陕西中考数学真题汇编综合课件 5 二次函数

这是一份陕西中考数学真题汇编综合课件 5 二次函数，共27页。PPT课件主要包含了第1题图，第1题解图，第2题图，第2题解图，第3题图，第3题解图，第5题解图，第6题图，第6题解图，∵点A21等内容，欢迎下载使用。
类型一　二次函数与特殊三角形判定
1. (2020陕西24题10分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点M(1，3)和N(3，5)．(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(－2，0)，且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
∴抛物线的表达式为y＝x2－3x＋5.(2分)对于方程x2－3x＋5＝0，∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×5＝9－20＝－11＜0，∴抛物线与x轴无交点；(3分)
(2)将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位．理由如下：
如解图，∵△AOB是等腰直角三角形，点A的坐标为(－2，0)，点B在y轴上，
∴点B的坐标为B1(0，2)或B2(0，－2)．(5分)设平移后的抛物线的表达式为y＝x2＋mx＋n.①当平移后的抛物线经过点A(－2，0)、B1(0，2)时，
∴平移后的抛物线为y＝x2＋3x＋2.(7分)∴该抛物线的顶点坐标为
∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；(8分)
②当平移后的抛物线过点A(－2，0)，B2(0，－2)时，
∴平移后的抛物线为y＝x2＋x－2.(9分)
∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．(10分)
类型二　 二次函数与特殊四边形判定
2. (2017陕西24题10分)在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．(1)求抛物线C1、C2的函数表达式；(2)求A、B两点的坐标；(3)在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线C1与C2关于y轴对称，∴C1与C2交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同．∴a＝1，n＝－3.(2分) ∴C1的对称轴为直线x＝1.∴C2的对称轴为直线x＝－1. ∴m＝2.(3分)∴C1：y＝x2－2x－3，C2：y＝x2＋2x－3；(4分)(2)令C2中y＝0，则x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∵点A在点B左侧，∴A(－3，0)、B(1，0)；(6分)(3)存在．(7分)如解图，设P(a，b)，则Q(a＋4，b)或(a－4，b)．
①当Q(a＋4，b)时，得：a2－2a－3＝(a＋4)2＋2(a＋4)－3.解得a＝－2.∴b＝a2－2a－3＝4＋4－3＝5.∴P1(－2，5)、Q1(2，5)；(9分)②当Q(a－4，b)时，得：a2－2a－3＝(a－4)2＋2(a－4)－3.解得a＝2.∴b＝a2－2a－3＝4－4－3＝－3.∴P2(2，－3)、Q2(－2，－3)．综上所述，所求点的坐标为P1(－2，5)、Q1(2，5)；P2(2，－3)、Q2(－2，－3)．(10分)
类型三　二次函数与图形面积
3. (2017陕西副题24题10分)如图，已知抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)，OB＝OC＝3OA.(1)求抛物线L的函数表达式；(2)在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S△ABC＝2S△OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵A(－1，0)，OB＝OC＝3OA，∴B(3，0)，C(0，－3)．
∴y＝x2－2x－3；(4分)
(2)存在．由题意知，抛物线对称轴为直线x＝1.记直线BC与直线x＝1的交点为M，∴点M即为所求．(5分)理由：如解图，连接AM.
∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴AM＝MB. ∴CM＋AM＝CM＋MB＝BC.∴△ACM的周长＝AC＋BC.在直线x＝1上任取一点M′，连接CM′、BM′、AM′.∵AM′＝M′B， ∴CM′＋AM′＝CM′＋M′B≥BC.∴AC＋CM′＋AM′≥AC＋BC. ∴△ACM的周长最小．(6分)设直线x＝1与x轴交于点D，则MD∥OC.
∴M(1，－2)；(7分)
(3)存在．设点N坐标为(n，n2－2n－3)．∵S△ABC＝2S△OCN，
∴|n|＝2. ∴n＝±2.(8分)当n＝2时，n2－2n－3＝－3.∴N(2，－3)．当n＝－2时，n2－2n－3＝5. ∴N(－2，5)．综上所述，符合条件的点N有(2，－3)或(－2，5)．(10分)
4. (2018陕西24题10分)已知抛物线L：y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；(2)将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A′、B′两点(点A′在点B′的左侧)，并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
解：(1)在y＝x2＋x－6中，令y＝0，得x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2，∴A(－3，0)，B(2，0)．(2分)令x＝0，得y＝－6， ∴C(0，－6)，(3分) ∴AB＝5，OC＝6，
(2)由题意，得A′B′＝AB＝5，要使S△A′B′C′＝S△ABC，只要抛物线L′与y轴的交点为C′( 0，－6)或C′(0，6)即可．设所求抛物线L′的函数表达式为y＝x2＋mx＋6或y＝x2＋nx－6，(7分)∵抛物线L′与抛物线L的顶点纵坐标相同，
解得m＝±7，n＝±1(n＝1舍去)，∴抛物线L′的函数表达式为y＝x2＋7x＋6，y＝x2－7x＋6或y＝x2－x－6.(10分)
5. (2020陕西24题10分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋5x＋4的顶点为M，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)求抛物线y＝x2＋5x＋4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；(3)设(2)中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′、B′两点，与y轴交于C′点．在以A、B、C、M、A′、B′、C′、M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．
解：(1)令y＝0，得x2＋5x＋4＝0.∴x1＝－4，x2＝－1，令x＝0，得y＝4，∴A(－4，0)、B(－1，0)、C(0，4)；[或A(－1，0)、B(－4，0)、C(0，4)也正确](3分)(2)∵点A、B、C关于原点O对称的点分别为(4，0)、(1，0)、(0，－4)，∴设所求抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx－4.(5分)
将(4，0)、(1，0)代入上式，得
∴y＝－x2＋5x－4；(7分)
(3)如解图，取四点A、M、A′、M′，连接AM、MA′、A′M′、M′A、MM′.
由中心对称性可知，MM′过点O，OA＝OA′，OM＝OM′，∴四边形AMA′M′为平行四边形．又知AA′与MM′不垂直，∴□AMA′M′不是菱形．(8分) 过点M作MD⊥x轴于点D.
（求得符合题意的□BMB′M′的面积为 或□CMC′M′的面积为20亦正确）
又∵A(－4，0)、A′(4，0)，∴AA′＝8.∴S□AMA′M′＝2S△AMA′＝
6. (2020陕西副题24题10分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，点A(2，1)．(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；(3)在(2)所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)如解图，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D.∵△AOB为等腰直角三角形，且A(2，1)，∴OB＝OA，∠DOA＋∠AOC＝∠DOA＋∠BOD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD.又∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△AOC≌△BOD.∴BD＝AC＝1，OD＝OC＝2，∴B(－1，2)；(2分)
(2)设经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx(a≠0)，将点A(2，1)、B(－1，2)代入，
∴经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式为
(3)存在．(6分)由题意知，点P在线段OA下方的抛物线上，
则0＜m＜2，如解图，过点P作PQ∥y轴交OA于点Q，连接OP、AP.
∴S四边形ABOP＝S△AOP＋S△AOB
∴当m＝1时，四边形ABOP的面积最大，此时P(1，－ )．(10分)
类型四　二次函数与三角形相似
7. (2019陕西24题10分)在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2＋(c－a)x＋c经过点A(－3，0)和点B(0，－6)，L关于原点O对称的抛物线为L′.(1)求抛物线L的表达式；(2)点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．　
∴L：y＝－x2－5x－6；(2分)
(2)∵点A、B在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6.将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5.∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6.(4分)∵A(－3，0)，B(0，－6)， ∴AO＝3，OB＝6.
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)．∵PD⊥y轴，∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)．∴PD＝m，OD＝m2－5m＋6.∵Rt△POD与Rt△AOB相似，
解得m1＝1，m2＝6.∴P1(1，2)，P2(6，12)．