重庆市南开中学2022届高三上学期第一次质量检测 数学

重庆南开中学商2022级高三第一次质量检测

 数学试题 2021.9

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，，则下列结论成立的是（    ）

A. B. C. D.

2.函数的定义域为（    ）

A. B. C. D.

3.若x，，则的一个充分不必要条件（    ）

A. B. C. D.

4.若曲线（）在处的切线与直线平行，则（    ）

A. B. C. D.2

5.若，且，则的最小值为（    ）

A.3 B. C. D.

6.动直线（）与函数，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

7.函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

8.已知函数（），对，均，使得成立，则a的最小值为（    ）

A.2 B. C. D.4

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设，，，，则在a，b，c，d这4个数中（    ）

A.最大数为a B.最小数为b C.最大数为c D.最小数为d

10.关于函数（），下列说法正确的有（    ）

A.，至少有两个零点 B.，只有两个零点

C.，只有一个零点 D.，有三个零点

11.已知定义在上的函数满足，，，且为奇函数，则（    ）

A.为奇函数  B.为偶函数

C.是周期为3的周期函数 D.

12.对于函数，如果对任意，都有成立.则称此函数为区间D上的“凸函数”.若，均是区间D上的“凸函数”，且满足，、与的单调性相反，则下列函数一定是区间D上的“凸函数”的是（    ）

A. B. C. D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数为奇函数。则_________.

14.定义在上的函数单调递增，且对，有，则_________.

15.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为_________.

16.若（），则的最大值为_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知函数（）对有，且函数的定义域为.

（1）求的解析式；

（2）若，求在上的值域.

18.（12分）某企业自主开发出一款新产品A，计划在2022年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品.通过市场分析知，在2022年该企业每生产x（千件）A产品，需另投入生产成本（千元），且

（1）求该企业生产一件A产品的平均成本p（元）关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值；（总成本=研发成本+生产成本）

（2）该企业欲使生产一件A产品的平均成本元，求其年生产址x（千件）的取值区间？

19.（12分）已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线相切，求a的取值范围.

20.（12分）某单位规定每位员工每年至少参加两项专业技能测试，测试通过可获得相应学分，每年得的总学分不低于10分，该年度考核为合格.该单位员工甲今年可参加的专业技能测试有A、B、C、D四项，已知这四项专业技能测试的学分及员工甲通过各项专业技能测试的概率如下表所示，且员工甲各项专业技能测试是否通过相互独立.

（1）若员工甲参加A、B、C三项测试，求他本年度考核合格的样书：

（2）员工甲欲从A、B，C、D中选择三项参加测试，若要使他本年度考核合格的概率不低于，应如何选择？请求出所有满足条件的方案.

21.（12分）已知抛物线C：（）的焦点为F，原点O关于点F的对称点为Q，点关于点Q的对称点P，也在抛物线C上

（1）求p的值；

（2）设直线l交抛物线C于不同两点A、B，直线、与抛物线C的另一个交点分别为M、N，，，且，求直线l的横截距的最大值.

22.（12分）已知函数（）有两个极值点，，且.

（1）求a的取值范围；

（2）若，求a的取值范围.

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数学试题参考答案与评分细则

一、单项选择题

1-4 DCBA 5-10 DACC

二、多项选择题

9.AD 10.CD 11.BCD 12.AC

三、填空题

13.4 14. 15. 16.

四、解答题

17.（1）由知且，由题知的解集为，

故，，∴，，，即；

（2）是开口向下，对称轴为的抛物线，，，

当时，在上的值域为；

当时，在上的值域为；

当时，在上的值域为.

18.（1）由题知生产x千件的总成本为千元，故一件的平均成本为元，

∴

当时，单调递减，故最小值为，

当时，，故最小值为，

所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元.

（2）由（1）知，要使只需考虑，即，

整理得，解得，

所以，当时，生产一件A产品的平均成本不超过66元.

19.（1），，

当时，在上单调递增；

当时，在上单减，在上单增；

（2）设切点横坐标为，则切线方程为，代入得，即，由题知此关于的方程在内恰有两个解，

令，则，∴在上单增，在上单减，

又，当时，，，故当时，方程有两个解，

∴.

20.（1）由题知，员工甲本年度考核合格必须通过B测试，且A、C测试中至少有一项通过，故其考核合格的概率为；

（2）①若选择A、C、D三项测试，则必须通过D测试，且A、C测试中至少有一项通过，故员工甲考核合格的概率为；

②若选择A、B、D三项测试，则需任意两项测试通过或三项测试均通过，故员工甲考核合格的概率为

；

③若选择B、C、D三项测试，则需任意两项测试通过或三项测试均通过，故员工甲考核合格的概率为；

结合（1）中知，满足条件的方案为A、B、D和B、C、D.

21.（1）由题知，，故，代入C的方程得，∴；

（2）设直线l的方程为，与抛物线C：联立得，

由题知，可设方程两根为，，则，，（*）

由得，∴，，

又点M在抛物线C上，∴，化简得，

由题知M，A为不同两点，故，，即，同理可得，

∴，

将（*）式代入得，即，将其代入解得，

∴在时取得最大值，即直线l的最大横截距为.

22.（1），，由题知有两个零点，，，

若则恒成立，∴在上单增，有唯一零点，不合题意，舍；

若则在上单减，在上单增，又时且，

故当且仅当即时，有两个零点，，此时在和上单增，在上单减，为极大值点，为极小值点，符合题意；

综上，或；

（2）由（1）知，当即时，，，故，符合题意；

当即时，，且，∴，

即，化简得，∴，

令，则，令，当时，，

∴单增，故即，∴在上单增，

又，，∴，

综上，或.

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