数学九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试同步训练题

这是一份数学九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试同步训练题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年度北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形单元检测卷一、选择题1.如图，菱形ABCD中，AB=13，AC=10，则BD的长度为（    ） A. 24                              B. 16                             C. 12                     D. 82.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，EF为过点O的一条直线，则图中阴影部分的面积为（   ）  A. 5                           B. 6                             C. 8                         D. 123.矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=v3，则对角线AC的长是(    )            A. 3                                B. 2                            C. 3                                 D. 64.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在边AD上的点F处，若AB=4，BC=5，则AE的长为（    ） A.                         B.                                 C.                       D. 5.如图，已知点E是正方形ABCD的边AD的延长线上一点，连接CE，过点A作AH⊥CE，交CD边于点F，垂足为点H，若DF=1，FC=2，则CE的长为(    )   A.                         B.                       C.                      D. 46.我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形， 则任意矩形的中点四边形是（   ）            A. 矩形                           B. 正方形                  C. 平行四边形              D. 菱形7.如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG．现有如下3个结论：①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③五边形DAGEC的周长是44，其中正确的个数为（  ）  A. 0                                  B. 1                    C. 2                                    D. 3二、填空题8.菱形的一条对角线长为 ，面积是 ，则菱形的另一条对角线长为________cm.    9.如图，已知在菱形 中，对角线 、 相交于点O，已知AC=8，BD=4，则菱形的边长为________.  10.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=OA=4，则AD=________.   11.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE  ， 则∠BED=________度．  12.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,将矩形ABCD折叠使点D和点B重合,折痕为EF,则DE=________.  三、解答题13.如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.求证：四边形BECD是矩形.       14.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．    15.如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．     16.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ， ，OE与AB交于点F.  （1）求证：四边形AEBO的为矩形；    （2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积.          17.如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．   （1）求证：△DCA≌△EAC；    （2）只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．           18.如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；    （2）求证：△DEF是等腰三角形．           19.如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；    （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由           20.如图，在矩形 中，点 在 上， ，且 ，垂足为 .  （1）求证： ；    （2）若 ，求四边形 的面积.        21.如图，在 中，G、H分别是 、 的中点，E、O、F是对角线AC的四等分点，顺次连接G、E、H、F.  （1）求证：四边形 是平行四边形；    （2）若 ，则四边形 是________形；    （3）当 、 满足________时，四边形 是正方形.          22.已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF.  （1）求证：四边形ABEF是菱形：    （2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的大小.                 23.如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF=CE。 求证：（1）BE=DE。    （2）四边形BEDF是菱形。              24.如图     如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，连结CP.（1）求证：△ADP≌△CDP；    （2）如图2，延长AP交线段DC于点Q  ， 交BC的延长线于点G  ， 点M是GQ的中点，连结CM ． 求证：PC⊥MC；    （3）如图3，延长AP交射线DC于点Q  ， 交BC于点G  ， 点M是GQ的中点，连结CM ． 若PM=2, ∠BAP=30º.求AB的长.    25.如图，在四边形 中，对角线 与 交于点O，已知 ， ，过点O作 ，分别交 、 于点E，F，连接 ， . （1）求证：四边形 是菱形：    （2）设 ， ， ，求 的长.            26.如图，在梯形 中， ， ，点M在边 的延长线上，点N在边 上．  （1）如果 ，求证： ；    （2）如果 ，求证：四边形 是菱形．          27.如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E  ， F分别在边AB、AD上，且AE＝DF ． 联结BF、CE ．   （1）求证：BF＝CE；    （2）如果将线段CE绕点E逆时针旋转90°，使得点C落在点G处，联结FG ． 设AE＝x ．   ①试用含x的代数式表示四边形BFGE的面积；②当AF和EG互相平分时，求x的值．
答案一、选择题1.解：∵菱形ABCD，
∴BD=2OB，AC=2OA，AC⊥BD，
∴OA=5，∠AOB=90°
在Rt△AOB中

∴BD=2×12=24.
故答案为：A.
2.解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，∴∠DAO＝∠BCO，在△AEO和△CFO中， ，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴S△AEO＝S△CFO  ， ∴图中阴影部分的面积＝S△BOC＝ S菱形ABCD＝ × ＝5，故答案为：A.3.解：如图，

∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB，
∴∠OCB=∠AOB=30°，
∴AC=2AB=2  ，
故答案为：B.
4.解：由折叠可得BC=CF=5，EF=BE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=4，∠D=90°，BC=AD=5，
在Rt△CFD中，由勾股定理得  ，
∴AF=5-3=2，
设AE为x，则EF=4-x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得  ，
解得  ，
故答案为：C.
5.∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CF=DF+CF=3，∠ADF=∠EDC=90°，
∵ AH⊥CE ，∴∠FHC=90°，
∵∠AFD=∠CFH，
∴DAF=∠HCF，
∴△ADF≌△CDE（ASA）
∴DE=DF=1，
∴CE=. 故答案为：B.6.解：作任意矩形，并连接对角线与各边中点，

∵四边形ABCD为矩形
∴对角线AD=BC
∵E、F、G、H分别为各边中点
∴EH∥BC，EH=BC，FG∥BC，FG=BC
∴EH∥FG且EH=FG
同理EF∥GH且EF=GH
∴中点四边形EFGH为平行四边形
∵AD=BC
∴EF=EH=FG=GH
∴平行四边形EFGH为菱形。
故答案为：D
7.解：由折叠可知： CE＝FE，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中， ，∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），∴AG＝FG，∴AG+EC＝GF+EF＝GE，故①符合题意；∵Rt△ADG≌Rt△FDG，∴∠ADG＝∠FDG，由折叠可得，∠CDE＝∠FDE，∴∠GDE＝∠GDF+∠EDF＝ ∠ADC＝45°，故②符合题意；∵正方形边长是12，∴BE＝EC＝EF＝6，设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2  ， 即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2  ， 解得：x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，EG＝10，∴五边形DAGEC的周长是：12+12+6+4+10＝44，故③符合题意．故答案为：D．二、填空题8.解：设菱形的另一条对角线长为xcm，则 ×6×x=6cm2  ， ∴x=2cm.故答案为：2.
9.解：∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=4， ∴OA= AC=4，OB= BD=2，AC⊥BD，∴ .故答案为： .10.解：∵四边形ABCD为矩形. ∴OA=OB=OD=OC=4.∴BD=OB+OD=4+4=8.在直角三角形ABD中，AB=4，BD=8.由勾股定理可知AD2=BD2-AB2=82-42=48.∴AD=4 .
故答案为：4 .11.∵四边形ABCD是正方形,△AED是正三角形 ∴∠EAD=60°,∠AED=60°,∠DAB=90°,AE=AD=AB∴△AEB是等腰三角形,∠EAB=150°∴∠AEB=∠ABE=15°∴∠BED=45°故答案为：45°12.由折叠的性质知，BE=DE， 设DE= BE=x，则AE=8-x，在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2  ， 则x2+42=（8-x）2  ， 解得：x=3，则ED=8-3=5，故答案为：5.三、解答题13. 证明：∵四边形ABD是平行四边形，  ∴CD＝AB，CD∥AB，∵BE＝AB，∴BE＝CD，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是矩形.14 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中， ，∴△ABE≌△BCF   15. 解：证明：正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠C=90°，所以，∠DAF=90°，所以，∠DAF=∠C，在△ADF和△CDE中，  ，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴DE=DF．   16. （1）证明：∵ ， ，   ∴四边形AEBO为平行四边形，又∵四边形ABCD为菱形，∴ ，∴ ，∴平行四边形AEBO为矩形（2）解：∵四边形AEBO为矩形，  ∴AB＝OE＝10，又∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝ AC＝8，∴ ，∴ ，∴BD＝2BO＝12，∴菱形ABCD的面积＝   .17. （1）证明：在△DCA和△EAC中， ，  ∴△DCA≌△EAC（SSS）
（2）AD=BC（答案不唯一）．   解：（2）添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下： ∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．18. （1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中， ，∴△ADE≌△CED（SSS）
（2）解：由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形19. （1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形
（2）解：当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形20（1）证明：∵在矩形 中，  ∴∠D=90°，AB∥CD，∴∠BAN=∠AMD，∵ ，∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，又∵ ，∴ （AAS）（2）解：∵ ，  ∴AN=DM=4，∵ ，∴ ，∴AB= ，∴矩形 的面积= ×2=4 ，又∵ ，∴四边形 的面积=4 -4-4=4 -821.（1）证明：如图，连接 .  ∵四边形 是平行四边形，E， ，F分别是对角线 上的四等分点∴点 是对角线 、 的交点∴ .∵G是 的中点∴ 为 的中位线∴ ， .同理HF∥OB， ∴EG∥HF， ∴四边形 是平行四边形
（2）矩
（3）AC=2AB，AC⊥AB   （2）如图，连接GH  ∵AC=2AB，AC=2EF∴EF=AB∵G、H分别是AD、BC的中点∴AG= AD，BH= BC∵四边形 是平行四边形∴AD=BC，AD∥BC∴AG=BH，AG∥BH∴四边形AGHB是平行四边形∴GH=AB∴EF=GH由（1）知，四边形GEHF是平行四边形∴四边形GEHF是矩形故答案为：矩（3）当AC=2AB时，由（2）知：四边形GEHF是矩形当AC⊥AB时，由（2）知：四边形AGHB是平行四边形∴GH∥AB∴GH⊥AC即四边形GEHF是正方形 故答案为： ， 22. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∵BO⊥AE，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，∵BO＝BO，在△BOA和△BOE中， ，∴△BOA≌△BOE（ASA），∴AB＝BE，∴BE＝AF，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°， ∴BE＝AB＝4，∠AEB＝60°，∴△ABE是等边三角形，则AE＝AB＝4.23.（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=CD=BC，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°在△ABE和△ADE中，， ∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE=DE（2）解：同理可得△BFC≌△DFC， 可得BF=DF，∵AF=CE，∴AF－EF=CE－EF，即AE=CF，在△ABE和△CBF中， ，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE=BF，∴BE=BF=DE=DF，∴四边形BEDF是菱形.24.（1）证明：∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADP＝∠CDP，AD＝CD．在△ADP和△CDP中， ，∴△ADP≌△CDP（SAS）（2）证明：∵△ADP≌△CDP，∴∠DCP＝∠DAG． 又∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BG，∴∠DAG＝∠G．∴∠DCP＝∠G．又∵∠QCG＝90°，M为GQ中点，∴CM＝QM，∴∠MCQ＝∠MQC．又∵∠G+∠MQC＝90°，∴∠DCP+∠MCQ＝90°，∴PC⊥MC．（3）解：∵M为QG的中点，∠QCG=90°，∴GM=CM=QM， ∵AB∥CQ， ∴∠BAP=∠Q=30°，∴△CGM为等边三角形，由（2）得，∠PCM=90°，∴PG=GM=1，∴CG=1，设AB=x，则BG=x-1，由题意得： ，解得x=AB= 25.（1）证明：∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形，∴AB∥CD，∴ ，∵ ，∴△DOF≌△BOE（ASA），∴ ，∴四边形 是平行四边形，∵ ，∴四边形 是菱形；
（2）解：由（1）可得四边形 是菱形， ∴ ，∵ ， ，∴ ，设 ，则 ，∵ ，∴ ，即 ，解得： ，∴ ，∴∠ABD=30°，∠DAB=60°，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，∴ ，∴ ，∴ .26 （1）证明：∵AD∥BC，BA=AD=DC， ∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠DCM，∵∠ABM+∠ABC=180°，∠DCM+∠D=180°，∴∠ABM=∠D，在△ABM和△CDA中， ，∴△ABM≌△CDA（SAS），∴AM=AC（2）证明：∵∠ANB=∠CAN+∠ACB，∠ANB=2∠ACB， ∴∠CAN+∠ACB=2∠ACB，∴∠CAN=∠ACB，∴AN=CN，∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠CAN=∠ACB=∠DAC=∠DCA，在△ACN和△ACD中， ，∴△ACN≌△ACD（ASA），∴AN=AD，∴AN=CN=AD=DC，∴四边形四边形ADCN是菱形．27. （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=BC，∠A=∠CBE=90°．又∵AE=DF，∴AB-AE=AD-DF，即BE=AF．在△ABF和△BCE中， ，∴△ABF≌△BCE（SAS）．∴BF=CE．（2）解：①如图所示，设CE、BF交于点H， 由（1）中结论可得，∠FBA=∠ECB，∵∠CEB+∠ECB=90°，∴∠CEB+∠FBA=90°，∴∠EHB=90°．由旋转可知∠CEG=90°，∴BF∥EG．又由（1）可知BF=CE，且CE=GE，∴BF=GE．故四边形BFGE为平行四边形．∵AE=x，AB=1，∴BE=1-x=AF．∴S四边形BFGE=BE×AF=（1-x）2 ． ②当AF和EG互相平分时，则四边形AEFG为平行四边形，∵GF∥BE，∴GF∥AE，当GF=AE时，即GF=EB=AE时，∴x=1-x，解得：x=