2022届一轮复习专题练习9 第67练 两条直线的位置关系（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习9 第67练 两条直线的位置关系（解析版），共5页。试卷主要包含了两平行直线l1等内容，欢迎下载使用。
考点一 两条直线的平行与垂直
1．已知直线l1经过A(－3,4)，B(－8，－1)两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2( )
A．垂直 B．平行
C．重合 D．相交但不垂直
2．过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
3．设a∈R，则“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点二 两条直线的交点坐标
4．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．3x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0
5．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m－n＋p为( )
A．24 B．－20 C．0 D．20
考点三 点到直线的距离、两条平行线间的距离
6．两平行直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：6x＋(3a＋2)y＋a－1＝0之间的距离是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,10) D.eq \f(1,5)
7．若点A(2,3)，B(－4,5)到直线l的距离相等，且直线l过点P(－1,2)，则直线l的方程为__________________．
8．已知l1，l2是分别经过A(2,1)，B(0,2)两点的两条平行直线，当l1，l2之间的距离最大时，直线l1的方程是____________．
考点四 对称问题
9．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
10．已知点A(－3,4)，B(4，－3)，点P为直线x＋y－2＝0上的动点，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
11．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1))，则直线l的斜率为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C．－eq \f(3,2) D．－eq \f(2,3)
12．已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
13．若直线m被两直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq \r(2)，则直线m的倾斜角θ(θ为锐角)为____________．
14．在平面直角坐标系中，定义d(P，Q)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－x2))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y1－y2))为两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“折线距离”. 若O为坐标原点， 则O与直线2x＋y－2eq \r(5)＝0上一点的“折线距离”的最小值是________．
答案精析
1．A [∵直线l1经过A(－3,4)，B(－8，－1)两点，
∴直线l1的斜率k1＝eq \f(4＋1,－3＋8)＝1，
∵直线l2的倾斜角为135°，
∴直线l2的斜率k2＝tan 135°＝－1，
∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.]
2．A [设此直线方程为2y－x＋c＝0，将A(2,3)代入，知c＝－4.]
3．A [直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行的充要条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,5a＋1≠0，))即a＝±1，故“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的充分不必要条件．故选A.]
4．B [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋y－1＝0，,x＋2y－7＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝4，))即交点为(－1,4)．
∵第一条直线的斜率为－3，且与所求直线垂直，
∴所求直线的斜率为eq \f(1,3).
∴由点斜式方程得所求直线方程是y－4＝eq \f(1,3)(x＋1)，即x－3y＋13＝0.]
5．D [由两直线互相垂直，得－eq \f(m,4)×eq \f(2,5)＝－1，
解得m＝10，
又垂足坐标为(1，p)，代入直线5x＋2y－1＝0，
得p＝－2.
将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0，得n＝－12，
所以m－n＋p＝20.]
6．B [∵l1∥l2，
∴eq \f(3,6)＝eq \f(4,3a＋2)，解得a＝2，
∴直线l2：6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋eq \f(1,2)＝0，
∴两平行线之间的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2))),\r(32＋42))＝eq \f(1,2).]
7．x＋3y－5＝0或x＝－1
解析 方法一 当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1，点A，B到直线l的距离相等，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3))).
∴直线l的方程为y－2＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
方法二 当AB∥l时，有kl＝kAB＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))，直线l的方程为y－2＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点时，由AB的中点为(－1,4)，得直线l的方程为x＝－1.
综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
8．2x－y－3＝0
解析 由平面几何知识，得当l1⊥AB时，l1，l2之间的距离最大．
∵A(2,1)，B(0,2)，∴kAB＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，kl1＝2.
则直线l1的方程是y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.
9．D [设P(x，y)为所求直线上任一点，则P(x，y)关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，又点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，即所求直线方程为x＋2y－3＝0.]
10．10
解析 设点A(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点A′的坐标为(x，y)，可得AA′中点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－3,2)，\f(y＋4,2)))，利用对称性可得kAA′＝eq \f(y－4,x＋3)＝1，且eq \f(x－3,2)＋eq \f(y＋4,2)－2＝0，
解得x＝－2，y＝5，
∴点A′的坐标为(－2,5)，
∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝eq \r(－2－42＋5＋32)＝10.
11．D [设直线l的斜率为k，又直线l过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1))，则直线l的方程为y＋1＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))，
联立直线l与y＝1，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋1＝kx－k，,y＝1，))解得x＝eq \f(k＋2,k)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k＋2,k)，1))；
联立直线l与x－y－7＝0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋1＝kx－k，,x－y－7＝0，))
解得x＝eq \f(6－k,1－k)，y＝eq \f(6k－1,1－k)，
所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6－k,1－k)，\f(6k－1,1－k)))，
又线段AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1))，所以eq \f(k＋2,k)＋eq \f(6－k,1－k)＝2，解得k＝－eq \f(2,3).]
12．D [因为三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，所以直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点，直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝eq \f(2,3)或eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))，直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))，所以实数m的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).]
13．15°或75° [显然直线l1∥l2，直线l1，l2之间的距离d＝eq \f(|1－3|,\r(2))＝eq \r(2)，
设直线m与l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|＝2eq \r(2)，
过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，
则|AC|＝d＝eq \r(2)，
在Rt△ABC中，sin ∠ABC＝eq \f(|AC|,|AB|)＝eq \f(\r(2),2\r(2))＝eq \f(1,2)，
所以∠ABC＝30°，又直线l1的倾斜角为45°，
所以直线m的倾斜角为45°－30°＝15°或45°＋30°＝75°，故直线m的倾斜角θ＝15°或75°.]
14.eq \r(5)
解析 直线与两坐标轴的交点分别为N(0,2eq \r(5))，M(eq \r(5)，0)，设P(x，y)为直线上任意一点，
作PQ⊥x轴于Q，于是有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QM))，所以d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OQ))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QP))≥eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OQ))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(QM))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OM))，即当P与M重合时，dmin＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OM))＝eq \r(5).