高中数学人教A版必修第一册4.5.1 函数的零点与方程的解课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册4.5.1 函数的零点与方程的解课时作业含解析，共1页。

[对应学生用书P71]
知识点1 函数的零点
1．对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点与方程的根的联系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共交点．
[微思考]
函数的零点是函数与x轴的交点吗？
提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
[微体验]
1．函数y＝2x－1的零点是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．2
A [由2x－1＝0得x＝eq \f(1,2).]
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．
答案 两
知识点2 函数零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0. 这个c也就是方程f(x)＝0的解．
[微思考]
该定理具备哪些条件？
提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)0))的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点.
解 (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－eq \f(1,3).
所以函数g(x)的零点为0和－eq \f(1,3).
[方法总结]
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
[跟踪训练1] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2－4x－4；
(2)f(x)＝eq \f(x－1x2－4x＋3,x－3)；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝lg3(x＋1)．
解 (1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2.
所以函数的零点为x＝－2.
(2)令eq \f(x－1x2－4x＋3,x－3)＝0，解得x＝1.
所以函数的零点为x＝1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－50，显然函数f(x)是单调函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)上，所以方程ex＋x＝2的解在区间(0,1)上．]
[方法总结]
1．确定函数零点所在区间的方法
确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．
2．判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值．
(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
[跟踪训练2] (1)使得函数f(x)＝ln x＋eq \f(1,2)x－2有零点的一个区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
C [函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，且f(2)＝ln 2－1ln e－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)>0，∴f(2)·f(3)0，f(2)＝－1＋ln 2＝lneq \f(2,e)