九年级下册28.2 解直角三角形及其应用课时练习

28.2解直角三角形及其应用同步练习人教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

2. 南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为，大桥主架的顶端D的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为

A.  B.  C.  D.

3. 某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北编东方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为参考数据：，

A. 225m B. 275m C. 300m D. 315m

4. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度或坡比：的山坡AB上发现有一棵古树测得古树底端C到山脚点A的距离米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直，则古树CD的高度约为
   参考数据：，，

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

5. 如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是，若，则此斜坡的水平距离AC为

A. 75m B. 50m C. 30m D. 12m

6. 如图，中，，点D在AC上，若，，则BD的长度为

A.
B.
C.
D. 4

7. 如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度是测得教学楼的顶部A处的仰角为则教学楼的高度是

A.
B. 54m
C.
D. 18m

8. 如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为，大桥主架的顶端D的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为

A.
B.
C.
D.

9. 小军从A地沿北偏西方向走10m到B地，再从B地向正南方向走20m到C地，此时小军离A地   

A.  B. 10m C. 15m D.

10. 如图，在中，，，，则AB长为   

A. 12 B. 14 C.  D.

11. 如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为若，，则ABCD的面积是

A.  B.  C.  D.

12. 从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为时，船离灯塔的水平距离是

A. 米 B. 米 C. 21米 D. 42米

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为若测角仪的高度是，则建筑物AB的高度约为______结果保留小数点后一位，参考数据：，，
    
     

14. 如图，在中，，，，点D是AC边上的动点不与点C重合，过D作，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设，的面积为S，则S与x之间的函数关系式为          ．

15. 如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为______米．精确到1米，参考数据：约等于，约等于

16. 如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为，点C的仰角为，点P到建筑物的距离为米，则______米．
    
    
    
     

17. 如图，为了测量铁塔AB的高度，在离铁塔底部点米的C处，测得塔顶A的仰角为，那么铁塔的高度______米．

三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）

18. 疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家．如图，一条笔直的街道DC，在街道C处的正上方A处有一架无人机，该无人机在A处测得俯角为的街道B处有人聚集，然后沿平行于街道DC的方向再向前飞行60米到达E处，在E处测得俯角为的街道D处也有人聚集．已知两处聚集点B、D之间的距离为120米，求无人机飞行的高度参考数据：，，，

19. 如图，某测量船位于海岛P的北偏西方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处，求测量船从A处航行到B处的路程结果保留根号．
    
     

20. 如图，在中，，D是BC边上一点，，，设．
    求sina、cosa、tana的值；
    若，求BD的长．
     

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）

21. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，测得，，根据测得的数据，求AB的长结果取整数．
    参考数据：，，．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在中，，D为BC上一点，，，．
    求AD的长；
    求的值．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．
利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．
【解答】
解：在中，，米，
米．
故选：A．  

2.【答案】C
 

【解析】解：在和中，，，，
，，
；
故选：C．
在和中，由三角函数得出，，得出即可．
本题考查了解直角三角形仰角俯角问题；由三角函数得出BC和BD是解题的关键．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：如图，作于设，．

在中，，即，
在中，，即，
解得，，
，
故选：C．
如图，作于设，构建方程组求出x，y即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
 

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，根据已知条件得到：，设，，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，：，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
答：古树CD的高度约为米，
故选：C．  

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．
【解答】
解：，，，
，
解得，，
故选A．  

6.【答案】C
 

【解析】解：，，，
，
，
．
，
，
故选：C．
在中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在中由三角函数求得BD．
本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：过D作，则四边形BCDE为矩形，
在D处测得教学楼顶端A的仰角为，
，
，
，
，
故选：C．
根据锐角三角函数和直角三角形的性质解答即可．
此题考查了仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：在中，
，
在中，
，
．
故选：C．
根据直角三角形锐角三角函数即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握直角三角形锐角三角函数．
 

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形--方向角问题．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．
【解答】
解：如图所示

，
在中，，，
．
在中，．
故选：D．  

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形，作于H，首先解，求出CH，BH，然后解，求出AH即可．
【解答】
解：作于H，

，，
，，
，
，
，
故选D．  

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形，过点C作于点E，进而得出EC的长，再利用三角形面积公式求出即可． 
【解答】
解：过点C作于点E．
在ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为，，，
，
，
．
ABCD的面积是，
故选A．
 

12.【答案】A
 

【解析】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为米
故选：A．
在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
本题考查解直角三角形的应用仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

13.【答案】
 

【解析】解：如图，过点D作，垂足为点E，则，，

在中，
，
米，
米，
故答案为：．
作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

14.【答案】x
 

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出的面积即可解决问题．

【解答】解：在中，，故可设，则，
，，，，

点F是BD的中点，
的面积为的面积的一半，
因此，，
即  

15.【答案】566
 

【解析】

【分析】
考查了解直角三角形的应用方向角的问题．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
通过解直角求得OC的长度，然后通过解直角求得OB的长度即可．
【解答】
解：如图，设线段AB交y轴于C，
在直角中，，则．
米，

米．
在直角中，，米，
米．
故答案是：566．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得到答案．
【解答】
解：在中，，
则，
在中，，
，
，
故答案为：．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出AB的值进而得出答案．
【解答】
解：由题意可得：，
解得：，
答：铁塔的高度AB为
故答案为：．  

18.【答案】解：如图，过点E作于M．

．
．
，，
，
四边形AEMC为矩形．
 米．
设  米．
则米．米．
在 中，
．
，
解得：，
 米．
飞机高度为180米．
答：无人机飞行的高度AC为180米．
 

【解析】过点E作于设米．则米．米，得出，解出x即可得出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

19.【答案】解：为南北方向，
和分别为直角三角形，
在中，
，
海里，
海里，
在中，
海里，
海里．
答：测量船从A处航行到B处的路程为海里．
 

【解析】将AB分为AE和BE两部分，分别在和中求解．要利用的角所对的直角边是斜边的一半和等腰直角三角形的性质解答．
本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，找到题目中的特殊角并熟悉解直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】解：在中，
，，
．
，，；

在中，
，
即，
，
．
 

【解析】根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解．
由和求得的，根据直角三角形锐角三角函数求出BC，从而求出BD的长．
考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质和相似三角形的性质，进行逻辑推理能力和运算能力．
 

21.【答案】解：如图，过点A作，垂足为D，
，
，
设，
在中，，，
又，即，
，
解得，，
答：AB的长约为160m．
 

【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
 

22.【答案】解：，可设，得，
，
，
解得，舍去，或，
，，
，
，
；
过点作于点E，

，可设，则，
，
，
解得，舍，或，
，
．
 

【解析】本题是解直角三角形的应用，主要考查了解直角三角形，勾股定理，第二小题关键是构造直角三角形．
根据，可设，得，再由勾股定理列出x的方程求得x，进而由勾股定理求AD；
过点D作于点E，解直角三角形求得BE与DE，进而求得结果．