数学七年级上册第二章 整式的加减2.1 整式学案设计

专题2.1.3 整式-多项式（知识讲解）解析版

【要点梳理】

 要点一、多项式

1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．

特别说明：“几个”是指 两个     或  两个以上           ．

2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做   常数项       ．

特别说明：（1）多项式的每一项包括它前面的  符号      ．

（2）一个多项式含有几项，就叫 几项式      ，如：是一个三项式．

3. 多项式的次数：多项式里次数  最高项         的次数，叫做这个多项式的次数．

特别说明：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．

（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．

要点二、 整式

    单项式      与  多项式        统称为整式．

特别说明：

（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．

（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．

【典型例题】

类型一、多项式的判断

1． 把下列代数式分别填在相应的括号内

，，，，，，，，，．

①单项式：．      ②多项式：．

③二次二项式：．     ④整式：．

 【解析】  根据单项式是数与字母的积，多项式是几个单项似的和，多项式中的每个单项式是多项式的项，单项式与多项式统称整式，可得答案．

 解：①单项式：{，， }；

②多项式：{ ，，，，，，}；

③二次二项式：{ ，， }；

④整式：{，，，，，，，，．}

【点拨】本题考查了单项式、多项式的以及整式的定义，熟练掌握相关知识是解题关键．

举一反三：

【变式1】 把下列代数式的代号填入相应的集合括号里．

（A）     （B）   （C）    （D）（E）0

（F）       （G）     （H）         （I）

（1）单项式集合__________；                （2）多项式集合____________；

（3）整式集合____________；                （4）二项式集合___________；

（5）三次多项式集合__________；            （6）非整式集合__________．

【答案】（1）（D），（E）；（2）（A），（B），（C），（F），（G）；（3）（A），（B），（C），（D），（E），（F），（G）；（4）（A），（C），（F）；（5）（A），（G）；（6）（H），（I）

【分析】要根据整式，单项式，多项式的概念和系数或次数的确定方法进行分类．

解：（1）单项式集合（D），（E）；

（2）多项式集合（A），（B），（C），（F），（G）；

（3）整式集合（A），（B），（C），（D），（E），（F），（G）；

（4）二项式集合（A），（C），（F）；

（5）三次多项式集合（A），（G）；

（6）非整式集合（H），（I）

【点拨】主要考查了整式的有关概念和系数次数的确定．

（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．一个多项式有几项就叫做几项式．多项式中的符号，看作各项的性质符号．

（2）单项式的次数：单项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

【变式2】指出下列各式中哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？

x2+y2，﹣x，，10，6xy+1，，m2n，2x2﹣x﹣5，

单项式：{_____}          多项式：{_____}         整  式：{_____}．

【答案】﹣x，10，m2n    x2+y2，，6xy+1，2x2﹣x﹣5    ﹣x，10，m2n，x2+y2，，6xy+1，2x2﹣x﹣5   

【分析】根据单项式、多项式、整式的概念解答即可.

解：单项式有：﹣x，10， m2n；

多项式有：x2+y2，，6xy+1，2x2﹣x﹣5；

整式有：﹣x，10， m2n，x2+y2，，6xy+1，2x2﹣x﹣5，

【点拨】本题考查了单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是熟练掌握单项式、多项式、整式的定义.

类型二、多项式的项、项的系数、次数

2．(3m-4)x3-(2n-3)x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．

（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式；

（2）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式．

【答案】（1）m=，n≠；（2）n=，m=﹣．

【分析】根据多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数.

解：（1）由题意得：3m﹣4=0，且2n﹣3≠0，

解得：m=，n≠；

（2）由题意得：2n﹣3=0，2m+5n=0，且3m﹣4≠0，

解得：n=，m=﹣．

【点拨】本题考查了用学生待定系数法来考查多项式次数概念，掌握多项式相关定义概念是解决此题的关键.

举一反三：

【变式1】已知（a-3）x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，求a2-3ab+b2的值.

【答案】-5.

【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a、b的值，代入代数式即可得出答案．

【详解】∵（a-3）x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，

∴，

解得：，

则a2-3ab+b2=9-18+4=-5．

【点拨】本题考查了单项式的知识，属于基础题，掌握单项式的定义及单项式次数的定义是解答本题的关键．

【变式2】已知多项式7xm+kx2-（3n+1）x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为-7，求m+n-k的值．

 【答案】5

【分析】先根据这是三系三项式可求出m的值，再根据一次项的系数为-7可知k、n的值，然后代入求解即可.

解：由题意，得m=3，k=0，-（3n+1）=-7.

解得n=2.

所以m+n-k=3+2-0=5.

【点拨】此题考查的是对多项式定义的理解．几个单项式的和叫做多项式；在多项式中，每个单项式叫做多项式的项；此时，这个单项式的次数是几，就把这个单项式叫做几次项，而且多项式的次数是所有单项式的最高次．

 类型三、由多项式的系数求值

3、已知关于x，y的多项式x4+(m+2)xny–xy2+3，其中n为正整数．

（1）当m，n为何值时，它是五次四项式？

（2）当m，n为何值时，它是四次三项式？

【答案】（1）n=4，m≠–2；（2）m=–2，n为任意正整数．

【分析】

（1）根据多项式是五次四项式可知n+1=5，m+2≠0，从而可求得m、n的取值；

（2）根据多项式是四次三项式可知：m+2=0，n为任意实数．

 解：（1）因为多项式是五次四项式，

所以n＋1＝5，m＋2≠0，

所以n＝4，m≠－2.

（2）因为多项式是四次三项式，

所以m＋2＝0，n为任意正整数，

所以m＝－2，n为任意正整数．

【点拨】本题主要考查的是多项式的定义，掌握多项式的定义是解题的关键．

举一反三：

【变式1】对于整式（其中m是大于的整数）.

（1）若，且该整式是关于x的三次三项式，求m的值；

（2）若该整式是关于x的二次单项式，求m，n的值；

（3）若该整式是关于x的二次二项式，则m，n要满足什么条件？

【答案】（1）m=1；（2）m=-1，n=-1；（3）n=1，m为大于-2任意整数或m=-1，n≠-1或m=0，n≠4.

【分析】

（1）根据已知条件可得到关于m的方程m+2=3，解方程即可得到m的值；

（2）根据该多项式是关于x的二次单项式，可得到m+2=1，n-1=-2，据此计算即可；

（3）同样的，根据上面的分析方法，结合关于x的二次二项式的特点解答即可.

解：（1）因为n=2，且该多项式是关于x的三次三项式，所以原多项式变为，所以m=1，即m的值为1.

（2）因为该多项式是关于x的二次单项式，

所以m+2=1，n-1=-2

解得m=-1，n=-1

（3）因为该多项式是关于x的二次二项式，

所以①这一项不存在，原多项式是关于x的二次二项式，

则n-1=0，即n=1，m为大于-2任意整数

②若的次数为1，系数不为-2，原多项式是关于x的二次二项式，

则m=-1，n≠-1

③的次数为2，系数不为3，原多项式是关于x的二次二项式，

则m=0，n≠4.

【点拨】本题考查多项式的次数和多项式的定义，学生们熟练掌握定义即可.

【变式2】已知关于x,y的多项式中不含项,求k的值.

【答案】

【分析】根据多项式不含项，即项系数为0，求出k的值即可解答．

解：原式=

∵多项式中不含项

∴=0

∴k=.

【点拨】本题考查了多项式，根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值．

类型四、由多项式的指数求值

4、已知多项式－x2ym＋1＋xy2－3x3＋6是六次四项式，单项式3x2ny2的次数与这个多项式的次数相同，求m2＋n2的值．

【答案】13

【解析】根据多项式次数的定义，可得2+m+1=6，从而可求出m的值，根据单项式的次数的定义结合题意可得2n+2=6，求解即可得到n的值，把m，n的值代入到m2+n2中，计算即可得到求解.

试题解析：根据题意得2＋m＋1＝6，2n＋2＝6

解得：m＝3， n＝2，

所以m2＋n2＝13.

点拨：此题考查多项式，解题的关键是弄清多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，还要弄清有几项.

举一反三：

【变式1】已知关于x、y的多项式x2ym+1+xy2–3x3–6是六次四项式，单项式6x2ny5–m的次数与这个多项式的次数相同，求m+n的值．

【答案】m+n=5

【分析】根据多项式次数的定义可得2+m+1=6，求出m=3，然后再根据单项式次数的定义可得2n+5-m=6，求出n=2，问题得解.

解：∵多项式x2ym+1+xy2–3x3–6是六次四项式，

∴2+m+1=6，解得：m=3，

∵单项式6x2ny5–m的次数也是六次，

∴2n+5-m=6，解得：n=2，

∴m+n=3+2=5.

【点拨】本题考查了多项式以及单项式的有关概念，注意：多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数．

【变式2】已知多项式（a+3）x3﹣xb+x+a是关于x的二次三项式，求ab﹣ab的值．

【答案】15

【分析】根据题意得出a+3=0，b=2，求出a= -3，b=2，代入ab﹣ab求解即可．

解：根据题意得a+3=0、b=2，

则a=﹣3、b=2，

∴原式=（﹣3）2﹣（﹣3）×2，

=9+6，

=15.

【点拨】本题考查了求代数式的值的应用，关键是根据题意求出a、b的值．

 类型五、按某个字母升幂（降幂）排列

5、已知多项式-3x2ym+1+x3y-3x4-1是五次四项式，且单项式3x2ny3-m与多项式的次数相同．

(1)求m、n的值；

(2)把这个多项式按x的降幂排列．

【答案】(1)m=2，n=2；(2)按x的降幂排列为-3x4+x3y-3x2y3-1．

【分析】

（1）根据已知得出m+1=3，2n+3-m=5，求出即可；

（2）按x的指数从大到小排列即可．

解：(1)∵多项式-3x2ym+1+x3y-3x4-1是五次四项式，且单项式3x2ny3-m与多项式的次数相同，

∴m+1=3，2n+3-m=5，

解得：m=2，n=2；

(2)按x的降幂排列为-3x4+x3y-3x2y3-1．

【点拨】本题考查了多项式和单项式的有关内容，能熟记多项式和单项式的次数定义是解此题的关键．

举一反三：

【变式1】已知多项式

（1）把这个多项式按x的降幕重新排列；

（2）请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．

【答案】（1）；（2）5，xy，

【分析】（1）按的降幂排列：即按照的指数由高到低进行排列即可得到答案；

（2）由多项式中的最高次项的次数是多项式的次数，结合二次项及常数项的概念可得答案．

     解：（1）按x的降幂排列是：

（2）由最高次项为：，所以多项式的次数是5，

它的二次项是xy，常数项是.

【点拨】本题考查的是多项式的降幂排列，多项式的二次项，常数项，掌握以上知识是解题的关键．

【变式2】已知多项式，解答下列问题：

（1）把它按的升幂重新排列；

（2）把它按的降幂重新排列；

 【分析】（1）按字母x的升幂排列是指按字母x的指数从小到大依次排列；
（2）按字母y的升幂排列指按字母y的指数从小到大依次排列．

解：

解：（1）按x的升幂排列为-7y5+xy3+3x2y2+5x4y+y4x6；
（2）按y的降幂排列为5x4y+3x2y2+xy3+y4x6-7y5．

【点拨】本题考查了多项式的有关定义，按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”．

 类型六、据要求写出多项式

6、某食品厂打折出售商品，第一天卖出m千克，第二天比第一天多卖出2千克，第三天卖出的是第一天的3倍，求这个食品厂三天一共卖出食品多少千克．

【答案】（5m+2）千克.

【解析】由题意，第二天卖出（m+2）kg，第三天卖出3mkg，由此即可得出答案

解：由题意得：第二天卖出（m+2）kg，第三天卖出3mkg，

∴m+（m+2）+3m=5m+2（千克）．

∴这个食品厂三天一共卖出食品为（5m+2）千克

举一反三：

【变式1】老师让同学们写一个三次四项式，下面是甲、乙、丙三位同学的答案，他们写得对吗？如果不对，请指出原因．

甲：；乙：；丙：.

【答案】甲和乙写得不对，丙写得对．甲写的是一个三次三项式，乙写的是一个四次四项式．

 【分析】根据多项式的概念可知三次四项式中单项式的最高次数是3，单项式项数式4.

解：根据多项式的定义可得：甲写的是一个三次三项式，乙写的是一个四次四项式，乙写的是三次四项式．故甲和乙写得不对，丙写得对．

【点拨】本题考查多项式的定义，解题的关键是熟悉多项式的概念.

【变式2】写出一个只含有字母的二次三项式，并求当时，这个多项式的值.

【答案】，7

【分析】按要求先写一个只含有x的二次三项式，然后将x=-2代入求值即可.

解：假设此二次三项式为：，

当时，=.

【点拨】本题主要考查了多项式的求值，正确写出合理的多项式是解题关键.