2022届高考数学一轮复习单元检测八　不等式、推理与证明（解析版）

这是一份2022届高考数学一轮复习单元检测八　不等式、推理与证明（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
单元检测八　不等式、推理与证明
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若实数x，y满足x＋y＞0，则“x＞0”是“x2＞y2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由题意知，实数x，y满足x＋y＞0，
若x＞0，则未必有x2＞y2，
例如x＝1，y＝2时，有x2＜y2.
反之，若x2＞y2，则x2－y2＞0，
即(x＋y)(x－y)＞0；
由于x＋y＞0，故x－y＞0，
∴x＞y且x＞－y，∴x＞0成立．
∴当x＋y＞0时，“x＞0”推不出“x2＞y2”，“x2＞y2”⇒“x＞0”，
∴“x＞0”是“x2＞y2”的必要不充分条件．
2．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A.< B．a2>b2
C.> D．a|c|>b|c|
答案　C
解析　对于A，若a>0>b，则>0，，∴A不成立；
对于B，若a＝1，b＝－2，则a2b，
∴>恒成立，∴C成立；
对于D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．
3．(2021·亳州模拟)在R上定义运算*：a*b＝ab＋2a＋b，则满足x*(x－2)0，b>0，且a＋b＝1，
∴＝
＝10＋＋≥10＋2＝16，
当且仅当a＝b＝时取等号．
∴的最小值为16.
11．已知x，y满足约束条件若目标函数z＝mx＋ny－2的最大值为1(其中m>0，n>0)，则＋的最小值为(　　)
A．3 B．1 C．2 D.
答案　D
解析　画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，

由于m>0，n>0，所以直线mx＋ny＝0的斜率为负数，故目标函数在点A(1,2)处取得最大值，即m＋2n－2＝1，所以m＋2n＝3.
＋＝××(m＋2n)
＝×
≥×
＝×＝，
当且仅当＝，m＝n＝1时等号成立，
所以＋的最小值为.
12．下列命题正确的个数是(　　)
p1：已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O没有公共点；
p2：命题“∃x0∈R，x－x＋1≤0”的否定是“∀x∈R，x3－x2＋1≥0”；
p3：已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，P(X≤4)＝0.8，则P(X≤2)＝0.2；
p4：实数x，y满足约束条件则目标函数z＝x－2y的最小值为1.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　∵M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，圆心到直线ax＋by＝1的距离为d＝4)＝0.2，由正态分布的对称性可得P(X≤2)＝P(X>4)＝0.2，p3正确；取x＝，y＝满足约束条件而目标函数z＝x－2y＝－1＝0，解得x.
所以所求不等式的解集为.
14．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
答案　36
解析　因为x>0，a>0，所以f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝时取“＝”，即x＝＝3，解得a＝36.
15．已知函数f(x)＝的值域为[－15,1]，则实数a的取值范围是________．
答案　[－2,0)
解析　当0≤x≤5时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以－15≤f(x)≤1；当a≤xf(－2x)，
又由题意知函数f(x)在R上单调递增，
∴2x－1>－2x，∴x>，
∴原不等式的解集为.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知命题p：A＝{x||x－2|≤4}，q：B＝{x|(x－1－m)(x－1＋m)≤0}(m>0)．
(1)若p是假命题，求x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解　(1)A＝{x||x－2|≤4}＝{x|－4≤x－2≤4}
＝{x|－2≤x≤6}，
因为p是假命题，
所以x的取值范围是(－∞，－2)∪(6，＋∞)．
(2)因为綈p是綈q的必要不充分条件，
所以綈q⇒綈p且綈pD⇒/綈q，
所以p⇒q且qD⇒/p，即AB，
又B＝{x|(x－1－m)(x－1＋m)≤0}
＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
则且等号不能同时取得，
所以m≥5，即实数m的取值范围为[5，＋∞)．
18．(12分)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)＞2x＋5.
解　(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，
∵函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝2x，
∴解得
且f(0)＝1.∴c＝1，
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)不等式f(x)＞2x＋5，即x2－x＋1＞2x＋5，
化为x2－3x－4＞0.
化为(x－4)(x＋1)＞0，解得x＞4或x＜－1.
∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
19．(12分)(1)已知A＝a2＋b2＋5，B＝2(2a－b)(a，b∈R，a≠b)，比较A与B的大小；
(2)已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于.
(1)解　因为A－B＝(a2＋b2＋5)－2(2a－b)
＝a2＋b2＋5－4a＋2b
＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，
所以A≥B，当且仅当a＝2，b＝－1时等号成立．
(2)证明　假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a三个均大于.
因为a，b，c∈(0,1)，所以1－a,1－b,1－c∈R＋，
根据基本不等式得：