重点难点提示

　　本单元重点是二次根式的重要性质：，它是二次根式化简和运算的重要依据。

　　1．二次根式的重要性质：

　　要注意以下问题：

　　（1）因为被开方数a2 ≥0(非负数)，所以a可以取任意实数。而是表示算术根，所以（非负数），即，可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。去掉绝对值符号时，首先要判断绝对值符号内的代数式的值的符号。若无法决定，要对其进行讨论。

　　（2）应用公式化简时，为保证结果的非负性，也避免出现运算上的错误，应首先写成的形式，然后再去绝对值符号。

　　2．的区别

　　（1）a的取值范围不同：中的a必须是非负数。
　　中的a可以是任何实数。

　　（2）运算顺序不同，表示对非负数a先开方，再平方。而表示对实数a先平方，再开方。

　　知识点精析

　　例1．判断下列各式是否正确
　　(1)　　(2)
　　(3) 　　　(4)
　　(5)

　　解：根据二次根式知，(1),(2),(3)都是错的，只有(4),(5)是对的。

　　例2．化简
　　(1) 　　　　　　(2) (-1<x<8)
　　(3) (0<x<1)　　 (4)

　　解：(1) ∵ x2+1>0,　 ∴

　　(2) ∵ -1<x<8,　 ∴ x+1>0, x-8<0.
　　∴
　　=|x+1|-|x-8|=x+1+x-8=2x-7.

　　(3) ∵ 0<x<1,　 ∴ .
　　∴ .

　　(4) ==|x-4|+|x-3|
　　当x≥4时，原式=x-4+x-3=2x-7.
　　当3≤x<4时，原式=4-x+x-3=1.
　　当x<3时，原式=4-x-x+3=7-2x。
　　∴ 原式=

　　说明：对于二次根式的化简，首先应根据算术根的定义写成绝对值的形式。而正确去掉绝对值符号是化简的关键。去掉绝对值符号时应首先判定绝对值符号内代数式值的符号。此类问题，一般可分为两类。第一类是不需要讨论直接化简。属于此类问题一般有以下三种情况①具体数字，此时化简的条件已暗中给定，②恒为非负值或根据题中的隐含条件，如（1）小题。③给出明确的条件，如（2）小题。第二类，需讨论后再化简。当题目中给定的条件不能判定绝对值符号内代数式值的符号时，则需讨论后化简，如（4）小题。

　　例3．已知a+b=-6, ab=5，求的值。

　　解： ∵ ab=5>0 ,　 ∴ a,b 同号，
　　又∵ a+b=-6<0,　 ∴ a<0, b<0
　　∴ .

　　说明：此题中的隐含条件a<0,b<0不能忽视。否则会出现错误。

　　例4．化简：

　　解：原式=|x-6|-|1+2x|+|x+5|
　　令x-6=0，得 x=6，令1+2x=0，得，
　　令x+5=0，得x=-5.
　　这样x=6, , x=-5，把数轴分成四段（四个区间）在这五段里分别讨论如下：
　　当x≥6时，原式=(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2.
　　当时，原式=-(x-6)-(1+2x)+(x+5)=-2x+10.
　　当时，原式=-(x-6)-[-(1+2x)]+(x+5)=2x+12.
　　当x<-5时，原式=-(x-6)+(1+2x)-(x+5)=2.

　　说明：利用公式，如果绝对值符号里面的代数式的值的符号无法决定，则需要讨论。方法是：令每一个绝对值内的代数式为零，求出对应的“零点”，再用这些“零点”把数轴分成若干个区间，再在每个区间内进行化简。