高中数学人教A版必修第一册2.1 等式性质与不等式性质课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册2.1 等式性质与不等式性质课时作业含解析，共1页。

[对应学生用书P19]
知识点1 比较函数大小
1．如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b. 反过来也对. 这个基本事实可以表示为：
eq \a\vs4\al(a＞b⇔ a－b＞0；,a＝b⇔ a－b＝0；,a＜b⇔ a－b＜0.)
2．重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
[微思考]
不等式a≥b和a≤b有怎样的含义？
提示：①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．
知识点2 等式的基本性质
性质1：如果a＝b，那么b＝a；
性质2：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5：如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
知识点3 不等式的性质
性质1：如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.
即a＞b⇔b＜a.
性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c⇒a＞c.
性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；
性质4：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
性质5：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d.
性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.
性质7：如果a＞b＞0，那么an＞ bn(n∈N，n≥2).
[微体验]
1．思考辨析
(1)若a＞b，则ac＞bc一定成立．( )
(2)a＞b⇔a＋c＞b＋c.( )
(3)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．若m＋n＞0，则下列各式中正确的是( )
A．m＞－n B．m＞n
C．m－n＞0 D．m＜n
A [m＋n＞0，即m－(－n)＞0，所以m＞－n.]
3．已知a＞b，c＞d，且cd≠0，则( )
A．ad＞bc B．ac＞bc[来源:Z。xx。k.Cm]
C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d
D [a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项．]
4．若a＞b＞0，n＞0，则eq \f(1,an)_____eq \f(1,bn).(填“＞”“＜”或“＝”)
解析 ∵a＞b＞0，n＞0，∴an＞bn＞0.
∵eq \f(1,an·bn)＞0，∴an·eq \f(1,anbn)＞bn·eq \f(1,anbn)，∴eq \f(1,bn)＞eq \f(1,an).
答案 ＜
[对应学生用书P20]
探究一 用不等式(组)表示不等式关系[来源:学+科+网Z+X+X+K]
用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
解 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0＜x≤18，
这时菜园的另一条边长为eq \f(30－x,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))(m)．
因此菜园面积S＝x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))，依题意有S≥110，
即xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))≥110，
故该题中的不等关系可用不等式表示为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))≥110.))
[方法总结]
不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤
(1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量；
(2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)；
(3)列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件)．
[跟踪训练1] 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．
解 设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根，依题意，可得不等式组：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(500x＋600y≤4 000，,3x≥y，,x≥0，,y≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x＋6y≤40，,3x≥y，,x≥0，,y≥0.))
探究二 比较大小问题
已知x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解 (x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)，
∵x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)＞0，
∴当x＞1时，(x－1)(x2－x＋1)＞0，
即x3－1＞2x2－2x；
当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，
即x3－1＝2x2－2x；
当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0，
即x3－1＜2x2－2x.
[方法总结]
比较两个代数式大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形；
(3)定号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)结论．
提醒：这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提.
[跟踪训练2] 已知a、b为正实数，试比较eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))与eq \r(a)＋eq \r(b)的大小．
解 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))－(eq \r(a)＋eq \r(b))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(b))－\r(b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,\r(a))－\r(a)))
＝eq \f(a－b,\r(b))＋eq \f(b－a,\r(a))＝eq \f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))
＝eq \f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab)).
∵a、b为正实数，
∴eq \r(a)＋eq \r(b)＞0，eq \r(ab)＞0，(eq \r(a)－eq \r(b))2≥0.
于是有eq \f(\r(a)＋\r(b)\r(a)－\r(b)2,\r(ab))≥0，
当且仅当a＝b时等号成立，
∴eq \f(a,\r(b))＋eq \f(b,\r(a))≥eq \r(a)＋eq \r(b)，当且仅当a＝b时取等号．
探究三 不等式的性质及应用
已知c＞a＞b＞0，求证：eq \f(a,c－a)＞eq \f(b,c－b).
证明 由eq \f(a,c－a)－eq \f(b,c－b)＝eq \f(ac－b－bc－a,c－a·c－b)
＝eq \f(a－b·c,c－a·c－b)，
∵c＞a＞b＞0，
∴a－b＞0，c＞0，c－a＞0，c－b＞0，
∴eq \f(a－b·c,c－a·c－b)＞0，
即eq \f(a,c－a)＞eq \f(b,c－b).
[变式探究1] 将本例中的条件“c＞a＞b＞0”变为“a＞b＞0，c＜0”，求证：eq \f(c,a)＞eq \f(c,b).
证明 因为a＞b＞0，所以ab＞0，eq \f(1,ab)＞0.
于是a×eq \f(1,ab)＞b×eq \f(1,ab)，即eq \f(1,b)＞eq \f(1,a).由c＜0，得eq \f(c,a)＞eq \f(c,b).
[变式探究2] 将本例中的条件“c＞a＞b＞0”变为“已知－6＜a＜8,2＜b＜3”，如何求出2a＋b，a－b及eq \f(a,b)的取值范围？
解 因为－6＜a＜8,2＜b＜3，所以－12＜2a＜16，
所以－10＜2a＋b＜19.
又因为－3＜－b＜－2，所以－9＜a－b＜6.
又eq \f(1,3)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2)，①当0≤a＜8时，0≤eq \f(a,b)＜4；
②当－6＜a＜0时，－3＜eq \f(a,b)＜0.
由①②得－3＜eq \f(a,b)＜4.
[方法总结]
利用不等式性质解题的策略
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一个反例．
[对应学生用书P21]
1．比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了．作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论. 作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．
2．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．
课时作业(八) 等式性质与不等式性质
[见课时作业(八)P143]
1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( )
A．v≤120(km/h)或d≥10(m)
B．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(v≤120km/h,d≥10m))
C．v≤120(km/h)
D．d≥10(m)
B [最大限速与车距是同时的．]
2．若x＞1＞y，下列不等式不成立的是( )
A．x－1＞1－y B．x－1＞y－1
C．x－y＞1－y D．1－x＞y－x
A [特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1＜1－(－1)＝1－y，故A不正确．]
3．若m≠2且n≠－1，则M＝m2＋n2－4m＋2n的值与－5的大小关系为( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不确定
A [∵m≠2，n≠－1，∴M－(－5)＝(m－2)2＋(n＋1)2＞0，∴M＞－5.]
4．已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是( )
A．a＞eq \f(a,b)＞eq \f(a,b2) B．eq \f(a,b2)＞eq \f(a,b)＞a
C．eq \f(a,b)＞a＞eq \f(a,b2) D．eq \f(a,b)＞eq \f(a,b2)＞a
D [取a＝－2，b＝－2，则eq \f(a,b)＝1，eq \f(a,b2)＝－eq \f(1,2)，∴eq \f(a,b)＞eq \f(a,b2)＞a.]
5．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )
A．eq \f(1,a)＜eq \f(1,b) B．a2＞b2
C．eq \f(a,c2＋1)＞eq \f(b,c2＋1) D．a|c|＞b|c|
C [对A，若a＞0＞b，则eq \f(1,a)＞0，eq \f(1,b)＜0，此时eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，∴A不成立；对B，若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，∴B不成立；对C，∵c2＋1≥1，且a＞b，∴eq \f(a,c2＋1)＞eq \f(b,c2＋1)恒成立，∴C正确；对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]
6．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为____________．
解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.
答案 －1≤a－b≤6
7．若x∈R，则eq \f(x,1＋x2)与eq \f(1,2)的大小关系为________．
解析 ∵eq \f(x,1＋x2)－eq \f(1,2)＝eq \f(2x－1－x2,21＋x2) ＝eq \f(－x－12,21＋x2)≤0.
∴eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2).
答案 eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2)
8．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则eq \f(1,2)α－β的取值范围是____________．
解析 ∵1＜α＜3，∴eq \f(1,2)＜eq \f(1,2)α＜eq \f(3,2).又－4＜β＜2，
∴－2＜－β＜4. ∴－eq \f(3,2)＜eq \f(1,2)α－β＜eq \f(11,2).
答案 －eq \f(3,2)＜eq \f(1,2)α－β ＜eq \f(11,2)
9．比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.
解 x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)≥0，
∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2，
当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.
综上可知，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时等号成立．
10．(1)a＜b＜0，求证：eq \f(b,a)＜eq \f(a,b)；
(2)已知a＞b，eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，求证：ab＞0.
证明 (1)由于eq \f(b,a)－eq \f(a,b)＝eq \f(b2－a2,ab)＝eq \f(b＋ab－a,ab)，
∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0.
∴eq \f(b＋ab－a,ab)＜0.故eq \f(b,a)＜eq \f(a,b).
(2)∵eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，∴eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＜0，即eq \f(b－a,ab)＜0，而a＞b，
∴b－a＜0，∴ab＞0.
1．已知a＝2－eq \r(5)，b＝eq \r(5)－2，c＝5－2eq \r(5)，那么下列各式正确的是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
A [∵a＜0，b＞0，∴a＜b. 又∵c－b＝7－3eq \r(5)＝eq \r(49)－eq \r(45)＞0，∴c＞b，∴a＜b＜c.]
2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A．eq \f(a,c)＞eq \f(b,d) B．eq \f(a,c)＜eq \f(b,d)
C．eq \f(a,d)＞eq \f(b,c) D．eq \f(a,d)＜eq \f(b,c)
D [令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则eq \f(a,c)＝－1，eq \f(b,d)＝－1，所以A，B错误；eq \f(a,d)＝－eq \f(3,2)，eq \f(b,c)＝－eq \f(2,3)，所以eq \f(a,d)＜eq \f(b,c)，所以C错误．]
3．设n＞1，n∈N，A＝eq \r(n)－eq \r(n－1)，B＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)，则A与B的大小关系为________．
解析 A＝eq \f(1,\r(n)＋\r(n－1))，B＝eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n)) .
∵eq \r(n)＋eq \r(n－1)＜eq \r(n＋1)＋eq \r(n)，并且都为正数，∴A＞B.
答案 A＞B
4．如图，在一个面积为350 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍，上述不等关系可用W表示为________．
解析 仓库的长L＝eq \f(350,W＋10)－10，∴eq \f(350,W＋10)－10＞4W.
答案 eq \f(350,W＋10)－10＞4W
5．(拓广探索)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的．试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
解 设该单位有职工n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋eq \f(3,4)x(n－1)＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn，y2＝eq \f(4,5)xn，
所以y1－y2＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn－eq \f(4,5)xn＝eq \f(1,4)x－eq \f(1,20)xn
＝eq \f(1,4)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(n,5))).
当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；
当0＜n＜5时，y1＞y2.
因此，当单位人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
课程标准
学科素养
1．通过对比，理解等式和不等式的共性与差异．
2．梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.
通过对等式性质与不等式性质的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.