2022届一轮复习专题练习7 第53练 基本不等式（解析版）

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考点一 利用配凑法求最值
1．已知x>1，则eq \f(9,x－1)＋x的最小值为( )
A．4 B．6 C．7 D．10
2．若00，y>0,2x＋y＋2xy＝3，则z＝2x＋y的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
考点三 基本不等式的应用
8．关于x的不等式x2－ax＋4≥0在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，4)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，2)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，＋∞))
9．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))
10．每年五月最受七中学子期待的学生活动莫过于学生节，在每届学生节活动中，着七中校服的布偶“七中熊”尤其受同学和老师欢迎．已知学生会将在学生节当天售卖“七中熊”，并且会将所获得利润全部捐献于公益组织．为了让更多同学知晓，学生会宣传部需要前期在学校张贴海报宣传，成本为250元，并且当学生会向厂家订制x只“七中熊”时，需另投入成本C(x)元，C(x)＝71x＋eq \f(40 000,x)－3 250，x∈N*.通过市场分析， 学生会订制的“七中熊”能全部售完．若学生节当天，每只“七中熊”售价为70元，则当销量为________只时，学生会向公益组织所捐献的金额最大．
11．下列函数中最小值为4的是( )
A．y＝x＋eq \f(4,x)
B．y＝3x＋4·3－x
C．y＝sin x＋eq \f(4,sin x)(00，且a＋b＝4，则下列结论不正确的是( )
A．ab≤4 B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥1
C．2a＋2b≥16 D．a2＋b2≥8
13．(2020·南昌大学附属中学月考)设a>b>c，n∈N，且eq \f(1,a－b)＋eq \f(8,b－c)≥eq \f(n2,a－c)恒成立，则n的最大值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
14．已知正数a，b满足a＋b＋eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝10，则a＋b的最小值是________．
答案精析
1．C [ 已知x>1，则x－1>0，
∴eq \f(9,x－1)＋x＝eq \f(9,x－1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))＋1≥2eq \r(\f(9,x－1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1)))＋1＝7，
当且仅当eq \f(9,x－1)＝x－1，即x＝4时等号成立．
∴eq \f(9,x－1)＋x的最小值为7.]
2．C [∵00，
所以eq \f(x2＋3,x－1)＝eq \f(x2－1＋4,x－1)＝x＋1＋eq \f(4,x－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))＋eq \f(4,x－1)＋2≥2eq \r(4)＋2＝6，
当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时取等号，
所以eq \f(x2＋3,x－1)的最小值是6.
4．A [因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，
所以ab＝a＋4b≥2eq \r(4ab)＝4eq \r(ab)，
所以ab≥16，
当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时，等号成立．]
5．B [∵a＋2b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2b))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))×eq \f(1,4)
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2b,a)＋\f(2a,b)))≥eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))))＝eq \f(9,4)，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(a,b)，即a＝b＝eq \f(3,4)时等号成立，
∴a＋2b的最小值是eq \f(9,4).]
6．B [∵m＋n＝2，∴(m＋1)＋(n＋2)＝5，
即eq \f(m＋1,5)＋eq \f(n＋2,5)＝1，
∴ eq \f(1,m＋1)＋eq \f(1,n＋2)
＝eq \f(\f(m＋1,5)＋\f(n＋2,5),m＋1)＋eq \f(\f(m＋1,5)＋\f(n＋2,5),n＋2)
＝eq \f(2,5)＋eq \f(n＋2,5m＋1)＋eq \f(m＋1,5n＋2)≥eq \f(2,5)＋2eq \r(\f(n＋2,5m＋1)·\f(m＋1,5n＋2))
＝eq \f(4,5)，
当且仅当eq \f(n＋2,5m＋1)＝eq \f(m＋1,5n＋2)，
即m＝eq \f(3,2)，n＝eq \f(1,2)时，取等号．]
7．A [因为2x＋y＋2xy＝3，
故可得2xy＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))＋3，
因为x>0，y>0，故可得2xy≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))2，
即－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))＋3≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))2，
令z＝2x＋y，则z2＋4z－12≥0，
解得z≥2或z≤－6，因为z>0，故z≥2，
当且仅当2x＝y, 2x＋y＋2xy＝3时，
即x＝eq \f(1,2)，y＝1时取得最小值2.]
8．A [由题意得a≤eq \f(x2＋4,x)＝x＋eq \f(4,x)恒成立，
因为x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))，
所以x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(4)＝4，
当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时等号成立，
所以a≤4.]
9．C [由已知和余弦定理推导式可得，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－\f(a2＋b2,2),2ab)＝eq \f(1,4)×eq \f(a2＋b2,ab)，
∵a>0，b>0，
∴eq \f(a2＋b2,ab)＝eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝2，当且仅当a＝b时等号成立．
∴cs C≥eq \f(1,4)×2＝eq \f(1,2)，又C∈(0，π)，∴C∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).]
10．200
解析 由题意，设学生会向公益组织所捐献的金额为F(x)，
则F(x)＝70x－C(x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(40 000,x)))＋3 250eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈N*))，
由对勾函数的性质知，g(x)＝x＋eq \f(40 000,x)在x＝eq \r(40 000)＝200时取得最小值，
所以当x＝200时，F(x)取得最大值．
11．B [对于A，当x