2022届一轮复习专题练习6 第47练 数列小题综合练（解析版）

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A．常数数列 B．等差数列
C．等比数列 D．以上均不对
2．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，a3＝5，a7＝2，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,an－1)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*))是等比数列，则a5等于( )
A．－1或3 B．－1 C．3 D.eq \r(10)
3．设等差数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＝10，则S9的值为( )
A．28 B．36 C．42 D．46
4．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公有九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁？ ( )
A．38 B．35 C．32 D．29
5．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n))，它的前n项和Sn＝7，则项数n等于( )
A．7 B．49 C．56 D．63
6．已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则( )
A．a1d>0，dS4>0 B．a1dTn恒成立，则k的最小值是( )
A．1 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
11．设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－eq \f(1,8)，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的前4项和S4＝________.
12．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝1，anan＋1＝3n(n∈N*)，则S2 020＝________.
13．若数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a1＝2，an＋1＝4an＋4eq \r(an)＋1，则使得an≥2 0222成立的最小正整数n的值是______．(eq \r(2)≈1.41)
14．由数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))的公共项组成的数列记为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(cn))，已知an＝3n－2，bn＝2n，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(cn))为递增数列，且c5＝bm＝at，则m＋t＝________.
答案精析
1．C [由题意得Sn＋1＝10n，即Sn＝10n－1，a1＝S1＝9，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－1－10n－1＋1＝9·10n－1，当n＝1时，符合上式．
∴an＝9·10n－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n∈N*)).即此数列是等比数列．]
2．C [设bn＝eq \f(4,an－1)，则b3＝eq \f(4,a3－1)＝eq \f(4,5－1)＝1 ，
b7＝eq \f(4,a7－1)＝eq \f(4,2－1)＝4，b5＝eq \f(4,a5－1)，
则beq \\al(2,5)＝b3b7＝4，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b5＝b3q2>0))，
解得b5＝2，所以eq \f(4,a5－1)＝2，解得a5＝3.]
3．B [∵S3，S9，S6成等差数列，
∴2S9＝S3＋S6，
设eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的公差为d，则2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9a1＋\f(9×8,2)d))＝3a1＋eq \f(3×2,2)d＋6a1＋eq \f(6×5,2)d，
解得a1＝－6d，
∵a2＝10，∴a2＝a1＋d＝－6d＋d＝－5d＝10，
∴d＝－2，a1＝12，
∴S9＝9a1＋eq \f(9×8,2)d＝36.]
4．B [由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄a1为首项，公差为－3的等差数列，
所以9a1＋eq \f(9×8,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3))＝207，解得a1＝35.]
5．D [∵an＝eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n))
＝eq \f(\r(n＋1)－\r(n),\r(n＋1)＋\r(n)\r(n＋1)－\r(n))＝－eq \r(n)＋eq \r(n＋1)，
∴Sn＝(－1＋eq \r(2))＋(－eq \r(2)＋eq \r(3))＋(－eq \r(3)＋eq \r(4))＋…＋(－eq \r(n)＋eq \r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－1，
令Sn＝eq \r(n＋1)－1＝7，即eq \r(n＋1)＝8，解得n＝63.]
6．B [由题意知aeq \\al(2,4)＝a3×a8，
即(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，即5d＋3a1＝0，
∴a1＝－eq \f(5,3)d，
∴a1d＝－eq \f(5,3)d2