2022届一轮复习专题练习5 第38练 平面向量的概念及线性运算（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习5 第38练 平面向量的概念及线性运算（解析版），共7页。试卷主要包含了有下列命题，给出下列命题等内容，欢迎下载使用。
考点一 平面向量的概念
1．有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＝))\(DC,\s\up6(→))))，则四边形ABCD是平行四边形；④若m＝n，n＝k，则m＝k；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．设a，b是非零向量，则“a＝2b”是“eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))＝eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))” 成立的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．(2021·大连模拟)已知平面上的非零向量a，b，c，有下列说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))，则a＝±2b；
③若xa＋yb＝2a＋3b，则x＝2，y＝3；
④若a∥b，则一定存在唯一的实数λ，使得a＝λb.
其中正确的是( )
A．①②③ B．②④ C．①④ D．①③④
考点二 平面向量的线性运算
4．(2020·江西省万载中学模拟)已知正方形ABCD的边长为1，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b＋c))等于( )
A．0 B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
5．已知a，b是不共线的非零向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝3a－b，eq \(CD,\s\up6(→))＝2a－3b，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
6．已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为平面内一点，且eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(EC,\s\up6(→))，若eq \(BE,\s\up6(→))＝xeq \(BA,\s\up6(→))＋yeq \(BD,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y等于( )
A．1 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,4)
考点三 共线定理的应用
7．(2020·宁夏吴忠中学模拟)给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中正确的命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则eq \(DF,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
9．在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(NC,\s\up6(→))，若P是直线BN上的一点，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为( )
A．－4 B．－1 C．1 D．4
10．已知△ABC的面积为1，点P满足3eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝4eq \(AP,\s\up6(→))，则△PBC的面积等于________．
11．设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12.在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2DC，点P在线段BC上，且BP＝2PC，则( )
A.eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
B.eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))
D.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))
13.平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在的直线分别交于点M，N，若eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝neq \(AD,\s\up6(→))(m>0，n>0)，则eq \f(m,n)的最大值为( )
A．1 B．2 C.eq \r(2) D．2eq \r(2)
14.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，CA，AB上的点，且CD＝eq \f(3,5)BC，EC＝eq \f(1,2)AC，AF＝eq \f(1,3)AB.设P为四边形AEDF内一点(P点不在边界上)，若eq \(DP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))＋λeq \(DE,\s\up6(→))，则实数λ的取值范围为________．
答案精析
1．C [对于①，两个相等向量，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；
对于②，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＝))b))，方向不确定，则a，b不一定相等，②错误；
对于③，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＝))\(DC,\s\up6(→))))，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))不一定相等，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，③错误；
对于④，若m＝n，n＝k，则m＝k，④正确；
对于⑤，若a∥b，b∥c，当b＝0时，a∥c不一定成立，
⑤错误；
对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，
⑥错误．综上，②③⑤⑥是假命题，共4个．故选C.]
2．B [依题意知a，b是非零向量，
eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))表示与a同向的单位向量，eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))表示与b同向的单位向量，
当a＝2b时，a，b的方向相同，所以eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))＝eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))；
当eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))＝eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))时，a，b的方向相同，但不一定有a＝2b，如a＝3b也符合，
所以“a＝2b”是“eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))＝eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))” 成立的充分不必要条件．]
3．C [对于①，由向量共线定理可知，a∥b，则存在唯一的实数λ1，使得a＝λ1b，b∥c，则存在唯一的实数λ2，使得b＝λ2c，由此得出存在唯一的实数λ1·λ2，使得a＝λ1·λ2c，即a∥c，则①正确；
对于②，模长关系只能说明向量a，b的长度关系，与方向无关，则②错误；
对于③，当a＝b时，由题意可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))a＝5a，则x＋y＝5，不能说明x＝2，y＝3，则③错误；
由向量共线定理可知，④正确．]
4．C [如图，
∵a＋b＝c，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b＋c))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b＋a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2a))，
∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝1，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b＋c))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2a))＝2.]
5．A [因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝(a＋2b)＋(3a－b)＋(2a－3b)＝2(3a－b)，
因为eq \(BC,\s\up6(→))＝3a－b，a，b是不共线的非零向量，所以AD∥BC且|eq \(AD,\s\up6(→))|≠|eq \(BC,\s\up6(→))|，
所以四边形ABCD是梯形．]
6．C [由eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(EC,\s\up6(→))知，E为AO的中点．
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BD,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up6(→))，
故x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,4)，x＋y＝eq \f(3,4).]
7．A [不一定，两个向量的方向不确定，命题①错误；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，命题②是正确的；若λa＝0(λ为实数)，则a也可以为零向量，因此命题③也是错误的；若λ，μ为0，尽管有λa＝μb，但向量a与b也不一定共线，即命题④也是错误的．]
8．D [利用向量的三角形法则，可得eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))，
∵E为BC的中点，F为AE的中点，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
又∵eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))，
∴eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)).]
9．B [因为eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(NC,\s\up6(→))，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝5eq \(AN,\s\up6(→))，
即eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5\(AN,\s\up6(→))))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AN,\s\up6(→)).
因为点B，P，N三点共线，所以m＋2＝1，解得m＝－1.]
10.eq \f(1,2)
解析 取BC的中点D，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))．
∵4eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))
＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＋(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，即A，P，D共线，
∴S△PBC＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,2).
11．B [存在实数λ，使得a＝λb，
说明向量a，b共线，当a，b同向时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))成立，
当a，b反向时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))不成立，所以充分性不成立．
当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))成立时，a，b同向，存在实数λ，使得a＝λb成立，必要性成立，
即“存在实数λ，使得a＝λb”是“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))”的必要不充分条件．]
12．C [因为eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)).]
13．A [因为eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，又eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝neq \(AD,\s\up6(→))(m>0，n>0)，
故可得 eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(m,2)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(1,2n)eq \(AN,\s\up6(→))，又O，M，N三点共线，
故可得eq \f(m,2)＋eq \f(1,2n)＝1，即m＋eq \f(1,n)＝2.
故eq \f(m,n)＝m×eq \f(1,n)≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(1,n)))2＝1，当且仅当m＝n＝1时取得最大值1.]
14.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3)))
解析 取BD的中点M，过M作MH∥DE交DF，AC分别为G，H，如图．
则由eq \(DP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))＋λeq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DM,\s\up6(→))＋λeq \(DE,\s\up6(→))可知，P点在线段GH上运动(不包括端点)．
当P与G重合时，根据eq \(DP,\s\up6(→))＝teq \(DF,\s\up6(→))＝t(eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)))
＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(DC,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(CB,\s\up6(→))))
＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(DC,\s\up6(→))＋\f(2,3)·2\(CE,\s\up6(→))＋\f(1,3)·\f(5,3)\(CD,\s\up6(→))))
＝teq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,9)\(DC,\s\up6(→))＋\f(4,3)\(CD,\s\up6(→))＋\(DE,\s\up6(→))))
＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,9)\(DC,\s\up6(→))＋\f(4,3)\(DE,\s\up6(→))))＝－eq \f(8,9)teq \(DC,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)teq \(DE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))＋λeq \(DE,\s\up6(→))，可知λ＝eq \f(1,2)，当P与H重合时，由P，C，E共线可知－eq \f(1,3)＋λ＝1，即λ＝eq \f(4,3)，结合图形可知λ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3))).