；

C、==，不是最简分式；

D、=3x+1，不是最简分式；

故选：A．

【点评】题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．

变式1：下列分式中，属于最简分式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．

【解答】解：A、=，故A选项错误．

B、是最简分式，不能化简，故B选项，

C、=，能进行化简，故C选项错误．

D、=﹣1，故D选项错误．

故选：B．

【点评】本题主要考查了最简分式的概念，解题时要注意对分式进行化简．　

变式2：下列分式中，最简分式有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．

【解答】解：，，，这四个是最简分式．

而==．

最简分式有4个，

故选：C．

【点评】判断一个分式是最简分式，主要看分式的分子和分母是不是有公因式．

知识点七：分式的通分（难点）

（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．

例题：（1）通分：；

（2）通分：，．

【分析】找出最简公分母，根据分式的通分法则计算即可．

【解答】解：（1）=，=；

（2）=，=．

【点评】本题考查的是分式的通分、约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．　

变式1：通分：，．

【分析】找出最简公分母，根据分式的通分法则计算即可．

【解答】解：最简公分母是x（x﹣1）2，

=，

=．

【点评】本题考查的是分式的通分，通分的关键是确定最简公分母，最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数，最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．

变式2：通分与．

【分析】先把分母和分子因式分解，再找最简公分母，通分即可．

【解答】解：最简公分母为：（a+2）2，

=，

==．

【点评】本题考查了通分，找出两个分母的最简公分母是解题的关键．

拓展点一：分式的取值问题

例题：若a2﹣2a﹣3=0，代数式的值是（　　）

A．﹣ B． C．﹣3 D．3

【分析】根据整体的思想即可求出答案．

【解答】解：∵a2﹣2a=3，

∴原式==

故选：A．

【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．

变式1：当分式的值为正整数时，整数x的取值可能有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【分析】根据题意可知2x﹣3必是6的因数，从而可求出答案．

【解答】解：由题意可知：2x﹣3=1或2或3或6

所以x=2或或3或

由于x是整数，

∴x=2或3

所以x的有两个

故选：C．

【点评】本题考查分式的值，解题的关键正确得出2x﹣3是6的正因数，本题属于基础题型．　

变式2：已知﹣=5，则分式的值为（　　）

A．1 B．5 C． D．

【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则变形，整理后代入原式计算即可得到结果．

【解答】解：已知等式整理得：=5，即x﹣y=﹣5xy，

则原式===1，

故选：A．

【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

拓展点二：分式的意义

例题：要使分式有意义，那么x必须满足　x≠0　．

【分析】根据分母不为这个条件求出x的范围即可．

【解答】解：要使分式有意义，那么x必须满足x≠0，

故答案为：x≠0

【点评】此题考查了分式有意义的条件，始终注意分母不为0这个条件．　

变式1：当x=　﹣2　时，分式无意义．

【分析】根据分式无意义的条件可得x+2=0，再解即可．

【解答】解：由题意得：x+2=0，

解得：x=﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零．

变式2：要使式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是　a≥﹣3且a≠±1　．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，a+3≥0且a2﹣1≠0，

解得a≥﹣3且a≠±1．

故答案为：a≥﹣3且a≠±1．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

拓展点三：分式基本性质的应用

例题：不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得　　．

【分析】要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数，同时不改变分式的值，可将分式的分子和分母同乘以一个相同的数；此题可同乘10．

【解答】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分式分母同乘以10，

即==．

故答案为：．

【点评】此题主要考查分式的基本性质，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，需要熟练掌握并灵活运用．

变式1：若=﹣1，则x的取值范围是　x＜1　．

【分析】由绝对值的定义和分式有意义的条件入手求解．

【解答】解：由题意得

x﹣1≤0且x﹣1≠0

即x≤1，且x≠1

所以x＜1．

故答案为x＜1．

【点评】解决本题的关键是注意分式的分母不能为0．即x﹣1≠0的条件．

变式2：已知y=3xy+x，求代数式的值．

【分析】根据已知条件y=3xy+x，求出x﹣y与xy的关系，再将所求分式的分子、分母整理成x﹣y与xy和的形式，进行整体代入求解．

【解答】解：因为y=3xy+x，所以x﹣y=﹣3xy，当x﹣y=﹣3xy时，．

【点评】运用整体代入法时解答本题的关键．本题首先根据已知条件得到x﹣y=﹣3xy，再把要求的代数式化简成含有x﹣y的式子，然后整体代入，使代数式中只含有xy，约分后得解．

拓展点四：分式的化简求值

例题：分式化为最简分式的结果是　　．

【分析】分子、分母约去2xy即可．

【解答】解：=．

故答案是：．

【点评】本题考查了约分的定义及方法．约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．

变式1：分式化为最简分式的结果是　　．

【分析】找出分式分子分母的公因式，约分即可．

【解答】解：原式===，

故答案为：

【点评】此题考查了最简分式，解题的关键是掌握最简分式的定义：分式分子分母没有公因式．

变式2：分式的最简分式是　　．

【分析】根据最简分式的判定方法即分子，分母中不含有公因式，不能再约分，从而得出答案．

【解答】解：==；

故答案为：．

【点评】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．

拓展点五：探求分式的整数值

例题：若x为整数，使分式值为整数，则满足条件的整数有（　　）

A．5个 B．6个 C．8个 D．7个

【分析】代数式变形为2+后，根据值为整数确定出整数x的值即可．

【解答】解：∵==2+，

∴x+3=±例题：±变式1：±变式2：±6，

则x=﹣4、﹣变式1：﹣例题：﹣5、0、﹣6、变式2：﹣9时分式的值为整数，

故选：C．

【点评】此题考查了分式的值，将原式计算适当的变形是解本题的关键．

变式1：若分式的值是正整数，则m可取的整数有（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．10个

【分析】由分式的值是正整数知m﹣2=例题：变式1：变式2：6，据此可得．

【解答】解：∵分式的值是正整数，

∴m﹣2=例题：变式1：变式2：6，

则m=变式2：4、5、8这四个数，

故选：A．

【点评】本题考查分式的值，解题的关键是理解题意，学会用 转化的思想思考问题，属于基础题，中考常考题型．

变式2：若x2﹣6xy+9y2=0且xy≠0，则的值为　2　．

【分析】由x2﹣6xy+9y2=0知（x﹣3y）2=0，从而得出x=3y，代入计算可得．

【解答】解：∵x2﹣6xy+9y2=0，

∴（x﹣3y）2=0，

则x﹣3y=0，即x=3y，

所以原式===2，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查分式的值，解题的关键是掌握因式分解的应用与整体代入思想求分式的值的能力．

易错点一：忽视检验分母的值是否为零

例题：若分式的值为0，则x的值为　﹣3　．

【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．

【解答】解：因为分式的值为0，所以=0，

化简得x2﹣9=0，即x2=9．

解得x=±3

因为x﹣3≠0，即x≠3

所以x=﹣3．

故答案为﹣3．

【点评】本题主要考查分式的值为0的条件，注意分母不为0．　

变式1：若分式的值为0，则a=　﹣3　．

【分析】根据分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案．

【解答】解：由题意，得

|a|﹣3=0且（a+2）（a﹣3）≠0，

解得a=﹣3，

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查分式值为零的条件，利用分子为零且分母不为零得出|a|﹣3=0且（a+2）（a﹣3）≠0是解题关键．　

变式2：已知分式的值为0，则x=　﹣3　．

【分析】根据分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案．

【解答】解：由的值为0，得

x2﹣9=0且x﹣3≠0．．

解得x=﹣3，

故答案为：﹣3．

【点评】本题考查了分式值为零的条件，利用分子为零且分母不为零得出x2﹣9=0且x﹣3≠0是解题关键．

易错点二：混淆“或”与“且”

例题：若分式无意义，则x的取值是（　　）

A．x=2或x=﹣2 B．x=2 C．x=﹣2 D．x=0

【分析】当分母为0时分式无意义，令x2﹣4=0即可求出x．

【解答】解：分式无意义，则可知x2﹣4=0，解得x=±2；

故选：A．

【点评】考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零．　

变式1：要使分式有意义，那么x的取值范围是（　　）

A．x≠3 B．x≠3且x≠﹣3 C．x≠0且x≠﹣3 D．x≠﹣3

【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求解即可．

【解答】解：∵x2+6x+9≠0，

∴（x+3）2≠0，

∴x+3≠0，

∴x≠﹣3，

∴分式有意义，x的取值范围x≠﹣3，

故选：D．

【点评】本题考查了分式有意义的条件：分母不为0，掌握不等式的解法是解题的关键．　

变式2：使分式有意义的x应取（　　）

A．x≠3且x≠﹣3 B．x≠2或x≠3或x≠﹣3

C．x≠3或x≠﹣3 D．x≠2且x≠3且x≠﹣3

【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

【解答】解：∵分式有意义，

∴（x﹣2）（x2﹣9）≠0，解得x≠2且x≠±3．

故选：D．

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．

易错点三：轻易约分致错

例题：如果，那么的结果是　4　．

【分析】令=k，则a=2k、b=3k，代入到原式==计算可得．

【解答】解：令=k，

则a=2k、b=3k，

∴原式=

=

=

=

=4，

故答案为：4．

【点评】本题主要考查约分，解题的关键是掌握约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．

变式1：约分：=　　．

【分析】约去分式的分子与分母的公因式即可．

【解答】解：原式==，

故答案为：．

【点评】本题考查了约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．

变式2：先约分，再求值：，其中a=2，b=

【分析】原式约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=

=

把a=2，b=代入

原式==．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

易错点四：错误地确定最简公分母

（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．

（2）一般方法：

①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．　

②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．

例题：分式和的最简公分母是（　　）

A．2xy B．2x2y2 C．6x2y2 D．6x3y3

【分析】确定最简公分母的方法是：

（1）取各分母系数的最小公倍数；

（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；

（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．

【解答】解：分式和的最简公分母是6x2y2，

故选：C．

【点评】本题考查了最简公分母的知识，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．　

变式1：分式、与的最简公分母是（　　）

A．6abc B．12abc C．24abc D．48abc

【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母求解即可．

【解答】解：分式、与的最简公分母是12abc；

故选：B．

【点评】本题主要考查了最简公分母的定义与求法．取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．

变式2：分式，，的最简公分母是　2x（x+1）（x﹣1）　．

【分析】先把分母因式分解，再找出最简分母即可．

【解答】解：∵2x﹣2=2（x﹣1），

x2+x=x（x+1），

x2﹣1=（x+1）（x﹣1），

∴分式，，的最简公分母是2x（x+1）（x﹣1），

故答案为2x（x+1）（x﹣1）．

【点评】本题考查了最简公分母，掌握因式分解是解题的关键．