2022届一轮复习专题练习5 第41练 平面向量小题综合练（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习5 第41练 平面向量小题综合练（解析版），共7页。

A．a＋b B．b－a
C．c－b D．b－c
2．(2020·四川三台中学月考)向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，1))，若a⊥b，则x等于( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
3.已知eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))，则下列等式中成立的是( )
A．c＝eq \f(3,2)b－eq \f(1,2)a
B．c＝2b－a
C．c＝2a－b
D．c＝eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b
4．设向量a＝(t,1)，b＝(1，t)，如果a与b共线且方向相反，则t的值为( )
A．1 B．－1
C．－2 D．2
5．设单位向量e1，e2的夹角为eq \f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为( )
A．－eq \f(3\r(3),2) B．－eq \r(3)
C.eq \r(3) D.eq \f(3\r(3),2)
6．(2020·景德镇模拟)已知△ABC的垂心为H，且AB＝3，AC＝5，M是BC的中点，则eq \(HM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
7．已知O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线的三个点，点O满足eq \(OA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))))－\f(\(AC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))))))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(BA,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BA,\s\up6(→)))))－\f(\(BC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→)))))))＝0，则O点一定是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
8．已知非零向量a，b满足|a－b|＝eq \r(3)|a＋b|＝eq \r(3)|a|，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
9．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2eq \r(3)，若D，E 分别是AC，AB 的中点，则eq \(CE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))的值为( )
A.eq \f(13,2) B．2
C．－eq \f(13,2) D．－2
10．在平行四边形ABCD中，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝4，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，CD的中点，DE与AF交于点H, 则eq \(AH,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))的值( )
A．12 B．16 C.eq \f(12,5) D.eq \f(16,5)
11．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝________.
12．(2020·宜宾模拟)四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F分别是BC，CD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝________.
13．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0))，则|eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))|的最大值为________．
14.如图所示， ∠BAC＝eq \f(2π,3)，圆M与AB，AC分别相切于点D，E, AD＝1，点P是圆M及其内部任意一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AD,\s\up6(→))＋yeq \(AE,\s\up6(→))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y∈R))，则x＋y的取值范围是________.
答案精析
1．D [eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝b－c.]
2．A [∵a⊥b，
∴a·b＝－x＋2＝0，
∴x＝2.]
3．A [eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(3,2)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)b－eq \f(1,2)a.]
4．B [已知向量a＝(t,1)，b＝(1，t)，
因为a与b共线，
所以t2＝1,
又因为方向相反，
所以t＝－1.]
5．A [依题意得e1·e2＝1×1×cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，
|a|＝eq \r(e1＋2e22)＝eq \r(e\\al(2,1)＋4e\\al(2,2)＋4e1·e2)＝eq \r(3)，
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)
＝2eeq \\al(2,1)－6eeq \\al(2,2)＋e1·e2＝－eq \f(9,2)，
因此b在a方向上的投影为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－\f(9,2),\r(3))＝－eq \f(3\r(3),2).]
6．D [因为H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，
而eq \(HM,\s\up6(→))＝eq \(HA,\s\up6(→))＋eq \(AM,\s\up6(→))，
所以eq \(HM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(HA,\s\up6(→))＋\(AM,\s\up6(→))))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→)).
因为M是BC的中点，
所以eq \(HM,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))2－\(AB,\s\up6(→))2))＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(25－9))＝8.]
7．B [∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))))－\f(\(AC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))))))＝0，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \f(\(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))))，
即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→)))))))·cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(AC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))))))·cs 〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉，
∴cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝cs 〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉，
∴O点为∠BAC的角平分线上的点，
同理可得O点为∠ABC的角平分线上的点，
所以O点为△ABC角平分线的交点，即O点一定是△ABC的内心．]
8．C [|a－b|＝eq \r(3)|a＋b|＝eq \r(3)|a|，平方可得a2－2a·b＋b2＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋2a·b＋b2))＝3a2，
由3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋2a·b＋b2))＝3a2⇒2a·b＝－b2，代入a2－2a·b＋b2＝3a2可得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)).
设a与b的夹角为θ，由2a·b＝－b2得2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))2·cs θ＝－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))2⇒cs θ＝－eq \f(1,2).
又θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))，故θ＝eq \f(2π,3).]
9．C [建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,1)，B(－eq \r(3)，0)，C(eq \r(3)，0)，
Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
∴eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(1,2)))，
∴eq \(CE,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝－eq \f(27,4)＋eq \f(1,4)＝－eq \f(13,2).]
10．C [eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AD,\s\up6(→))|cs 120°＝4×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－4，
取DE的中点M，则FM＝eq \f(1,2)CE，所以eq \f(AH,HF)＝eq \f(AD,FM)＝4，
所以eq \(AH,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AF,\s\up6(→))，
因此eq \(AH,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))·(eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→)))＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))
＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)\(AD,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))2－\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))2))
＝eq \f(4,5)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)×－4＋\f(1,2)×16－\f(1,2)×4))＝eq \f(12,5).]
11.eq \f(1,2)
解析 ∵a＝(1,2)，b＝(1,0)，
∴a＋λb＝(λ＋1,2)．
又(a＋λb)∥c，
∴4(λ＋1)－3×2＝0，解得λ＝eq \f(1,2).
12．1
解析 建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝1×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×1＝1.
13．7
解析 依题意得，AC为直径，所以|eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))|＝|2eq \(FO,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))|≤4＋|eq \(FB,\s\up6(→))|，
所以当B为点(－1,0)时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋|\(FB,\s\up6(→))|))max＝7，
所以|eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))|的最大值为7.
14.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－2\r(3)，4＋2\r(3)))
解析 如图，过A点作圆的直径所在直线，连接MD，可知∠MAD＝eq \f(π,3)，AD＝1，r＝MD＝eq \r(3)，AM＝2,2－eq \r(3)≤AP≤2＋eq \r(3)， 作平行四边形ABHG, 当P点在H点时，四边形ABHG为菱形，显然x，y取最大值，由AB＝AG＝2＋eq \r(3)，所以x＝y＝2＋eq \r(3)，即(x＋y)max＝4＋2eq \r(3).同理，当P点在F点时，(x＋y)min＝4－2eq \r(3).所以x＋y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4－2\r(3)，4＋2\r(3))).