2022届一轮复习专题练习3 第20练 导数小题易错练（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习3 第20练 导数小题易错练（解析版），共6页。试卷主要包含了已知下列四个命题，其中正确的是，已知过点A作曲线C等内容，欢迎下载使用。
①(2x)′＝x·2x－1；②(sin 2x)′＝cs 2x；③(lgax)′＝axln a(a>0，且a≠1)；④(ln 2)′＝eq \f(1,2).
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．设函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在R上可导，其导函数为f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，且函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x＝－3处取得极大值，则函数y＝xf′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象可能是( )
3．(2020·山东师范大学附中月考)若幂函数f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(1,2)))，则函数geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),ex)的单调递增区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－2))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))
4．在函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2图象上某点处的切线的倾斜角的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
5．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋ax－1))ex－1在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－2))上单调递增，在x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1))上单调递减，则函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，2))的值域是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，e)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，5e－3))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－e－1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(5e－3，e))
6．(2021·德州模拟)若函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ex－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1))x＋1在(0,1)上不单调，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，e＋1))
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，e＋1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，2))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(e＋1，＋∞))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，2))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e＋1，＋∞))
7．已知过点A(a,0)作曲线C：y＝x·ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4)∪(0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
8．函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为( )
A．[1，eq \r(3)] B．[1，＋∞)
C．(1，eq \r(3)] D．(1，＋∞)
9．设函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(ex,ln x)，则下列说法不正确的是( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))
B．当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象位于x轴下方
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))存在单调递增区间
D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))有且仅有一个极值点
10．已知函数f(x)＝aex－1－exln(x＋1)－1存在零点x0，且x0>1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1＋eln 2) B．(－eln 2，＋∞)
C．(－∞，－eln 2) D．(1＋eln 2，＋∞)
11．(2020·遵义模拟)若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－ax2＋x－5无极值点，则实数a的取值范围是________．
12．(2020·绵阳江油中学月考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b＝________.
13．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：①－2是函数y＝f(x)的极值点；②1是函数y＝f(x)的极值点；③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f(x)在区间(－2,2)上单调递增．则正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)
14．已知函数f(x)＝eq \f(1,ex)－ex＋2x－eq \f(1,3)x3(e为自然对数的底数)，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则实数a的取值范围是________．
答案精析
1．A [①(2x)′＝2x·ln 2，所以①错误；
②(sin 2x)′＝2cs 2x，所以②错误；
③(lgax)′＝eq \f(1,xln a)(a>0，且a≠1)，所以③错误；
④(ln 2)′＝0，所以④错误．]
2．D [函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在R上可导，其导函数为f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，且函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在x＝－3处取得极大值，
当x0；当x＝－3时，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝0；当x>－3时，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))0，
则函数y＝ex－x－1单调递增，且y＝ex－x－1>0，
则g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
可得g(x)>g(1)＝1＋eln 2，则a>1＋eln 2.]
11．[－1,1]
解析 ∵f(x)＝eq \f(1,3)x3－ax2＋x－5，
∴f′(x)＝x2－2ax＋1，
由函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－ax2＋x－5无极值点知，
f′(x)＝0至多有1个实数根，
∴Δ＝(－2a)2－4≤0，
解得－1≤a≤1，
故实数a的取值范围是[－1,1]．
12．－7
解析 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
又函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，
f′(1)＝3＋2a＋b＝0且f(1)＝1＋a＋b＋a2＝10，
解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3，
当a＝4，b＝－11时，
f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，
此时x＝1是函数的极小值点，
当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2，
此时x＝1不是函数的极小值点；
∴a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.
13．①④
解析 命题①，通过导函数的图象可以知道，当x∈(－∞，－2)时，y′0，所以函数y＝f(x)单调递增，故－2是函数y＝f(x)的极值点，故本命题是真命题；
命题②，通过导函数的图象可以知道，当x∈(－2,1)时，y′>0，所以函数y＝f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，y′>0，所以函数y＝f(x)单调递增，故1不是函数y＝f(x)的极值点，故本命题是假命题；
命题③，由图象可知f′(0)>0，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零，故本命题是假命题；
命题④，由图象可知当x∈(－2,2)时，y′>0，所以函数y＝f(x)单调递增，故本命题是真命题，故正确命题的序号是①④.
14.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3)))
解析 由题意得f′(x)＝－eq \f(1,ex)－ex＋2－x2
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex＋\f(1,ex)))＋2－x2，
因为ex＋eq \f(1,ex)≥2eq \r(ex·\f(1,ex))＝2，当且仅当ex＝eq \f(1,ex)，即x＝0时取等号，
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))≤0，所以函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))单调递减，
又因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为奇函数，
f(3a2)＋f(2a－1)≥0，
所以f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，
即3a2≤1－2a，解得－1≤a≤eq \f(1,3).