2022届一轮复习专题练习8 第63练 立体几何小题综合练（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习8 第63练 立体几何小题综合练（解析版），共7页。试卷主要包含了下列叙述不正确的是等内容，欢迎下载使用。
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β
D．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
2．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是( )
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
C．若m⊥α，n∥m，n∥β，则α⊥β
D．α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
3．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱ABC－A1B1C1的体积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(3\r(3),2) C.eq \f(9\r(3),4) D.eq \f(9\r(3),2)
4．如图是梯形ABCD用斜二测画法画出的直观图，已知直观图中A1B1＝4，四边形B1C1D1E1是菱形且∠B1E1D1＝45°，则梯形ABCD的面积等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
6．下列叙述不正确的是( )
A．已知a，b是空间中的两条直线，若a∩b＝∅，则直线a与b平行或异面
B．已知l是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，若l∩α≠∅，则l⊂α或l与α只有一个公共点
C．已知α，β是空间两个不同的平面，若α∩β≠∅，则α，β必相交于一条直线
D．已知直线l与平面α相交，且l垂直于平面α内的无数条直线，则l⊥α
7．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,9)
C.eq \f(2\r(6),9) D.eq \f(8,27)
8．已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图)．若底面圆的弦AB所对的圆心角为eq \f(π,3)，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为( )
A．10π＋3eq \r(3) B．10 π
C.eq \f(10,3)π＋eq \r(3) D．2π－3eq \r(3)
9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
10．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， ∠B＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，BC＝DE，现将两块三角板拼接在一起，得到三棱锥F－CAB，取BC的中点O与AC的中点M，则下列判断中不正确的是( )
A．直线BC⊥平面OFM
B．AC与平面OFM所成的角为定值
C．设平面ABF∩平面MOF＝l，则有l∥AB
D．三棱锥F－COM的体积为定值
11.如图所示，关于几何体的正确说法的序号为________．
(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3)这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．
12．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为________．
13．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为________．
14．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq \r(3)，将△ADC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥D－ABC，则在翻折的过程中有下列结论：
①三棱锥D－ABC的体积最大值为eq \f(1,4)；
②三棱锥D－ABC的外接球体积不变；
③异面直线AB与CD所成角的最大值为90°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的序号)
答案精析
1．D [A项，若l∥α，l∥β，则α与β平行或相交，所以A不正确；
B项，若α⊥β，l∥α，则l与β可能的位置关系有相交、平行或l⊂β，所以B不正确；
C项，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，所以C不正确；
D项，若l∥α，l⊥β，由线面平行的性质，过l的平面与α相交于l′，则l∥l′，又l⊥β，
所以l′⊥β，所以α⊥β，所以D正确．]
2．C [A错，因为没说明m垂直于两平面的交线；B错，垂直于同一平面的两个平面相交或平行；C正确，D错，因为α与β有可能相交．故选C.]
3．D [正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为3，设底面外接圆的半径为r，则2r＝eq \f(3,sin 60°)⇒r＝eq \r(3).外接球的表面积为16π＝4πR2⇒R＝2，
外接球的球心在上、下两个底面的外心MN的连线的中点上，记为O点，如图所示，
在△OMB1中，MB1＝r＝eq \r(3)，OB1＝R＝2，
∵MBeq \\al(2,1)＋OM2＝OBeq \\al(2,1)，
∴解得OM＝1，MN＝h＝2，
故棱柱的体积为V＝Sh＝eq \f(1,2)×3×3×eq \f(\r(3),2)×2＝eq \f(9\r(3),2).]
4．B [由图可知，A1B1＝4，C1D1＝1，
则对应梯形ABCD中，AB＝4，CD＝1，
又知与y′平行的线段B1C1的长度为1，
则对应梯形ABCD的高为2，
所以S梯形ABCD＝eq \f(1＋4×2,2)＝5.]
5．C [∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，
又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，
∴l⊥平面ABC，∴l⊥AC.]
6．D [对于A，根据空间中直线的位置关系有相交、平行、异面，由题意可知，a∩b＝∅说明直线a与b不相交，即直线a与b平行或异面，故A正确；对于B，根据直线与平面的位置关系有直线与平面相交、直线与平面平行、直线在平面内，因为l∩α≠∅，所以直线l与平面α不平行，即直线与平面相交或直线在平面内，从而得l⊂α或l与α只有一个公共点，故B正确；对于C，因为平面与平面的位置关系有相交和平行，因为α，β是空间两个不同的平面，而α∩β≠∅，所以平面α与β相交，即α，β必相交于一条直线，故C正确；对于D，已知直线l与平面α相交，且l垂直于平面α内的无数条直线，若这些直线中没有相交直线，则l不一定垂直于平面α，故D不正确．]
7．B [设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，∴r＝eq \f(\r(3),3)R，
∴S球＝4πr2＝4π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)R))2＝eq \f(4π,3)R2，
∴S圆锥 ＝πR·2R＋πR2＝3πR2 ，
∴球与圆锥的表面积之比为eq \f(\f(4π,3)R2,3πR2)＝eq \f(4,9).]
8．A [设截面ABCD将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为V1，圆柱的体积为V，DC将圆柱的底面分成的两部分中，较大部分的底面积为S1，圆柱的底面积为S，
则S1＝eq \f(5,6)×π×22＋eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(10π,3)＋eq \r(3)，
V＝π×22×3＝12π，S＝π×22＝4π，
所以依题意可得eq \f(V1,V)＝eq \f(S1,S)，则V1＝eq \f(S1,S)V＝eq \f(\f(10π,3)＋\r(3),4π)×12π＝10π＋3eq \r(3) .]
9．C [对于A，CC1与B1E都在平面CC1B1B内，且CC1与B1E是相交直线，故A错误；
对于B，假设AC⊥平面ABB1A1，则AC垂直于平面内的任一条直线，即AC⊥AB，这与题设“底面三角形A1B1C1是正三角形”矛盾，所以假设不成立，故B错误；
对于C，∵点B1∉AE，直线B1C1交平面AEB1于点B1，
∴AE，B1C1为异面直线；
由题知△ABC是正三角形，又E是BC的中点，
∴AE⊥BC，又B1C1∥BC，
∴AE⊥B1C1，故C正确；
对于D，∵直线AC交平面AB1E于点A，又AC∥A1C1，
∴直线A1C1与平面AB1E相交，故D错误．]
10．D [对于A，由BC的中点O与AC的中点M，得MO∥AB，
由∠B＝∠F＝90°，得BC⊥MO，
由△BCF为等腰直角三角形得BC⊥FO，
由MO∩FO＝O，MO，FO⊂平面OFM，
得直线BC⊥平面OFM，故A正确；
对于B，由A得，AC与平面OFM所成的角为∠CMO，为定值60°，故B正确；
对于C，由A得，MO∥AB，故AB∥平面OFM，由AB⊂平面ABF，
平面ABF∩平面MOF＝l，所以l∥AB，故C正确；
对于D，△COM的面积为定值，
但三棱锥F－COM的高会随着F点的位置移动而变化，
故D错误．]
11．(1)(3)(4)(5)
解析 (1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；
(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；
(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；
(4)(5)如图，都正确．
12．8π
解析 由题意知与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，故该圆的半径为1，
则球的半径为eq \r(2)，故该球的表面积S＝4πR2＝8π.
13.eq \f(\r(3),3)
解析 设AC，BD的交点为O，连接EO(图略)，则∠AEO为AE，SD所成的角或其补角．设正四棱锥的棱长为a，则AE＝eq \f(\r(3),2)a，EO＝eq \f(1,2)a，OA＝eq \f(\r(2),2)a，
所以cs∠AEO＝eq \f(AE2＋EO2－OA2,2AE·EO)
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))2,2×\f(\r(3),2)a·\f(1,2)a)＝eq \f(\r(3),3).
14．①②③
解析 矩形ABCD，AB＝1，BC＝eq \r(3)，可得AC＝2，
在翻折的过程中，当平面ACD⊥平面ACB时，
D到底面的距离最大，且为直角三角形ACD斜边AC边上的高，且高为eq \f(\r(3),2)，可得三棱锥D－ABC的体积最大值为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,4)，故①正确；
取AC的中点O，连接OB，OD，
可得OA＝OB＝OC＝OD，即O为三棱锥D－ABC的外接球的球心，且半径为1，体积为eq \f(4,3)π，故②正确；
若AB⊥CD，又AB⊥BC，可得AB⊥平面BCD，即有AB⊥BD，
由AB＝1及AD＝eq \r(3)可得BD＝eq \r(2)，
将△ADC沿对角线AC翻折的过程中，存在某个位置使得BD＝eq \r(2)成立，故③正确．