初中数学北师大版九年级上册第三章 概率的进一步认识综合与测试单元测试课后测评

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初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）
专题3.3第3章 概率的进一步认识单元测试（基础卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•新疆）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．34
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】分别用A、B、C、D表示正方形、正五边形、正六边形和圆，
画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有6种情况，
∴抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为：612=12．
故选：C．
2．（2020•浙江自主招生）如图，有一电路连着三个开关，每个开关闭合与断开是等可能的，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的概率为（　　）

A．12 B．38 C．23 D．34
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得电灯点亮的概率．
【解析】设K1打开用A表示，闭合用a表示，K2打开用B表示，闭合用b表示，K3打开用C表示，闭合用c表示，
树状图如下图所示，

由图可知，点灯点亮的可能性是（aBc）、（abC）、（abc），
则电灯点亮的概率为38，
故选：B．
3．（2020•宁津县一模）将分别标有“武”“汉”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀．随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式计算可得．
【解析】画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的有2种结果，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为212=16，
故选：B．
4．（2020•宛城区一模）为迎接文明城市的验收，某居委会组织了“垃圾处理”和“违规停车”两个检查组，分别对辖区内甲、乙、丙三个小区中的一个进行随机抽查，则两个检查组恰好抽到同一个小区的概率是（　　）
A．23 B．49 C．13 D．19
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和两个检查组恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】根据题意画图如下：

共有9种等可能结果，其两个检查组恰好抽到同一个小区的结果有3种，
则两个检查组恰好抽到同一个小区的概率是39=13；
故选：C．
5．（2020•三门峡一模）某校组织了一场英语演讲比赛，有3名女生和2名男生获得学校一等奖，现准备从这5名获奖选手中选出2名学生，代表学校参加市里组织的英语演讲比赛，最后选出的结果是“一男一女”的概率是（　　）
A．23 B．25 C．35 D．34
【分析】根据题意画出树状图即可求出选出的结果是“一男一女”的概率．
【解析】根据题意画出树状图，

由树状图可知：
所有等可能的结果共有20种，选出的结果是“一男一女”的有12种，
所以选出的结果是“一男一女”的概率是1220=35．
故选：C．
6．（2020•硚口区二模）安全防控，我们一直在坚守，某居委会组织两个检查组，分别对“居民居家安全”和“居民出行安全”的情况进行抽查．若这两个检查组在辖区内的某三个小区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是（　　）
A．13 B．49 C．19 D．23
【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】根据题意列表如下：将三个小区分别记为A、B、C，根据题意列表如下：

A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由表可知，共有9种等可能结果，其中他们恰好抽到同一个小区的有3种情况，
所以他们恰好抽到同一个小区的概率为39=13；
故选：A．
7．（2020•烟台二模）某超市为了吸引顾客，设计了一种返现促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样．规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里一次性摸出两个小球，两球数字之和即为返现金额．某顾客刚好消费280元，则该顾客所获得返现金额不低于30元的概率是（　　）
A．34 B．23 C．12 D．13
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出顾客所获得返现金额不低于30元的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中顾客所获得返现金额不低于30元的结果数为8，
所以顾客所获得返现金额不低于30元的概率=812=23．
故选：B．
8．（2020•武汉模拟）将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为c，则使关于x的一元二次方程ax2﹣6x+c＝0有实数解的概率为（　　）
A．815 B．1730 C．49 D．1736
【分析】列表展示所有36种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到△≥0，从而得到使得一元二次方程ax2﹣6x+c＝0有相等实数解的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】列表得：

∴一共有36种情况，
∵b＝﹣6，当b2﹣4ac≥0时，有实根，即36﹣4ac≥0有实根，
∴ac≤9，
∴方程有实数根的有17种情况，
∴方程有实数根的概率=1736，
故选：D．
9．（2020•滁州模拟）大小分别为40码、41码、42码的3双同品牌同颜色的运动鞋随机地堆放在起，从这堆鞋子中随机拿走两只，这两只恰巧是一双的概率是（　　）
A．15 B．16 C．112 D．115
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的数，再根据概率公式即可得出答案．
【解析】40码、41码、42码的运动鞋分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：

共有30种等可能的情况数，其中两只恰巧是一双的6种，
则这两只恰巧是一双的概率是630=15；
故选：A．
10．（2019秋•甘井子区期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数
100
200
400
1000
“射中9环以上”的次数
78
158
321
801
“射中9环以上”的频率
0.78
0.79
0.8025
0.801
根据表中数据，估计这位射击运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为（　　）
A．0.78 B．0.79 C．0.85 D．0.80
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．
【解析】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.80附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.80．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•徐州期末）一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是　0.32　．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解析】一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，
那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是0.32．
故答案为：0.32．
12．（2020春•赣榆区期中）某口袋中有红色、黄色小球共40个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则口袋中黄球的个数约为　28　．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，所以用黄球的频率乘以总球数求解．
【解析】根据题意得：
40×（1﹣30%）＝28（个）
答：口袋中黄球的个数约为28个．
故答案为：28．
13．（2020春•无锡期中）在一个不透明的袋子里装有白球和黄球共12个，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中黄球约有　9　个．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解析】设袋中黄球有x个，
根据题意得：x12=0.75，
解得：x＝9，
故袋中黄球有9个．
故答案为：9．
14．（2020•鹤壁一模）端午节是我国传统佳节，小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其他均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣粽子和一个豆沙粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦，小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是　16　．
【分析】根据题意可以用树状图表示出所有的可能结果，再由树状图可以得到小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率．
【解析】肉粽记为A、红枣粽子记为B、豆沙粽子记为C，由题意可得，

由树状图可知共有12种可能的结果，其中小悦拿到的两个粽子都是肉馅的情况数为2，
∴小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率=212=16，
故答案为：16．
15．（2020•集美区模拟）一个不透明的袋中有2个红球和1个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．小明先从袋中摸出1个球，不放回，再从袋中摸出1个球，则两次摸出的球都是红球的概率是　13　．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案
【解析】画树状图如下：

由树状图可知，共有6种等可能结果，其中两个小球都是红球的有2种结果，
∴两球恰好都是红球的概率为26=13，
故答案为：13．
16．（2020•渝中区二模）“五一”节期间，刘杰老师准备自驾从甲地经过乙地到丙地旅游．其中甲地到乙地有两条路线，乙地到丙地有三条路线．如果刘杰老师从中任选一条从甲地到丙地的路线，则这条路线恰好是最短路线的概率为　16　．

【分析】设甲地到乙地有A1，A2两条路线，从乙地到丙地有B1，B2，B3三条路线，根据题意用树状图列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解析】设甲地到乙地有A1，A2两条路线，从乙地到丙地有B1，B2，B3三条路线，根据题意画图如下：

共有6种，它们出现的可能性相同，
所有的结果中，选到最短路线记为事件A的结果有1种，
则P（选到最短路线）=16．
故答案为：16．
17．（2020•东莞市一模）如图，小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为15的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外面和各区域边缘）：
投石子的总次数
50次
150次
300次
600次
石子落在空白区域内的次数
14次
85次
199次
400次
石子落在空白区域内的频率
725
1730
199300
23
请根据表格中的数据估计矩形中空白部分的面积是　10　．

【分析】根据统计表，计算出石子落在空白部分的概率，即空白部分面积与总面积的比值，从而可计算出空白部分的面积．
【解析】根据统计表，可得石子落在空白部分的概率为23，
∴空白部分的面积＝15×23=10，
故答案为：10．
18．（2020春•六盘水期末）一抹“凉都绿”，一杯生态茶．凉都茶叶因其得天独厚的生长条件，具有早采、富硒、有机的天然品质，凉都具备发展优质茶产业的先天地理优势，茶产业已成为六盘水农业特色产业之一，下表是我市某茶叶种植合作社脱贫攻坚期间茶树种植成活情况统计表：
种植茶树棵树
3000
5000
8000
10000
20000
…
成活棵树
2690
4507
7195
9003
17998
…
成活率
0.8967
0.9014
0.8993
0.9003
0.8999
…
根据这个表格，请估计这个合作社茶树种植成活的概率为　0.9　（结果保留一位小数）．
【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种茶树种植成活的概率为0.9．
故答案为：0.9．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•碑林区校级四模）五一期间，某商场为了吸引顾客．开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇区城里分别标有“20元”、“30元”、“40元”、“50元”的字样（如图）．规定：同一日内，顾客在本商场每消费满200元，就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的代金券．某顾客当天消费500元，转了两次转盘．
（1）该顾客最少可得　40　元代金券，最多可得　100　元代金券；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求该顾客所获代金券金额不低于80元的概率．

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得该顾客最少可得40元代金券，最多可得100元代金券；
（2）由（1）中的树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获代金券金额不低于50元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】（1）根据题意画树状图如下：

则该顾客最少可得40元代金券，最多可得100元代金券；
故答案为：40，100；

（2）∵共有16种等可能的结果，该顾客所获代金券金额不低于80元的有6种情况，
∴该顾客所获代金券金额不低于80元的概率为：616=38．
20．（2020•雁塔区校级模拟）2020年春，一场新冠肺炎疫情席卷全国，在这场与疫情的战斗中，基层干部也是主力军，不少党员干部放弃春节与家人团聚的机会，吃住在抗“疫”第一线，奋战在防控疫情最需要的地方．某单位甲、乙两名党员计划报名到各社区参加疫情防控工作，现有A、B、C、D四个社区可供他们选择．
（1）党员甲从四个社区随机选择一个报名，求恰好选择A或B社区的概率；
（2）若甲、乙两名党员各随机从四个社区中选择一个报名，请用画树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一个社区的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等情况数和他们恰好选择同一个社区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解析】（1）∵共有四个社区，分别是A、B、C、D，
∴恰好选择A或B社区的概率是24=12；

（2）根据题意画图如下：

共有16种等可能的情况数，其中他们恰好选择同一个社区的有4种，
则他们恰好选择同一个社区的概率是416=14．
21．（2020•碑林区校级一模）小颖设计了一个“配紫色“游戏：如图是两个可以自由转动的转盘A、B，A转盘被分成了面积1：2的两个扇形，B转盘被分成了面积相等的三个扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了（红色与蓝色能配成紫色）．
（1）转动A转盘一次，指针指向红色的概率是　23　；
（2）请利用画树状图成列表的方法求游戏者获胜的概率是多少？

【分析】（1）根据几何概率的意义求解即可；
（2）用列表法同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率．
【解析】（1）∵A转盘被分成了面积1：2的两个扇形，
∴红色区域占整体的23，
因此，转动A转盘一次，指针指向红色的概率是23；
故答案为：23；
（2）用列表法表示同时转动两个转盘，指针指向区域所有可能出现的结果情况如下：

共有9种等可能出现的结果，其中“能配成紫色”的有5种，
∴P（配成紫色）=59，
答：游戏者获胜的概率是59．
22．（2020•碑林区校级三模）西安作为十三朝古都，文化底蕴无比深厚．西安市仅不同分类的博物馆就多达三百多座，其中精彩纷呈的高校博物馆，为人们打开了一扇扇了解人类文明发展的窗口，也成为广大青少年的打卡圣地．小丽和班内同学准备利用周六、周日两天时间从以下5个大学博物馆：西安交通大学西迁博物馆（A）、西北工业大学航空博物馆（B）、陕西师范大学教育博物馆（C）、西北大学历史博物馆（D）、长安大学地质博物馆（E），随机选取2个，周六、周日各参观一个，请你解决下列问题：
（1）请求出小丽周六去西安交通大学西迁博物馆的概率；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求小丽在周末两天可以去陕西师范大学教育博物馆参观的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．
【解析】（1）小丽周六去西安交通大学西迁博物馆的概率为15；
（2）列表如下：

A
B
C
D
E
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）

由表可知，共有20种等可能结果，其中小丽在周末两天可以去陕西师范大学教育博物馆参观的结果有8种，
∴小丽在周末两天可以去陕西师范大学教育博物馆参观的概率为820=25．
23．（2020•碑林区校级四模）中华老字号“德憨恭”糕点是陕西美食之一，皮酥馅软，深受大家喜爱．小珊的妈妈买了两盒“德憨恭“糕点，每个盒子里均装有4块糕点，其中白色纸盒里有2块豆沙馅，1块花生馅和1块蛋黄肉松馅；黄色纸盒里有1块豆沙馅，1块花生馅和2块蛋黄肉松馅．这些糕点外观完全相同．根据以上情况，请你回答下列问题：
（1）求小珊从白色盒子里随机取一块糕点，请直接写出小珊取到豆沙馅糕点的概率；
（2）若小珊先从白色盒子里随机取一块糕点，再从黄色盒子里取一块糕点，请用列表或画树状图的方法，求小珊取到的两块糕点中一个是花生馅，一个是蛋黄肉松馅的概率．（用A、B、C分别代表豆沙馅、花生馅、蛋黄肉松馅糕点）
【分析】（1）小珊从白色盒子里随机取一块糕点，有4种等可能结果，其中小珊取到豆沙馅糕点的有2种可能，利用概率公式求解即可得出答案；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
【解析】（1）小珊从白色盒子里随机取一块糕点，有4种等可能结果，其中小珊取到豆沙馅糕点的有2种可能，
所以小珊取到豆沙馅糕点的概率为24=12；

（2）列表如下：

A
A
B
C
A
（A，A）
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（A，C）
（B，C）
（C，C）
C
（A，C）
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由表可知，共有16种等可能结果，其中小珊取到的两块糕点中一个是花生馅，一个是蛋黄肉松馅的有3种结果，
∴小珊取到的两块糕点中一个是花生馅，一个是蛋黄肉松馅的概率为316．
24．（2019春•路北区期末）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）当n＝1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？
（2）从袋中随机摸出1个球，记录其颜色，然后放回大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是　2　．
（3）当n＝2时，利用树状图，求两次摸出的球（不放回）颜色不同的概率．
【分析】（1）根据球的个数确定是否相同；
（2）利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为0.25，根据概率公式得到11+1+n=0.25，然后解方程即可；
（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】（1）当n＝1时，三种颜色的球个数相同，故摸到红球和白球的可能性相同；

（2）利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为0.25，
则11+1+n=0.25，解得n＝2，
故答案为2；

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球的颜色不同的结果共有10 种，
所以两次摸出的球颜色不同的概率=1012=56．
25．（2019•宿迁三模）在硬地上抛掷1枚图钉，通常会出现如图两种情况：

八（1）班张老师让同学们做抛掷图钉试验，每人抛掷1枚图钉20次，班长小明分別汇总5人、10人、15人…的试验结果，并将获得的数据填入下表：
抛掷次数n
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
顶尖着地的频数m
36
82
111
148
190
b
266
312
351
390
顶尖着地的频率mn
0.36
0.41
0.37
a
0.38
0.40
0.38
0.39
0.39
0.39
（1）填空」a＝　0.37　，b＝　240　；
（2）补全小明根据试验数据绘制的折线统计图；

（3）仔细观察“抛掷图钉试验”的数据统计表和统计图，试估计“钉尖不着地”的概率是多少？
【分析】（1）先由频率＝频数÷试验次数算出频率；
（2）根据表格作出折线统计图即可；
（3）根据表格观察抛掷的次数增多时，频率稳定到哪个数值，这就是概率．
【解析】（1）a＝148÷400＝0.37；b＝600×0.40＝240；
故答案为：0.37，240；
（2）

（3）通过大量试验，发现频率围绕0.39上下波动，于是可以估计概率是0.39，
所以估计“钉尖不着地”的概率是1﹣0.39＝0.61．
26．（2019•福建）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；
维修次数
8
9
10
11
12
频数（台数）
10
20
30
30
10
（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；
（2）试以这100台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？
【分析】（1）利用概率公式计算即可．
（2）分别求出购买10次，11次的费用即可判断．
【解析】（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率=60100=0.6．
（2）购买10次时，
某台机器使用期内维修次数
8
9
10
11
12
该台机器维修费用
24000
24500
25000
30000
35000
此时这100台机器维修费用的平均数
y1=1100（24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300
购买11次时，
某台机器使用期内维修次数
8
9
10
11
12
该台机器维修费用
26000
26500
27000
27500
32500
此时这100台机器维修费用的平均数
y2=1100（26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500，
∵27300＜27500，
所以，选择购买10次维修服务．