2022届一轮复习专题练习5 第39练 平面向量基本定理及坐标表示（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习5 第39练 平面向量基本定理及坐标表示（解析版），共8页。试卷主要包含了已知A，B，C等内容，欢迎下载使用。
考点一 平面向量基本定理的应用
1．已知▱ABCD中，eq \(EC,\s\up6(→))＝2eq \(DE,\s\up6(→))，eq \(FC,\s\up6(→))＝2eq \(BF,\s\up6(→))，eq \(FG,\s\up6(→))＝2eq \(GE,\s\up6(→))，则eq \(AG,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(8,9)eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \f(5,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(7,9)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \f(4,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))
2．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(5,6) D．1
3．在▱ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，eq \(ET,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y等于( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6)
考点二 平面向量的坐标运算
4．(2020·湖南常德一中模拟)已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))，则与向量eq \(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))
5．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(CA,\s\up6(→))＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝________.
6．线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2|eq \(BC,\s\up6(→))|，则x＋y＝________.
考点三 向量共线的坐标表示
7．已知向量m＝(4，－1)，n＝(－5,2)，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋n))∥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xm－n))，则实数x等于( )
A．1 B．－1 C.eq \f(7,5) D．－eq \f(7,5)
8．(2020·宜宾市叙州区第二中学模拟)设eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－2))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－1))，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－b，0))(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值是( )
A．4 B.eq \f(9,2) C．8 D．9
9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)．则第四个顶点的坐标不可能为( )
A．(0，－1) B．(6,15)
C．(2，－3) D．(2,3)
10．(2020·潍坊模拟)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1))，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋3，t－8))，若点A，B，C能构成三角形，则实数t不可以为( )
A．－2 B.eq \f(1,2) C．1 D．－1
11．(2020·宜春模拟)已知O为正三角形ABC内一点，且满足eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋λ))eq \(OC,\s\up6(→))＝0，若△OAB的面积与△OAC的面积之比为3，则λ等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(3,4) D.eq \f(3,2)
12.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1,0)
13．下列命题中：
①设O，A，B，C是同一平面上的四个点，若eq \(OA,\s\up6(→))＝m·eq \(OB,\s\up6(→))＋(1－m)·eq \(OC,\s\up6(→))(m∈R)，则点A，B，C必共线；
②若向量a，b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c＝λa＋μb(μ，λ∈R)，且表示方法是唯一的；
③已知平面向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))满足eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，则△ABC为等腰三角形；
④已知平面向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))满足|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝r(r>0)，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC是等边三角形．
其中正确的命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
14.(2020·黑龙江大庆一中模拟)“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC.若eq \(BE,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为( )
A.eq \f(10,7) B.eq \f(9,8) C.eq \f(25,16) D.eq \f(29,18)
答案精析
1．C [如图所示，
因为eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(EC,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(FC,\s\up6(→))，
所以eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
又eq \(FG,\s\up6(→))＝2eq \(GE,\s\up6(→))，
所以eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AD,\s\up6(→))－\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))))
＝eq \f(5,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(7,9)eq \(AD,\s\up6(→)).]
2．A [∵AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，
∴BD＝ABcs 60°＝1，
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
又O是AD的中点，
∴eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))，
而eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，
∴λ＝eq \f(1,2)，μ＝eq \f(1,6)，
∴λ＋μ＝eq \f(2,3).]
3．D [如图所示，
设eq \(CT,\s\up6(→))＝μeq \(CA,\s\up6(→))＝2μeq \(CF,\s\up6(→))＋μeq \(CB,\s\up6(→))，
因为F，T，B共线，
所以3μ＝1，
解得μ＝eq \f(1,3)，
所以eq \(AT,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(ET,\s\up6(→))＝eq \(AT,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))，
又eq \(ET,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，
所以x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,6)，
所以x＋y＝eq \f(5,6).]
4．C [与向量eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，2))同方向的单位向量是eq \f(\(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，2)),\r(\f(9,4)＋4))＝eq \f(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5))).]
5．－2
解析 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
∴m＋n＝－2.
6．－2或6
解析 由已知得eq \(AC,\s\up6(→))＝(1－x，－4)，2eq \(BC,\s\up6(→))＝2(3,1－y)．
由|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2|eq \(BC,\s\up6(→))|，可得eq \(AC,\s\up6(→))＝±2eq \(BC,\s\up6(→))，
则当eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＝6，,－4＝2－2y，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝3，))此时x＋y＝－2；
当eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＝－6，,－4＝－2＋2y，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝－1，))此时x＋y＝6.
综上可知，x＋y＝－2或6.
7．B [m＋n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))，xm－n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋5，－x－2))，
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋n))∥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xm－n))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋5))＝0，
解得x＝－1.]
8．D [eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1，1))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－b－1，2))，因为A，B，C三点共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，所以2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－b－1))＝0，即2a＋b＝1，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋b))＝5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2b,a)＋\f(2a,b)))≥5＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝9.当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(2a,b)，即a＝b＝eq \f(1,3)时，等号成立．故eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值为9.]
9．D [设第四个顶点的坐标为D(x，y)，
当eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))时，(x－3，y－7)＝(－3，－8)，
解得x＝0，y＝－1，此时第四个顶点的坐标为(0，－1)；
当eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))时，(x－3，y－7)＝(3,8)，
解得x＝6，y＝15，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；
当eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))时，(1，－1)＝(x－1，y＋2)，
解得x＝2，y＝－3，此时第四个顶点的坐标为(2，－3)．
∴第四个顶点的坐标为(0，－1)或(6,15)或(2，－3)．]
10．C [若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，则向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))不共线，
由于向量eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－3))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1))，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋3，t－8))，
故eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－3,4)，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(t＋5，t－9)，
∵A，B，C三点不共线，∴ －3(t－9)－4(t＋5)≠0，
∴t≠1.]
11．A [分别取AC，BC的中点D，E，连接DE，AE，如图，
所以DE是△ABC的中位线，
因为eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋λ))eq \(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝－λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→))))，
所以eq \(OD,\s\up6(→))＝－λeq \(OE,\s\up6(→))，所以D，E，O三点共线，
所以S△OAC＝eq \f(1,3)S△OAB＝eq \f(1,6)S△ABC＝eq \f(1,3)S△AEC，
所以eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(ED,\s\up6(→))即eq \(OD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OE,\s\up6(→))，所以－λ＝－eq \f(1,2)即λ＝eq \f(1,2).]
12．D [由点D是圆O外一点，可设eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))(λ>1)，
则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(BA,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→)).
又C，O，D三点共线，令eq \(OD,\s\up6(→))＝－μeq \(OC,\s\up6(→))(μ>1)，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(λ,μ)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1－λ,μ)·eq \(OB,\s\up6(→))(λ>1，μ>1)，
所以m＝－eq \f(λ,μ)，n＝－eq \f(1－λ,μ)，
则m＋n＝－eq \f(λ,μ)－eq \f(1－λ,μ)＝－eq \f(1,μ)∈(－1,0)．]
13．C [对于①，eq \(OA,\s\up6(→))＝m·eq \(OB,\s\up6(→))＋(1－m)·eq \(OC,\s\up6(→))(m∈R)，
∴eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝m(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，
∴eq \(CA,\s\up6(→))＝meq \(CB,\s\up6(→))，且有公共点C，
∴点A，B，C共线，故①正确；
对于②，根据平面向量的基本定理缺少条件a，b不共线，故②错误；
对于③，由于eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))，即eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝0，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，得eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(CB,\s\up6(→))，即OA为BC的垂线，
又由于eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，可得OA在∠BAC的平分线上，
综上得△ABC为等腰三角形，故③正确；
对于④，平面向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))满足|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝r(r>0)，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝－eq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(OA,\s\up6(→))2＋2eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))2＝eq \(OC,\s\up6(→))2，
即r2＋2r2·cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))〉＋r2＝r2，
∴cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))〉＝－eq \f(1,2)，
∴eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，同理eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))的夹角也为120°，
∴△ABC是等边三角形，故④正确．]
14．C [由题意建立如图所示的直角坐标系，
因为AB＝3，BC＝4，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，0)).
设Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，3))，则eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－3))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，3))，
因为BE⊥AC，所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝4a－9＝0，
解得a＝eq \f(9,4)，
由eq \(BE,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，3))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，3))＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，0))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4μ＝\f(9,4)，,3λ＝3，)))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,μ＝\f(9,16)，)))
所以λ＋μ＝eq \f(25,16).]