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初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角本节综合课时训练
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这是一份初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角本节综合课时训练，共18页。试卷主要包含了三个内角之比是1等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年人教版八年级数学上册《11.2与三角形有关的角》
同步优生辅导训练（附答案）
1．三个内角之比是1：5：6的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝（ ）
A．10° B．30° C．65° D．85°
3．如图，已知EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A，B分别在直线GH，EF上，∠C＝90°，AC交EF于点D，若BD平分∠ABC，∠BAH＝32°．则∠BAC的度数为（ ）
A．32° B．26° C．34° D．28°
4．如图，在△ABC中，DF∥AB交AC于点E，交BC于点F，连接DC，∠A＝70°，∠D＝38°，则∠DCA的度数是（ ）
A．42° B．38° C．40° D．32°
5．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
6．已知△ABC的三个内角的大小关系为∠A﹣∠B＝∠C，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
7．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．如图，延长△ABC的边AC到点E，过点E作DE∥BC．BG平分∠ABC，EF平分∠AED交BG的反向延长找于点F．已知3∠A＝4∠F，则∠A的大小为（ ）
A．75° B．74° C．72° D．70°
9．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（ ）
A．10° B．12° C．14° D．16°
10．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为（ ）
A．108°或27° B．108°或54°
C．27°或54°或108° D．54°或84°或108°
11．如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝75°，则∠BCD的度数为 ．
12．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为 ．
13．将一副三角板如图放置，其中∠C＝30°，∠D＝45°，点E在BC边上，M，N分别为AB，DF上的点，G为三角板外一点，连接GM，GN，若∠G＝50°，则∠GMB+∠BED+∠DNG＝ ．
14．如图所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高，则∠DAE＝ ．
15．如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝ ．
16．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF＝ ．
17．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝ °．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝65°，则∠A的度数是 ．
19．直角三角形的两个锐角的度数比为1：3，则较小的锐角是 ．
20．三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（我们规定0°＜∠OAC＜90°）．下列结论正确的是 ．（填入正确序号）
①∠ABO的度数为30°；
②△AOB不是“灵动三角形”；
③若∠BAC＝70°，则△AOC是“灵动三角形”；
④当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC为30°或52.5°．
21．已知，如图，∠BAD+∠ADC＝180°，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，DG交BC的延长线于点G，CFE＝∠AEB．
（1）若∠B＝85°，求∠DCG的度数；
（2）AD与BC是什么位置关系？并说明理由．
22．小明在学习三角形的知识时，发现如下数学问题：
已知线段AB，CD交于点E，连结AD，BC．
（1）如图①，若∠D＝∠B＝100°，∠DAB的平分线与∠BCE的平分线交于点G，求∠G的度数；
（2）如图②，若∠D＝∠B＝90°，AM平分∠DAB，CF平分∠BCN，请判断CF与AM的位置关系，并说明理由．
23．如图，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝68°．求∠DAE的度数．
24．如图，已知∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠EBD+∠BDE＝90°．
（1）试说明：AB∥CD．
（2）试探究∠BDE与∠EFD的数量关系并说明理由．
25．如图，已知△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，直线MN∥BC且分别与边AB，AC相交于点D，E，求∠AEN的度数．
26． 如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝ °；
（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝ °；
（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；
（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．
参考答案
1．解：设三个角的度数分别为x°，5x°，6x°，
x+5x+6x＝180°，
解得x＝15，
∴5x＝5×15＝75°，6x＝6×15＝90°，
∴该三角形为直角三角形，
故选：D．
2．解：∵折叠后点A落在边CB上A′处，∠ACB＝90°
∴折痕CD是角平分线，
∴∠A′CD＝∠ACD＝45°
又∵∠A＝50°，
∴∠A′DC＝∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣50°﹣45°＝85°．
故选：D．
3．解：∵EF∥GH，
∴∠DBA＝∠BAH＝32°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBA＝2×32°＝64°，
∵∠C+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣64°＝26°．
故选：B．
4．解：∵DF∥AB，∠A＝70°
∴∠A＝∠FEC＝70°．
∵∠FEC＝∠D+∠DCA，∠D＝38°，
∴∠DCA＝∠FEC﹣∠D
＝70°﹣38°
＝32°．
故选：D．
5．解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故选：D．
6．解：∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B+∠C，
即2∠A＝180°，∠A＝90°．
∴△ABC为直角三角形，
故选：B．
7．解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝110°，
由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠E＝30°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，
故选：B．
8．解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DE∥BC，
∴∠ACB＝∠AED，
∵BG平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠ABG＝∠ABC，∠AEF＝∠AED，
∴∠AEF＝∠AED＝∠ACB，
∵∠AGF是△EFG的一个外角，
∴∠AGB＝∠F+∠AEF
＝∠F+∠ACB，
在△ABG中，∠A+∠ABG+∠AGB＝180°，
∴∠A+∠ABC+∠F+∠ACB＝180°，
∠A+∠F+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∠A+∠F+（180°﹣∠A）＝180°，
整理得：∠A+∠F＝90°，
∵3∠A＝4∠F，
∴∠F＝∠A，
∴∠A+∠A＝90°，
解得：∠A＝72°．
故选：C．
9．解：∵∠B＝48°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝BAC＝32°，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝68°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝22°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝32°﹣22°＝10°，
故选：A．
10．解：①54°角是α，则友好角度数为54°；
②54°角是β，则 α＝β＝54°，
所以，友好角α＝108°；
③54°角既不是α也不是β，
则α+β+54°＝180°，
所以，α+α+54°＝180°，
解得α＝84°，
综上所述，“友好角α”的度数为54°或84°或108°．
故选：D．
11．解：∵∠BCD是△ABC的外角，∠A＝25°，∠B＝75°，
∴∠BCD＝∠A+∠B＝25°+75°＝100°，
故答案为：100°．
12．解：∵∠ECD是△BCE的外角，∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝35°+25°＝60°，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACD＝2∠ECD＝120°，
故答案为：120°．
13．解：∵∠C＝30°，∠D＝45°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
延长FD交MG于P点，延长AB交FP于Q点，
∴∠QBE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠QDE＝＝180°﹣∠FDE＝180°﹣45°＝135°，
∵∠FPM＝∠DNG+∠G＝∠DNG+50°，
∴∠BQD＝∠GMB+∠FPM＝GMB+∠DNG+50°，
∠BQD+∠QDE+BED+∠QBE＝360°，
∴∠GMB+∠DNG+50°+135°+∠BED+120°＝360°
∴∠GMB+∠BED+∠DNG＝55°，
故答案为：55°．
14．解：在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝35°，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣35°＝25°，
故答案为：25°．
15．解：∵∠AOP＝40°，OE平分∠AOP，
∴∠EOP＝∠AOP＝20°，
而△EOF以以每秒6°绕逆时针转，
PQ以以每秒9°绕O顺时针转
①如图1中，当OP′平分∠E′OF′时，
∠E′OP′＝20°+（6°+9°）m
＝∠EOF＝50°
则m＝2，
∠COP′＝90°﹣40°﹣2×9°
＝32°；
②如图2中，当OQ′平分∠E′OF′时，
则有6m+9m+20°＝360°﹣130°．
则m＝14，
∠COP′＝9°×14﹣（90°﹣40°）＝76°，
故答案为：32°或76°．
16．解：∵∠A＝40°，∠B＝72°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣72°＝68°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACB＝34°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝180°﹣90°﹣72°＝18°，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝34°﹣18°＝16°，
∵DF⊥CE，
∴∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝180°﹣90°﹣16°＝74°，
故答案为：74°．
17．解：∵将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，
∴∠EDA′＝∠EDA，∠DEA′＝∠DEA，
∵∠BDA′+2∠EDA＝180°，∠CEA′+2∠DEA＝180°，
∴∠BDA′+2∠EDA+∠CEA′+2∠DEA＝360°，
∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，
∴∠EDA+∠DEA＝145°，
∴∠A＝35°，
故答案为：35．
18．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝65°，
∴∠A＝25°，
故答案为：25°．
19．解：设两个锐角度数为x°，3x°，
由题意得：x+3x＝90，
解得：x＝22.5，
∴较小的锐角是22.5°．
故答案为：22.5°．
20．解：∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”，故①正确，②错误，
∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．故③正确，
∵△ABC是“灵动三角形”
①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．故④错误，
故答案为：①③．
21．解：（1）∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠DCG＝∠B．
∵∠B＝87°，
∴∠DCG＝87°；
（2）AD∥BC．
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠CFE．
又AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠DAF＝∠CFE．
∵∠CFE＝∠AEB，
∴∠DAF＝∠AEB，
∴AD∥BC．
22．解：（1）∵∠D＝∠B＝100°，∠AED＝∠CEB，∠D+∠DAE+∠AED＝∠B+∠ECB+∠CEB＝180°，
∴∠DAE＝∠ECB，
∵∠DAB的平分线与∠BCE的平分线交于点G
∴∠DAG＝∠GAF＝∠ECF＝∠FCB，
∵∠B＝100°，
∴∠FCB+∠CFB＝80°，
∵∠CFB＝∠AFG，
∴∠AFG+∠FAG＝80°，
∵∠AFG+∠GAF+∠G＝180°
∴∠G＝100°；
（2）CF||AM．
理由：∵∠D＝∠B＝90°，∠AED＝∠CEB，∠D+∠DAE+∠AED＝∠B+∠ECB+∠CEB＝180°，
∴∠DAE＝∠ECB，
设∠DAE＝∠ECB＝x，
∴∠DAE＝∠EAG＝x，
∴∠EGA＝90°+x，
∵∠BCN＝180°﹣x，CF平分∠BCN，
∴∠FCB＝x，
∴∠FCE＝∠BCE+∠FCB＝x+90°﹣x＝90°+x，
∴∠FCE＝∠EGA，
∴CF||AM．
23．解：∵∠B＝40°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝36°，
∵AE是高，∠C＝68°，
∴∠EAC＝90°﹣∠C＝22°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝36°﹣22°＝14°．
24．解：（1）∵BE，DE分别平分∠ABD，∠BDC，
∴∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，
∵∠EBD+∠BDE＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∠EFD+∠BDE＝90°，理由：
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠EBD，
∴∠EFD＝∠EBD，
∵∠EBD+∠BDE＝90°，
∴∠EFD+∠BDE＝90°．
25．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∵MN∥BC，
∴∠AED＝∠C＝72°，
∴∠AEN＝180°﹣∠AED＝180°﹣72°＝108°．
26．解：（1）∵∠MON＝90°，
∴∠OBA+∠OAB＝90°，
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC+∠BAC＝×90°＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135；
（2）在△AOB中，
∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n，
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n），
即∠ABC+∠BAC＝90°﹣n°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°；
故答案为：90°+n；
（3）∵BC、BD分别是∠OBA和∠NBA的角平分线，
∴∠ABC＝∠OBA，∠ABD＝∠NBA，∠ABC+∠ABD＝∠OBA+∠NBA，∠ABC+∠ABD＝（∠OBA+∠NBA）＝90°，
即∠CBD＝90°，
同理：∠CAD＝90°，
∵四边形内角和等于360°，
∴∠ACB+∠ADB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
由（1）知：∠ACB＝90°+n°，
∴∠ADB＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°，
∴∠ACB+∠ADB＝180°，
∠ADB＝90°﹣n°；
（4）∠E的度数不变，∠E＝40°；
理由如下：
∵∠NBA＝∠AOB+∠OAB，
∴∠OAB＝∠NBA﹣∠AOB，
∵AE、BC分别是∠OAB和∠NBA的角平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠CBA＝∠NBA，
∠CBA＝∠E+∠BAE，
∠NBA＝∠E+∠OAB（等量代换），
∠NBA＝∠E+（∠NBA﹣∠AOB），
∠NBA＝∠E+∠NBA﹣40°，
∴∠E＝40°
2021-2022学年人教版八年级数学上册《11.2与三角形有关的角》
同步优生辅导训练（附答案）
1．三个内角之比是1：5：6的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝（ ）
A．10° B．30° C．65° D．85°
3．如图，已知EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A，B分别在直线GH，EF上，∠C＝90°，AC交EF于点D，若BD平分∠ABC，∠BAH＝32°．则∠BAC的度数为（ ）
A．32° B．26° C．34° D．28°
4．如图，在△ABC中，DF∥AB交AC于点E，交BC于点F，连接DC，∠A＝70°，∠D＝38°，则∠DCA的度数是（ ）
A．42° B．38° C．40° D．32°
5．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
6．已知△ABC的三个内角的大小关系为∠A﹣∠B＝∠C，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
7．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．如图，延长△ABC的边AC到点E，过点E作DE∥BC．BG平分∠ABC，EF平分∠AED交BG的反向延长找于点F．已知3∠A＝4∠F，则∠A的大小为（ ）
A．75° B．74° C．72° D．70°
9．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（ ）
A．10° B．12° C．14° D．16°
10．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为（ ）
A．108°或27° B．108°或54°
C．27°或54°或108° D．54°或84°或108°
11．如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝75°，则∠BCD的度数为 ．
12．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为 ．
13．将一副三角板如图放置，其中∠C＝30°，∠D＝45°，点E在BC边上，M，N分别为AB，DF上的点，G为三角板外一点，连接GM，GN，若∠G＝50°，则∠GMB+∠BED+∠DNG＝ ．
14．如图所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的高，则∠DAE＝ ．
15．如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝ ．
16．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，则∠CDF＝ ．
17．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝ °．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝65°，则∠A的度数是 ．
19．直角三角形的两个锐角的度数比为1：3，则较小的锐角是 ．
20．三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（我们规定0°＜∠OAC＜90°）．下列结论正确的是 ．（填入正确序号）
①∠ABO的度数为30°；
②△AOB不是“灵动三角形”；
③若∠BAC＝70°，则△AOC是“灵动三角形”；
④当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC为30°或52.5°．
21．已知，如图，∠BAD+∠ADC＝180°，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，DG交BC的延长线于点G，CFE＝∠AEB．
（1）若∠B＝85°，求∠DCG的度数；
（2）AD与BC是什么位置关系？并说明理由．
22．小明在学习三角形的知识时，发现如下数学问题：
已知线段AB，CD交于点E，连结AD，BC．
（1）如图①，若∠D＝∠B＝100°，∠DAB的平分线与∠BCE的平分线交于点G，求∠G的度数；
（2）如图②，若∠D＝∠B＝90°，AM平分∠DAB，CF平分∠BCN，请判断CF与AM的位置关系，并说明理由．
23．如图，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝68°．求∠DAE的度数．
24．如图，已知∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠EBD+∠BDE＝90°．
（1）试说明：AB∥CD．
（2）试探究∠BDE与∠EFD的数量关系并说明理由．
25．如图，已知△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，直线MN∥BC且分别与边AB，AC相交于点D，E，求∠AEN的度数．
26． 如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝ °；
（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝ °；
（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；
（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．
参考答案
1．解：设三个角的度数分别为x°，5x°，6x°，
x+5x+6x＝180°，
解得x＝15，
∴5x＝5×15＝75°，6x＝6×15＝90°，
∴该三角形为直角三角形，
故选：D．
2．解：∵折叠后点A落在边CB上A′处，∠ACB＝90°
∴折痕CD是角平分线，
∴∠A′CD＝∠ACD＝45°
又∵∠A＝50°，
∴∠A′DC＝∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣50°﹣45°＝85°．
故选：D．
3．解：∵EF∥GH，
∴∠DBA＝∠BAH＝32°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBA＝2×32°＝64°，
∵∠C+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣64°＝26°．
故选：B．
4．解：∵DF∥AB，∠A＝70°
∴∠A＝∠FEC＝70°．
∵∠FEC＝∠D+∠DCA，∠D＝38°，
∴∠DCA＝∠FEC﹣∠D
＝70°﹣38°
＝32°．
故选：D．
5．解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故选：D．
6．解：∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B+∠C，
即2∠A＝180°，∠A＝90°．
∴△ABC为直角三角形，
故选：B．
7．解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝110°，
由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠E＝30°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，
故选：B．
8．解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DE∥BC，
∴∠ACB＝∠AED，
∵BG平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠ABG＝∠ABC，∠AEF＝∠AED，
∴∠AEF＝∠AED＝∠ACB，
∵∠AGF是△EFG的一个外角，
∴∠AGB＝∠F+∠AEF
＝∠F+∠ACB，
在△ABG中，∠A+∠ABG+∠AGB＝180°，
∴∠A+∠ABC+∠F+∠ACB＝180°，
∠A+∠F+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∠A+∠F+（180°﹣∠A）＝180°，
整理得：∠A+∠F＝90°，
∵3∠A＝4∠F，
∴∠F＝∠A，
∴∠A+∠A＝90°，
解得：∠A＝72°．
故选：C．
9．解：∵∠B＝48°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝BAC＝32°，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝68°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝22°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝32°﹣22°＝10°，
故选：A．
10．解：①54°角是α，则友好角度数为54°；
②54°角是β，则 α＝β＝54°，
所以，友好角α＝108°；
③54°角既不是α也不是β，
则α+β+54°＝180°，
所以，α+α+54°＝180°，
解得α＝84°，
综上所述，“友好角α”的度数为54°或84°或108°．
故选：D．
11．解：∵∠BCD是△ABC的外角，∠A＝25°，∠B＝75°，
∴∠BCD＝∠A+∠B＝25°+75°＝100°，
故答案为：100°．
12．解：∵∠ECD是△BCE的外角，∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝35°+25°＝60°，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ACD＝2∠ECD＝120°，
故答案为：120°．
13．解：∵∠C＝30°，∠D＝45°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
延长FD交MG于P点，延长AB交FP于Q点，
∴∠QBE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠QDE＝＝180°﹣∠FDE＝180°﹣45°＝135°，
∵∠FPM＝∠DNG+∠G＝∠DNG+50°，
∴∠BQD＝∠GMB+∠FPM＝GMB+∠DNG+50°，
∠BQD+∠QDE+BED+∠QBE＝360°，
∴∠GMB+∠DNG+50°+135°+∠BED+120°＝360°
∴∠GMB+∠BED+∠DNG＝55°，
故答案为：55°．
14．解：在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝35°，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣35°＝25°，
故答案为：25°．
15．解：∵∠AOP＝40°，OE平分∠AOP，
∴∠EOP＝∠AOP＝20°，
而△EOF以以每秒6°绕逆时针转，
PQ以以每秒9°绕O顺时针转
①如图1中，当OP′平分∠E′OF′时，
∠E′OP′＝20°+（6°+9°）m
＝∠EOF＝50°
则m＝2，
∠COP′＝90°﹣40°﹣2×9°
＝32°；
②如图2中，当OQ′平分∠E′OF′时，
则有6m+9m+20°＝360°﹣130°．
则m＝14，
∠COP′＝9°×14﹣（90°﹣40°）＝76°，
故答案为：32°或76°．
16．解：∵∠A＝40°，∠B＝72°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣72°＝68°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACB＝34°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝180°﹣90°﹣72°＝18°，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝34°﹣18°＝16°，
∵DF⊥CE，
∴∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝180°﹣90°﹣16°＝74°，
故答案为：74°．
17．解：∵将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，
∴∠EDA′＝∠EDA，∠DEA′＝∠DEA，
∵∠BDA′+2∠EDA＝180°，∠CEA′+2∠DEA＝180°，
∴∠BDA′+2∠EDA+∠CEA′+2∠DEA＝360°，
∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，
∴∠EDA+∠DEA＝145°，
∴∠A＝35°，
故答案为：35．
18．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝65°，
∴∠A＝25°，
故答案为：25°．
19．解：设两个锐角度数为x°，3x°，
由题意得：x+3x＝90，
解得：x＝22.5，
∴较小的锐角是22.5°．
故答案为：22.5°．
20．解：∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”，故①正确，②错误，
∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．故③正确，
∵△ABC是“灵动三角形”
①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．故④错误，
故答案为：①③．
21．解：（1）∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠DCG＝∠B．
∵∠B＝87°，
∴∠DCG＝87°；
（2）AD∥BC．
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠CFE．
又AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠DAF＝∠CFE．
∵∠CFE＝∠AEB，
∴∠DAF＝∠AEB，
∴AD∥BC．
22．解：（1）∵∠D＝∠B＝100°，∠AED＝∠CEB，∠D+∠DAE+∠AED＝∠B+∠ECB+∠CEB＝180°，
∴∠DAE＝∠ECB，
∵∠DAB的平分线与∠BCE的平分线交于点G
∴∠DAG＝∠GAF＝∠ECF＝∠FCB，
∵∠B＝100°，
∴∠FCB+∠CFB＝80°，
∵∠CFB＝∠AFG，
∴∠AFG+∠FAG＝80°，
∵∠AFG+∠GAF+∠G＝180°
∴∠G＝100°；
（2）CF||AM．
理由：∵∠D＝∠B＝90°，∠AED＝∠CEB，∠D+∠DAE+∠AED＝∠B+∠ECB+∠CEB＝180°，
∴∠DAE＝∠ECB，
设∠DAE＝∠ECB＝x，
∴∠DAE＝∠EAG＝x，
∴∠EGA＝90°+x，
∵∠BCN＝180°﹣x，CF平分∠BCN，
∴∠FCB＝x，
∴∠FCE＝∠BCE+∠FCB＝x+90°﹣x＝90°+x，
∴∠FCE＝∠EGA，
∴CF||AM．
23．解：∵∠B＝40°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝36°，
∵AE是高，∠C＝68°，
∴∠EAC＝90°﹣∠C＝22°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝36°﹣22°＝14°．
24．解：（1）∵BE，DE分别平分∠ABD，∠BDC，
∴∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，
∵∠EBD+∠BDE＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∠EFD+∠BDE＝90°，理由：
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠EBD，
∴∠EFD＝∠EBD，
∵∠EBD+∠BDE＝90°，
∴∠EFD+∠BDE＝90°．
25．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∵MN∥BC，
∴∠AED＝∠C＝72°，
∴∠AEN＝180°﹣∠AED＝180°﹣72°＝108°．
26．解：（1）∵∠MON＝90°，
∴∠OBA+∠OAB＝90°，
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC+∠BAC＝×90°＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135；
（2）在△AOB中，
∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n，
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n），
即∠ABC+∠BAC＝90°﹣n°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°；
故答案为：90°+n；
（3）∵BC、BD分别是∠OBA和∠NBA的角平分线，
∴∠ABC＝∠OBA，∠ABD＝∠NBA，∠ABC+∠ABD＝∠OBA+∠NBA，∠ABC+∠ABD＝（∠OBA+∠NBA）＝90°，
即∠CBD＝90°，
同理：∠CAD＝90°，
∵四边形内角和等于360°，
∴∠ACB+∠ADB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
由（1）知：∠ACB＝90°+n°，
∴∠ADB＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°，
∴∠ACB+∠ADB＝180°，
∠ADB＝90°﹣n°；
（4）∠E的度数不变，∠E＝40°；
理由如下：
∵∠NBA＝∠AOB+∠OAB，
∴∠OAB＝∠NBA﹣∠AOB，
∵AE、BC分别是∠OAB和∠NBA的角平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠CBA＝∠NBA，
∠CBA＝∠E+∠BAE，
∠NBA＝∠E+∠OAB（等量代换），
∠NBA＝∠E+（∠NBA﹣∠AOB），
∠NBA＝∠E+∠NBA﹣40°，
∴∠E＝40°
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