高中数学人教A版必修第一册5.2.2 同角三角函数的基本关系课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册5.2.2 同角三角函数的基本关系课时作业含解析，共1页。
[对应学生用书P89]
知识点 同角三角函数的基本关系
[微体验]
1．思考辨析
(1)对任意角α，sin2eq \f(α,3)＋cs2eq \f(α,3)＝1都成立．( )
(2)对任意角α，eq \f(sin 2α,cs 2α)＝tan 2α都成立．( )
(3)若cs α＝0，则sin α＝1.( )
答案 (1)√ (2)× (3)×
2．若sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5)，则tan α＝________.
解析 tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(4,3).
答案 eq \f(4,3)
3．化简： eq \r(1－sin2\f(π,5))＝________.
解析 原式＝ eq \r(cs2\f(π,5))＝cseq \f(π,5).
答案 cseq \f(π,5)
4．sin2 2 016°＋cs2 2 016°＝________.
解析 sin2 2 016°＋cs2 2 016°＝1.
答案 1
[对应学生用书P90]
探究一 利用同角三角函数的基本关系求值
(1)已知sin α＋cs α＝eq \f(7,13)，α∈(0，π)，则tan α＝________.
(2)已知cs α＝－eq \f(3,5)，求sin α，tan α的值．
(1)解析 因为sin α＋cs α＝eq \f(7,13)，①
所以sin2α＋cs2α＋2sinαcsα＝eq \f(49,169).
即2sinαcsα＝－eq \f(120,169).
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cs α＜0.
所以sin α－cs α＝eq \r(sin α－cs α2)＝eq \r(1－2sin αcs α)＝eq \f(17,13).②
由①②解得sin α＝eq \f(12,13)，cs α＝－eq \f(5,13).
所以tan α＝－eq \f(12,5).
答案 －eq \f(12,5)
(2)解 因为cs α＝－eq \f(3,5)＜0，所以α是第二、三象限角．
若α是第二象限角，则sin α＞0，tan α＜0，
所以sin α＝ eq \r(1－cs2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2)＝eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3)；
若α是第三象限角，则sin α＜0，tan α＞0，
所以sin α＝－ eq \r(1－cs2α)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(4,3).
[变式探究1] 若本例(1)中改为“如果角θ满足sin θ＋cs θ＝eq \r(2)”，那么tan θ＋eq \f(1,tan θ)的值为多少？
解 sin θ＋cs θ＝eq \r(2)，则sin θcs θ＝eq \f(1,2).
tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝eq \f(sin θ,cs θ)＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(sin2θ＋cs2θ,cs θsin θ)＝eq \f(1,cs θsin θ)＝2，
故tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝2.
[变式探究2] 若本例(1)中变为“已知cs αsin α＝eq \f(1,8)”，那么cs α－sin α的值为多少？
解 因为cs αsin α＝eq \f(1,8)，
所以cs α－sin α＝±eq \r(sin2α－2sin αcs α＋cs2α)
＝± eq \r(1－2×\f(1,8))＝±eq \f(\r(3),2).
[方法总结]
求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cs θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α的等价转化，分析解决问题的突破口．
探究二 三角函数式的化简
(1)化简eq \f(2sin2α－1,1－2cs2α)＝________.
(2)化简 eq \r(sin2α－sin4α)，其中α是第二象限角．
(1)解析 eq \f(2sin2α－1,1－2cs2α)＝eq \f(2sin2α－sin2α＋cs2α,sin2α＋cs2α－2cs2α)＝eq \f(sin2α－cs2α,sin2α－cs2α)＝1.
答案 1
(2)解 eq \r(sin2α－sin4α)＝ eq \r(sin2α1－sin2α)＝ eq \r(sin2αcs2α)＝－sin αcs α.
[方法总结]
三角函数式化简的方法
(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
[跟踪训练1] 化简tan α eq \r(\f(1,sin2 α)－1)，其中α是第二象限角．
解 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cs α＜0.
故tan α eq \r(\f(1,sin2 α)－1)＝tan α eq \r(\f(1－sin2 α,sin2 α) )＝tan αeq \r(\f(cs2 α,sin2 α))
＝eq \f(sin α,cs α)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(cs α,sin α)))＝eq \f(sin α,cs α)×eq \f(－cs α,sin α)＝－1.
探究三 利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式
(1)求证：1＋tan2 α＝eq \f(1,cs2 α)；
(2)求证：eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)＝eq \f(tan α＋sin α,tan αsin α).
证明 (1)因为1＋tan2 α＝1＋eq \f(sin2 α,cs2 α)
＝eq \f(cs2 α＋sin2 α,cs2 α)＝eq \f(1,cs2 α)＝右边，
所以原式成立．
(2)方法一：右边＝eq \f(tan2 α－sin2 α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2 α－tan2 αcs2 α,tan α－sin αtan αsin α)＝eq \f(tan2 α1－cs2 α,tan α－sin αtan αsin α)
＝eq \f(tan2 αsin2 α,tan α－sin αtan αsin α)＝eq \f(tan αsin α,tan α－sin α)＝左边，
所以原式成立．
方法二：左边＝eq \f(tan αsin α,tan α－tan αcs α)＝eq \f(sin α,1－cs α)，
右边＝eq \f(tan α＋tan αcs α,tan αsin α)＝eq \f(1＋cs α,sin α)＝eq \f(1－cs2α,sin α1－cs α)
＝eq \f(sin2α,sin α1－cs α)＝eq \f(sin α,1－cs α)，左边＝右边，
所以原式成立．
[方法总结]
1．简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边．
(2)证明左、右两边等于同一个式子．
(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．
2．证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则
(1)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等．
(2)原则：由繁到简，变异为同．
[跟踪训练2] 已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
证明 因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.
即eq \f(sin2α,cs2α)＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2β,cs2β)＋1))，
即eq \f(sin2α＋cs2α,cs2β)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin2β＋cs2β,cs2β)))·2，
可得eq \f(1,cs2α)＝eq \f(2,cs2β).
即cs2β＝2cs2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1.
[对应学生用书P91]
1．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．
2．知一求二：在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．
3．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．
4．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．
课时作业(三十六) 同角三角函数的基本关系
[见课时作业(三十六)P179]
1．(1＋tan215°)·cs215°的值等于( )
A．eq \f(1－\r(3),2) B．1
C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
B [(1＋tan215°)cs215°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sin215°,cs215°)))cs215°＝cs215°＋sin215°＝1.]
2．已知sin α－cs α＝－eq \f(5,4)，则sin αcs α等于( )
A．eq \f(\r(7),4) B．－eq \f(9,16)
C．－eq \f(9,32) D．eq \f(9,32)
C [由题意得(sin α－cs α)2＝eq \f(25,16)，即sin2α＋cs2α－2sin αcs α＝eq \f(25,16)，又sin2α＋cs2α＝1，∴1－2sin αcs α＝eq \f(25,16)，∴sin αcs α＝－eq \f(9,32).]
3．若eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋5cs α)＝－5则tan α的值为( )
A．－2 B．2
C．eq \f(23,16) D．－eq \f(23,16)
D [eq \f(sin α－2cs α,3sin α＋5cs α)＝eq \f(\f(sin α,cs α)－2,\f(3sin α,cs α)＋5)＝eq \f(tan α－2,3tan α＋5)＝－5，解得tan α＝－eq \f(23,16).]
4．函数y＝eq \f(\r(1－sin2x),cs x)＋eq \f(\r(1－cs2x),sin x)的值域是( )
A．{0,2} B．{－2,0}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
C [y＝eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(|sin x|,sin x).当x为第一象限角时，y＝2；当x为第三象限角时，y＝－2；当x为第二、四象限角时，y＝0.]
5．已知tan α＝eq \r(3)，α为第三象限角，则sin α＝( )
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
D [∵tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \r(3)，∴cs α＝eq \f(\r(3),3)sin α.又sin2 α＋cs2 α＝1，∴sin α＝±eq \f(\r(3),2).又α为第三象限角，∴sin α＝－eq \f(\r(3),2).]
6．化简eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(1,tan α)))(1－cs α)的结果是________．
解析 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin α)＋\f(cs α,sin α)))(1－cs α)＝
eq \f(1＋cs α1－cs α,sin α)＝eq \f(1－cs2 α,sin α)＝eq \f(sin2 α,sin α)＝sin α.
答案 sin α
7．若tan2x－sin2x＝eq \f(16,5)，则tan2xsin2x＝________.
解析 tan2xsin2x＝tan2x(1－cs2x)＝tan2x－tan2xcs2x＝tan2x－sin2x＝eq \f(16,5).
答案 eq \f(16,5)
8．已知cs α＝－eq \f(3,5)，且tan α>0，则eq \f(sin αcs2α,1－sin α)＝________.
解析 由cs α0知，α是第三象限角，且sin α＝－eq \f(4,5)，
故原式＝eq \f(sin α1－sin2α,1－sin α)＝sin α(1＋sin α)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,5)))＝－eq \f(4,25).
答案 －eq \f(4,25)
9．已知eq \f(4sin θ－2cs θ,3sin θ＋5cs θ)＝eq \f(6,11)，求下列各式的值．
(1)eq \f(5cs2θ,sin2θ＋2sin θcs θ－3cs2θ)；
(2)1－4sin θcs θ＋2cs2θ.
解 由已知eq \f(4sin θ－2cs θ,3sin θ＋5cs θ)＝eq \f(6,11)，
∴eq \f(4tan θ－2,3tan θ＋5)＝eq \f(6,11)，解得tan θ＝2.[来源:学_科_网]
(1)原式＝eq \f(5,tan2θ＋2tan θ－3)＝eq \f(5,5)＝1.
(2)原式＝sin2θ－4sin θcs θ＋3cs2θ
＝eq \f(sin2θ－4sin θcs θ＋3cs2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan2θ－4tan θ＋3,tan2θ＋1)＝－eq \f(1,5).
10．求证：eq \f(2sin xcs x－1,cs2x－sin2x)＝eq \f(tan x－1,tan x＋1).
证明 方法一：∵左边＝eq \f(2sin xcs x－sin2x＋cs2x,cs2x－sin2x)
＝eq \f(－sin2x－2sin xcs x＋cs2x,cs2x－sin2x)＝eq \f(sin x－cs x2,sin2x－cs2x)
＝eq \f(sin x－cs x2,sin x－cs xsin x＋cs x)＝eq \f(sin x－cs x,sin x＋cs x)
＝eq \f(tan x－1,tan x＋1)＝右边．[来源:Z#xx#k.Cm]
∴原等式成立．
方法二：∵右边＝eq \f(\f(sin x,cs x)－1,\f(sin x,cs x)＋1)＝eq \f(sin x－cs x,sin x＋cs x)，
左边＝eq \f(1－2sin xcs x,sin2x－cs2x)＝eq \f(sin x－cs x2,sin2x－cs2x)
＝eq \f(sin x－cs x2,sin x－cs x·sin x＋cs x)＝eq \f(sin x－cs x,sin x＋cs x).
∴左边＝右边，原等式成立．
1．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcs θ－2cs2θ等于( )
A．－eq \f(4,3) B．eq \f(5,4)
C．－eq \f(3,4) D．eq \f(4,5)
D [sin2θ＋sin θcs θ－2cs2θ
＝eq \f(sin2θ＋sin θcs θ－2cs2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan2θ＋tan θ－2,tan2θ＋1)，
又tan θ＝2，故原式＝eq \f(4＋2－2,4＋1)＝eq \f(4,5).]
2．若π