初中数学人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试综合训练题

24.3正对边形和圆同步练习人教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，正六边形ABCDEF内接于，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为     

A. 2 B.  C.  D.

2. 如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，对角线AC，BD相交于点P，有下列结论：
    

；；四边形APDE是菱形；．

其中正确的结论是     

A.  B.  C.  D.

3. 如图，四边形ABCD为的内接正四边形，为的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为

A. 8
B. 10
C. 12
D. 15

4. 如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是

A. 3 B. 4 C. 5 D. 无法确定

5. 如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则AD：

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

6. 若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为，，，则   

A.  B.  C.  D.

7. 如图，点O是正五边形ABCDE的中心，是正五边形的外接圆，则的度数为   

A.  B.  C.  D.

8. 如图，正六边形ABCDEF内接于，连接则的度数是

A.
B.
C.
D.

9. 如果一个正多边形的中心角是，则此多边形的边数是   

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

10. 如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为

A.
B. 12cm
C.
D.

11. 如图，正六边形ABCDEF内接于，的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为   

A. 3
B. 6
C.
D.

12. 正六边形ABCDEF内接于，正六边形的周长是12，则的半径是

A.
B. 2
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为______．
14. 如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为          cm．

15. 若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的内角和是______ 度
16. 如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则的面积为          ．

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

17. 已知正八边形ABCDEFGH，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
    在图中，作一个正方形；
    在图中，作一个与原图形不相同的正八边形．

18. 如图，在圆内接正八边形ABCDEFGH中，的面积为求正八边形ABCDEFGH的面积．
    
     

四、解答题（本大题共4小题，共32.0分）

19. 如图，外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且，，求正方形ABCD的边长和PB的长．
    
    
     

20. 如图，正三角形ABC的边长是，求此正三角形的半径、边心距和面积．
    
    
    
     

21. 如图，A，B，C，D，E是上的5等分点，连接AC，CE，EB，BD，DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．
    
    计算的度数
    连接AE，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 作图与证明：

如图，已知和上的一点A，请完成下列任务：

用尺规作的内接正六边形

连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，求出BM是解决问题的关键．
连接OC、OB，证出是等边三角形，求出BM，根据勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，连接OB，OC．

因为多边形ABCDEF是正六边形，所以，
因为，所以是等边三角形，
所以，，
所以，
所以．
故选B．

2.【答案】B
 

【解析】

 【分析】

本题主要考查了正多边形和圆，多边形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形的三边关系，菱形的判定，掌握这部分知识是解决本题的关键，根据正五边形的性质及多边形的内角和定理可判定，；可先判定是平行四边形，再由一组邻边相等可证明；根据三角形的三边关系可判断．
【解答】
解：五边形ABCDE是正五边形，
，
，
．
故正确，
同理：，
，
故正确，
，
，，，
四边形APDE是平行四边形，
又，
平行四边形APDE是菱形，
故正确，
，，
，
在中，，，
，
，
故错误，
故选B．

3.【答案】C
 

【解析】解：连接OA、OD、OF，如图，
，AF分别为的内接正四边形与内接正三角形的一边，
，，
，
，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值．
本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成是大于2的自然数等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：设AB是正多边形的一边，，

因为正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，
所以，
即，
在直角中，，
，
，
则正多边形边数是：．
故选：B．
设AB是正多边形的一边，，在直角中，利用三角函数求得的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即可求得边数．
本题考查正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的性质．
 

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
连接OA、OB、OD，过O作于H，由垂径定理得出，证出是等腰直角三角形，，，得出，，则，进而得出答案．
【解答】
解：连接OA、OB、OD，过O作于H，如图所示：

则，
正方形ADEF和等边三角形ABC都内接于，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
故选：B．  

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查的是正多边形和圆有关知识，经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是连接OA，则在直角中，，OC是边心距，OA即半径．根据三角函数即可求解．
【解答】
解：设圆的半径为R，则正三角形的边心距为，四边形的边心距为，正六边形的边心距为，
则边心距之比为．
故选A．  

7.【答案】C
 

【解析】如图，连接AO、EO，

在正五边形ABCDE中，， 
．
故选 C．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：在正六边形ABCDEF中，
，，
，
故选A．
根据正六边形的内角和求得，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．
 

9.【答案】B
 

【解析】略
 

10.【答案】C
 

【解析】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
，
，
四边形ABCO是菱形，
，，
，
，
，且，
，
．
故选：C．
根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是，再根据锐角三角函数的知识求解．
本题考查了正多边形和圆的知识．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行求解是解此题的关键．
 

11.【答案】A
 

【解析】略
 

12.【答案】B
 

【解析】解：连接OB，OC，

多边形ABCDEF是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
正六边形的周长是12，
，
的半径是2，
故选：B．
连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得的半径，进而可得出结论．
本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：如图所示，连接OB、OC，过O作，设此正方形的边长为a，
，
，
即．
故答案为：．
先根据题意画出图形，再连接OB、OC，过O作，设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质得出，再由勾股定理即可求解．
本题考查的是正多边形和圆，解答此类问题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的是正多边形和圆的知识，掌握正三角形的性质、正六边形的中心角的计算公式是解题的关键．作于N，根据正三角形和正六边形的性质求出正六边形DFHKGE的面积，根据三角形的面积公式计算即可．

【解答】

解：如图，取正六边形的中心O，过点O作于N，连接OH，
六边形DFHKGE是正六边形，
，，，
由勾股定理得，
则正六边形DFHKGE的面积为，
设这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为hcm，
则，解得．

15.【答案】1260
 

【解析】解：正多边形的一个中心角为，
，
这个正多边形是正九边形，
这个正九边形的内角和等于．
故答案为1260．
根据题意可得这个正多边形是正九边形，即可求出正九边形的内角和．
本题考查了正多边形和圆、多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的相关性质．
 

16.【答案】
 

【解析】如图，连接BF，BE，过点A作于T，

六边形ABCDEF是正六边形，

，，，
．

，，

，，

，
，

 cm．
 cm，

，，

，

17.【答案】解：连接BD，DF，FH，HB，四边形BDFH即为所求正方形；
依次连接原正八边形ABCDEFGH的各边中点，可得所求正八边形．
 

【解析】连接BD，DF，FH，HB，由原图形为正八边形，得到各边相等，各内角相等，可得三角形BCD，三角形DEF，三角形FGH，三角形ABH全等，进而得到四边形BDFH四边相等，利用等边对等角以及正八边形的内角，确定出四边形BDFH四个角都为直角，可得出四边形BDFH即为所求正方形；
依次连接原正八边形ABCDEFGH的各边中点，依次得到四周小三角形全等，得到红线部分八边形各边相等，再利用等边对等角以及正八边形的内角，确定出八边形八个角都相等，可得所求正八边形．
此题考查了作图复杂作图，正方形的判定与性质，以及正多边形和圆，熟练掌握正多边形的判定与性质是解本题的关键．
 

18.【答案】解法一：取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与全等的三角形构成易得的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为．
解法二：过C作于L，连接HE，则四边形ADEH是矩形；
设正八边形的边长为a，，
则，
，即，
正八边形的内角度数为，
，
是等腰直角三角形，设，
，即，
，
，
，，
，
同理，，
矩形ADEH

．
 

【解析】过C作于L，连接HE，设正八边形的边长为a，；先根据的面积求出矩形ADEH的面积，再根据正多边形内角和定理求出各内角的度数，判断出的形状，求出边长；进一步可求出梯形ABCD的面积，根据即可解答．
 

19.【答案】解：连接AC，作于E，如图所示：
四边形ABCD是正方形，
，，，
是的直径，是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
 

【解析】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
连接AC，作于E，由正方形的性质得出，，，由圆周角定理得出AC是的直径，是等腰直角三角形，得出，，由勾股定理得出，得出，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，再由勾股定理得出，即可得出PB的长．
 

20.【答案】解：如图，设点O是正三角形ABC的中心，

连接OB，OC，过点O作于点D，

则，，

，，

．

在中，，

．

，

．

．
．

 ．

此正三角形的半径是2，边心距是1，面积是．

【解析】见答案
 

21.【答案】解：如图，连接OC，OD．

，B，C，D，E是上的5等分点，
．

，
．

证明：，B，C，D，E是上的5等分点，
．
．
．
 ．
．

【解析】见答案
 

22.【答案】 解：如图，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，
连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF即为所求．

四边形BCEF是矩形．

理由：如图，连接OE，
 

六边形ABCDEF是正六边形，

，

，

，

，

四边形BCEF是平行四边形．

六边形ABCDEF为正六边形，

．

，

，

，

四边形BCEF是矩形．

【解析】见答案