人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试单元测试课后测评

27相似单元单元测试卷人教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，点E是AB的中点，，，若，则AB的长是

A. 7
B.
C.
D. 10

2. AD是的中线，E是AD上一点，，BE的延长线交AC于F，则的值为

A.
B.
C.
D.

3. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则的面积为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，BE是的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点若，则 

A.       2 B.  C.  D.

5. 如图，已知平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点．EF与对角线AC交于P，若、b、m、n均为正数，则的值为　　

A.  B.  C.  D.

6. 下列命题是真命题的是

A. 如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为2：3
B. 如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9
C. 如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为2：3
D. 如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为4：9

7. 若∽，相似比为1：2，则与的面积的比为

A. 1：2 B. 1：4 C. 2：1 D. 4：1

8. 如图，在中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，，，AE、DH分别交BC于点G、F，则下列结论错误的是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在正方形网格上有5个三角形三角形的顶点均在格点上：，，，，，在至中，与相似的三角形是

A.  B.  C.  D.

11. 如图，中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，有AF：：5，连接CF，并延长交AB于E，则AE：EB等于

A. 1：6
B. 1：8
C. 1：9
D. 1：10

12. 如图，在中，若，，，则BC的长为    

A. 8cm
B. 12cm
C. 11cm
D. 10cm

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作交DB的延长线于点若，，则的值为__________．
    
     

14. 如图，已知与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，若点，点，则______．
    
    
     

15. 如图，在平面直角坐标系中有两点和，以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且CD在y轴右侧，则点D的坐标为______．

16. 如果∽，且的面积为，的面积为，那么与相似比为______．

三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）

17. 通分：，；   和．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，AB是的直径，CD与相切于点C，与AB的延长线交于D．
    求证：∽；
    若，，求半径．
     

19. 如图，在中，，以AB为直径作分别交BC、AC于点D、F两点，连接AD，点E为AC延长线上一点，连接BE，若．
    求证：BE为的切线；
    若，，求半径．
    
     

四、解答题（本大题共3小题，共24.0分）

20. 如图，在中，BD平分，交AC于点D，点E是上AB一点，连接DE，证明：∽．
    
     

21. 如图，在中，，分别交AB，AC于点M，若，，，求MN的长．

22. 如图，在中，，点E在边BC上移动点E不与点B，C重合，满足，且点D、F分别在边AB、AC上．
    求证：∽；
    当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分．
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
证明∽，可得，由此即可解决问题．
【解答】
解：，，
，
，
∽，
，
点E是AB的中点，
，
，
，
，
．
故选：C．  

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线分线段成比例正确找到比例关系是解题的关键．
过点D作交AC于H，根据得到，，即可求出的值．
【解答】
解：过点D作交AC于H，

是的中线，
，
，
，，
，
，
的值．
故选D．  

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了黄金分割，也考查了等腰三角形的性质．
作于H，如图，根据等腰三角形的性质得到，则根据勾股定理可计算出，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到，则计算出，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】
解：作于H，如图，
，
，
在中，，
，E是边BC的两个“黄金分割”点，
，
，

．
故选A．  

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作，构造相似三角形是解题的关键．过点E作交AD于G，可得∽，根据相似三角形的性质可得；再证明∽即可．
【解答】
解：如图，过点E作交AD于G，

是的中线，

点E是AC的中点，

，

过点E作交AD于G，

，，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

故选B．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理的运用．
过点E作，交AC于点O，利用平行线分线段成比例及三角形相似就可以表示出AO、CO的比值，进而表示出，与的比值，再表示出EO、BC的比值，从而表示出EO，利用∽可以表示出PO，代入第一个比例式就可以求出结果．
【解答】
解：过点E作，交AC于点O，

四边形ABCD是平行四边形，

，，

，，，

，，，

令，，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

答案正确，

故选C．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的性质，关键是熟练掌握有关性质和定理．
根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【解答】
解：A、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的周长比为4：9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为16：81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4：9，那么这两个三角形的面积比为16：81，是假命题；
故选：B．  

7.【答案】B
 

【解析】解：∽，相似比为1：2，
与的面积的比为：：4．
故选：B．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式即可求解．
本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：四边形AFDE是平行四边形，
，，
，，
故A，B正确，
，
，
故C错误；
，
，
四边形AFDE是平行四边形，
，
，
故D正确；
故选：C．
根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到，，即可得到结论．
本题考查了平行线分线段成比例和平行四边形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：，，
四边形AEDH是平行四边形，
，
，
∽，
，故A正确，
，
，，
，故B正确，
，
，故D正确，
故选：C．
利用平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质一一判断即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：由题意：中，，
又，
，，
∽∽，
故选：A．
根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】D
 

【解析】解：如图：过点D作交AB于G，
是BC边上的中线，
，
．
，：：：5．
：：10．
故选：D．
过点D作EC的平行线，得到BE的中点G，再用平行线分线段成比例定理得到AE：：FD，然后求出AE：EB的值．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题目求出AF：FD的值，可以过点D作EC的平行线，得到BE的中点，再根据平行线分线段成比例定理得到AE：：FD，可以求出AE：EB的值．
 

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
根据平行线分线段成比例，可以求得AD与AB的比值，进而可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】
解：，
∽，
，
又 ，
，
，
，
，
故选B．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了矩形的性质．作于H，如图，利用矩形的性质得，，则根据勾股定理可计算出，，接着利用面积法计算出 ，于是利用勾股定理可计算出，然后证明∽，最后利用相似比可求出 
的值．
【解答】
解：作于H，如图，
四边形ABCD为矩形，
，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
∽，
，
．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了位似变换、坐标与图形性质、勾股定理等知识点，能求出点和的坐标是解此题的关键．
根据位似图形的性质和已知求出和，求出，根据勾股定理求出即可．
【解答】
解：过作轴于D，
与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，点，点，
，，
，，，
，
，
故答案为：根据位似图形的性质和已知求出和，求出，根据勾股定理求出即可．  

15.【答案】
 

【解析】解：以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，，
点D的坐标为，即，
故答案为：
根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
 

16.【答案】1：2
 

【解析】解：的面积为，的面积为，
与的面积比为1：4，
∽，
与相似比为1：2，
故答案为：1：2．
根据题意求出与的面积比，根据相似三角形的性质解答．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

17.【答案】解：；

【解析】此题考查了通分，解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂．

将两式系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可得出答案；

将两式系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可得出答案．

18.【答案】证明：如图，连接CO，

与相切于点C，
，
是圆O的直径，
，
，
，
，
，
在和中，

∽．
解：设CD为x，
则，，
，
，
，
由知，∽，
，
即，
解得，
，
半径是．
 

【解析】此题主要考查了切线的性质，以及勾股定理，相似三角形的判定与性质，要熟练掌握．
首先连接CO，根据CD与相切于点C，可得：；然后根据AB是圆O的直径，可得：，据此判断出，即可推得∽．
首先设CD为x，则，，用x表示出OD、BD；然后根据∽，可得：，据此求出CB的值是多少，即可求出半径是多少．
 

19.【答案】证明：，
，
，，，
，
是的直径，
，
，
，
为的切线；
连接BF，

是的直径，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
的半径为．
 

【解析】证得，由圆周角定理得出，证得，则可得出答案；
连接BF，证明，得出，求出，则可得出答案．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形相似的性质和判定，利用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
 

20.【答案】证明：平分，
．
，
，
．
 

【解析】本题考查了相似三角形的判定，牢记“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键．
由角平分线的定义可得出，结合即，即可证出．
 

21.【答案】解：，
∽，
，
，，，
，
．
 

【解析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形对应边成比例．首先判定∽，根据相似三角形的性质可得，然后再代入相应数据可得答案．
 

22.【答案】解：，
，
，
，
，
，
∽；

∽，
，
点E是BC的中点，
，
，
，
∽，
，
平分．
 

【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和、平角的定义得到，于是得到结论；
根据相似三角形的性质得到，，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．